中考数学综合提高题训练.docx
《中考数学综合提高题训练.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《中考数学综合提高题训练.docx(162页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
![中考数学综合提高题训练.docx](https://file1.bdocx.com/fileroot1/2022-10/12/39750d87-dc91-4d95-b97f-346f878e662d/39750d87-dc91-4d95-b97f-346f878e662d1.gif)
中考数学综合提高题训练
中考数学综合提高训练
第一部分函数图象中点的存在性问题
1.1因动点产生的相似三角形问题
例1如图1,已知抛物线
(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?
如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?
如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
满分解答
(1)B的坐标为(b,0),点C的坐标为(0,
).
(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.
因此PD=PE.设点P的坐标为(x,x).
如图3,联结OP.
所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO=
=2b.
解得
.所以点P的坐标为(
).
图2图3
(3)由
,得A(1,0),OA=1.
①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.
当
,即
时,△BQA∽△QOA.
所以
.解得
.所以符合题意的点Q为(
).
②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。
因此△OCQ∽△QOA.
当
时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.
所以C、Q、B三点共线.因此
,即
.解得
.此时Q(1,4).
图4图5
考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.
这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.
如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?
如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.
例2如图1,已知抛物线的方程C1:
(m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在
(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在
(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?
若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
解答
(1)将M(2,2)代入
,得
.解得m=4.
(2)当m=4时,
.所以C(4,0),E(0,2).
所以S△BCE=
.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么
.
因此
.解得
.所以点H的坐标为
.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当
,即
时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为
,由
,得
.
解得x=m+2.所以F′(m+2,0).
由
,得
.所以
.
由
,得
.
整理,得0=16.此方程无解.
图2图3图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以
,即
时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得
.
解得x=2m.所以F′
.所以BF′=2m+2,
.
由
,得
.解得
.
综合①、②,符合题意的m为
.
考点伸展
第(4)题也可以这样求BF的长:
在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.
例3直线
分别交x轴、y轴于A、B两点,△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°后得到△COD,抛物线y=ax2+bx+c经过A、C、D三点.
(1)写出点A、B、C、D的坐标;
(2)求经过A、C、D三点的抛物线表达式,并求抛物线顶点G的坐标;
(3)在直线BG上是否存在点Q,使得以点A、B、Q为顶点的三角形与△COD相似?
若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
解答
(1)A(3,0),B(0,1),C(0,3),D(-1,0).
(2)因为抛物线y=ax2+bx+c经过A(3,0)、C(0,3)、D(-1,0)三点,所以
解得
所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,顶点G的坐标为(1,4).
(3)如图2,直线BG的解析式为y=3x+1,直线CD的解析式为y=3x+3,因此CD//BG.
因为图形在旋转过程中,对应线段的夹角等于旋转角,所以AB⊥CD.因此AB⊥BG,即∠ABQ=90°.
因为点Q在直线BG上,设点Q的坐标为(x,3x+1),那么
.
Rt△COD的两条直角边的比为1∶3,如果Rt△ABQ与Rt△COD相似,存在两种情况:
①当
时,
.解得
.所以
,
.
②当
时,
.解得
.所以
,
.
图2图3
考点伸展
第(3)题在解答过程中运用了两个高难度动作:
一是用旋转的性质说明AB⊥BG;二是
.
我们换个思路解答第(3)题:
如图3,作GH⊥y轴,QN⊥y轴,垂足分别为H、N.
通过证明△AOB≌△BHG,根据全等三角形的对应角相等,可以证明∠ABG=90°.
在Rt△BGH中,
,
.
①当
时,
.
在Rt△BQN中,
,
.
当Q在B上方时,
;当Q在B下方时,
.
②当
时,
.同理得到
,
.
例4Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示,反比例函数
在第一象限内的图象与BC边交于点D(4,m),与AB边交于点E(2,n),△BDE的面积为2.
(1)求m与n的数量关系;
(2)当tan∠A=
时,求反比例函数的解析式和直线AB的表达式;
(3)设直线AB与y轴交于点F,点P在射线FD上,在
(2)的条件下,如果△AEO与△EFP相似,求点P的坐标.
图1
解答
(1)如图1,因为点D(4,m)、E(2,n)在反比例函数
的图象上,所以
整理,得n=2m.
(2)如图2,过点E作EH⊥BC,垂足为H.在Rt△BEH中,tan∠BEH=tan∠A=
,EH=2,所以BH=1.因此D(4,m),E(2,2m),B(4,2m+1).
已知△BDE的面积为2,所以
.解得m=1.因此D(4,1),E(2,2),B(4,3).
因为点D(4,1)在反比例函数
的图象上,所以k=4.因此反比例函数的解析式为
.
设直线AB的解析式为y=kx+b,代入B(4,3)、E(2,2),得
解得
,
.
因此直线AB的函数解析式为
.
图2图3图4
(3)如图3,因为直线
与y轴交于点F(0,1),点D的坐标为(4,1),所以FD//x轴,∠EFP=∠EAO.因此△AEO与△EFP相似存在两种情况:
①如图3,当
时,
.解得FP=1.此时点P的坐标为(1,1).
②如图4,当
时,
.解得FP=5.此时点P的坐标为(5,1).
考点伸展
本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”,如果没有这个条件限制,保持其他条件不变,那么还有如图5的情况:
第
(1)题的结论m与n的数量关系不变.第
(2)题反比例函数的解析式为
,直线AB为
.第(3)题FD不再与x轴平行,△AEO与△EFP也不可能相似.
图5
例5如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、B1的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?
若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
图1图2
解答
(1)抛物线的对称轴为直线
,解析式为
,顶点为M(1,
).
(2)梯形O1A1B1C1的面积
,由此得到
.由于
,所以
.整理,得
.因此得到
.
当S=36时,
解得
此时点A1的坐标为(6,3).
(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.
在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.
在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.
因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.
由于
,
,所以
.解得
.
图3图4
考点伸展
第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?
如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.
例6如图1,已知点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线
上.
(1)求m、n;
(2)向右平移上述抛物线,记平移后点A的对应点为A′,点B的对应点为B′,若四边形AA′B′B为菱形,求平移后抛物线的表达式;
(3)记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C,试在x轴上找一个点D,使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10宝山24”,拖动点A′向右平移,可以体验到,平移5个单位后,四边形AA′B′B为菱形.再拖动点D在x轴上运动,可以体验到,△B′CD与△ABC相似有两种情况.
思路点拨
1.点A与点B的坐标在3个题目中处处用到,各具特色.第
(1)题用在待定系数法中;第
(2)题用来计算平移的距离;第(3)题用来求点B′的坐标、AC和B′C的长.
2.抛物线左右平移,变化的是对称轴,开口和形状都不变.
3.探求△ABC与△B′CD相似,根据菱形的性质,∠BAC=∠CB′D,因此按照夹角的两边对应成比例,分两种情况讨论.
满分解答
(1)因为点A(-2,4)和点B(1,0)都在抛物线
上,所以
解得
,
.
(2)如图2,由点A(-2,4)和点B(1,0),可得AB=5.因为四边形AA′B′B为菱形,所以AA′=B′B=AB=5.因为
,所以原抛物线的对称轴x=-1向右平移5个单位后,对应的直线为x=4.
因此平移后的抛物线的解析式为
.
图2
(3)由点A(-2,4)和点B′(6,0),可得AB′=
.
如图2,由AM//CN,可得
,即
.解得
.所以