一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法1.docx

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一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法1

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）

一、目的与要求：

理解常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念，掌

握常系数线性微分方程组的基本解组的求法•

二、重点：

常系数线性微分方程组的基本解组的求法.

三、难点：

常系数线性微分方程组的特征方程式，特征根，特征向量的概念•

四、教学方法：

讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法•

五、教学手段：

传统板书与多媒体课件辅助教学相结合•

六、教学过程：

1新课引入

由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组（3.8）的通解问题，归结到求其基本解组•但

是对于一般的方程组（3.8），如何求出基本解组，至今尚无一般方法•然而对于常系数线性齐

次方程组

AY（3.20）

dx

其中A是nn实常数矩阵，借助于线性代数中的约当Jordan）标准型理论或矩阵指数，可以

使这一问题得到彻底解决.本节将介绍前一种方法，因为它比较直观.

由线性代数知识可知，对于任一nn矩阵A，恒存在非奇异的nn矩阵T，使矩阵

T」AT成为约当标准型.为此，对方程组（3.20）引入非奇异线性变换

Y=TZ（3.21）

其中T=（tj）（i,j=1,2,||）,n）,detT=0,将方程组（3.20）化为

（3.22）

dZ-T4ATZ

dx

我们知道，约当标准型T4AT的形式与矩阵A的特征方程

a11一人

a12

川am

det（A-2-E）=

a21

+

+

a22—h

V

F

川a2n

4

4

=0

an1

an2

HIann-丸

的根的情况有关•上述方程也称为常系数齐次方程组（3.20）的特征方程式.它的根称为矩阵

A的特征根.

下面分两种情况讨论•

（一）矩阵A的特征根均是单根的情形

设特征根为'i,'2,lH,'n,这时

方程组（3.20）变为

电］

dx

|dz2

dx

+

+

dZn

-dx_

（3.23）

易见方程组（3.23）有n个解

把这n个解代回变换（3.21）之中，便得到方程组（3.20）的n个解

r.t.r.

（i=12川,n）

Y（x）二e"?

玄气

I+

」ni-

这里T是矩阵T第i列向量，它恰好是矩阵A关于特征根初的特征向量，并且由线性方程组

因为

（A-iE）Ti=0所确定.容易看出，Y1（x）,Y2（x）,川,Yn（x）构成（3.20）的一个基本解组,

它们的朗斯基行列式W（x）在x=0时为W（0）=detT=0.于是我们得到

定理3.11如果方程组（3.20）的系数阵A的n个特征根彼此互异，且

人兀,川,人分别是它们所对应的特征向量，则

¥（x）二eixTi,Y2（x）=e2工川|,Yn（x）=e%

是方程组（3.20）的一个基本解组

例1试求方程组

dxdt

化—x+5y-z

dt

y3z

dz

x-

dt

的通解.

解它的系数矩阵是

3-11

A=-15-1

3-13_

特征方程是

1

-1=0

3—扎

3_九_1

det（A_丸E）=-15—九

3-1

32

-11•36'；—36=0

所以矩阵A的特征根为■1=2,乜=3,九3=6.先求九1=2对应的特征向量

a,b,c满足方程

a「bc=0

*—a+3b_c=0

a-b+c=0

故方程组的通解是

（二）常系数线性微分方程组的解法复特征根

Y（x）=e〃Ti,场⑴“工

其中壬兀是特征向量，这是实变量的复值解，通常我们希望求出方程组（3.20）的实

值解，这可由下述方法实现.

定理3.12如果实系数线性齐次方程组

有复值解Y（x）=U（x）iV（x）其中U（x）与V（x）都是实向量函数，则其实部和虚部

M（X）

证明因为Y（x）=U（x）•iV（x）是方程组（3.8）的解，所以

jx）iV（x）卜叫©i也x）

dxdxdx

三A（x）[U（x）iV（x）]三A（x）U（x）iA（x）V（x）

由于两个复数表达式恒等相当于实部及虚部恒等，所以上述恒等式表明：

dU^=A（x）U（x）,dV^=A（x）V（x）

dxdx

即U（x）,V（x）都是方程组（3.8）的解证毕.

定理3.13如果^（x）,Y2（x）^|,Yn（x）是区间（a,b）上的n个线性无关的向量函数，

d,b2是两个不等于零的常数，则向量函数组

dM（x）%（x）],b2“（x）-Y2（x）],Y3（x）,川,Yn（x）（3.24）

在区间（a,b）上仍是线性无关的.

证明（反证法）如果（3.24）线性相关，那么依定义3.1存在n个不全为零的常数

C1,C2Jh，Cn，使得对区间（a,b）上的所有x皆有

Gbi[Y（x）+Y2（x）]+C2b2【Y（x）-丫2（刃]+C30X）+川+C"n（x）三0

所以

（Gbi+C2b2）丫（x）+（Gbi-C2b2）丫2（X）+。

3丫3（口+川+Cn=（X）三0

因为丫（x）,丫2（x）川IM（x）线性无关，从而

C1b1C2b2=0,Gb|-C2b2=0,C3=0,1|l,Cn=0

从上式可知，C1bi=C2b2=0，因为bi,b2=0,故G=C2=0•即所有常数G,C2,IH,Cn都

等于零，矛盾•证毕.

由代数知识知,实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现•即，如果’=aib是特征

根，则其共轭’二a-ib也是特征根•由定理3.11，方程组（3.20）对应于’=aib的复值解

形式是

这里T1是对应于，二aib的特征向量•由于矩阵A是实的，所以上述向量的共轭向量是方

程组（3.20）对应于特征根「=a-ib的解，记作Y2（x）=由加工,T2.现将上述两个

复值解，按下述方法分别取其实部和虚部为

1

Yi（x）Y2（x）]

t11cosbx-112sinbxaxt21cosbx—122sinbx

e:

II

tn1cosbx-tn2sinbx

1

和丫1（x）-丫2（x）]=

t12cosbxt11sinbxaxt22cosbxt21sinbxe:

II

_tn2cosbxtn1sinbx

由定理3.12和定理3.13，它们分别是方程组（3.20）的解，并且由此得到的n个解仍组成基本解组.

例2求解方程组

dx

一=x_y_zdt

解它的系数矩阵为

1—1-1

A=110

■301j

特征方程是

1—&-1-1

det（A—）=11一九0

301-丸

即

（，一1）（2一2「5）=0

特征根为

加=1,丸2,3=1±2i

先求'^1对应的特征向量为

■01

「=1

T」

再求-12i所对应的特征向量T2.它应满足方程组

］「2i-1

（A—（1+2i）E）T2=1-2i

'30

_2ia-b-c=0

a-2bi=0

3a-2ci二0

用2i乘上述第一个方程两端，得

4a-2bi-2ci=0

a-2bi=0

3a-2ci=0

显见，第一个方程等于第二与第三个方程之和•故上述方程组中仅有两个方程是独立的，即

a-2bi=0

3a-2ci=0

L

求它的一个非零解•不妨令a=2i,则b=1,c=3.于是2i对应的解是

一2门

一2门

「-2sin2t[

"2cos2t]

e（H2i）t

1

=d（cos2t+isin2t）

1

t

=e

cos2t

+iet

sin2t

-

3一

ii

3一

1-

3cos2t

1〕

3sin2t一

故原方程组的通解为

（三）矩阵A的特征根有重根的情形

由定理3.11，我们已经知道，当方程组（3.20）的系数矩阵A的特征根均是单根时，其基

本解组的求解问题，归结到求这些特征根所对应的特征向量•然而，当矩阵A的特征方程

有重根时，定理3.11不一定完全适用，这是因为，若■i是A的ki重特征根，则由齐次线

性方程组

（A-iE）Ti二0

所决定的线性无关特征向量的个数i,一般将小于或等于特征根、的重数ki.若i=ki,那

么矩阵A对应的约当标准型将呈现对角阵，其求解方法与iK，由线性代数的知识，此时

也可以求出ki个线性无关的特征向量，通常称为广义特征向量，以这些特征向量作为满秩矩

阵T的列向量，可将矩阵A化成若当标准型

T-1AT二

J2

+

h

q

Jm

其中未标出符号的部分均为零无素，而

「站10【

J严.彳（i=12lH,m）

\1

此相同.

Jm

根据（3.25）的形式，它可以分解成为m个可以求解的小方程组•

为了说清楚这个问题，我们通过一个具体重根的例子，说明在重根情形下方程组（3.20）

的基本解组所应具有的结构•对于一般情形，其推导是相似的

设方程组

（3.26）

dY=ay

Dx

中A是5.5矩阵，经非奇异线性变换Y=TZ其中T=（tij）（i,j=1,2,II丨,5）且detT-0,

将方程组（3.26）化为

dZ

JZ（3.27）

dx

我们假定

■1

0

■1

0

「°

■2

0

这时，方程组（3.27）可以分裂为两个独立的小方程组

也、

=上1z*i+Z2dx

dz2

dx

dz3

（3.28）

人Z3

dx

dz4

一二’2Z4-Z5dx

dz5

（3.29）

在（3.28）中自下而上逐次用初等积分法可解得

z^=C3x2C2xC1

2!

21

Z2=（C3x+C2）e"

Z3二C3e1X

同样对（3.29）可解得

Z4=（C5XC4）e'2x

Z5二C5e护

这里G,C2,III,C5是任意常数•由于在方程（3.28）中不出现乙，Z5,在（3.29）中不出现

Z|,Z2,Z3•我们依次取

G=1,C2=C3=C4=C5=0

Ci=0,C2=1,C3=C4=C5=0

Ci=C2=0,C3=1,C^=C5=0

Ci=C2=C3=0,C4=1,C5=0

Ci=C2=C3=C4=0,C5=1

可以得到方程组（3.27）的五个解如下

从而

是方程组（3.27）的一个解矩阵.又

detZ（0）=i=0,

所以（3.3i）是方程组（3.27）的一个基本解矩阵•而（3.30）是（3.27）的一个基本解组•现在把（3.30）

的每个解分别代入到线性变换Y=TZ中可得原方程组（3.26）的五个解，

tie巧

（ti-x+td/

t2ie沁

住必+上2）eix

t“e淤

，Y2=

（t3ix+t3）e"