数值计算方法答案.docx
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数值计算方法答案
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数值计算方法答案
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数值计算方法
习题一
（2）
习题二（6）
习题三（15）
习题四（29）
习题五（37）
习题六（62）
习题七（70）
2009．9，9
习题一
1．设>0相对误差为2%，求，的相对误差。
解：
由自变量的误差对函数值引起误差的公式：
得
（1）时
；
（2）时
2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。
（1）；
（2）；（3）。
解：
由教材关于型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：
3，4，5
3．用十进制四位浮点数计算
（1）31.97+2.456+0.1352；
（2）31.97+（2.456+0.1352）
哪个较精确？
解：
（1）31.97+2.456+0.1352
=
=0.3457
（2）31.97+（2.456+0.1352）
=
=0.3456
易见31.97+2.456+0.1352=0.345612，故
（2）的计算结果较精确。
4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？
解：
设该正方形的边长为，面积为，由
解得==0.5%
5．下面计算的公式哪个算得准确些？
为什么？
（1）已知，（A），（B）；
（2）已知，（A），（B）；
（3）已知，（A），（B）；
（4）（A），（B）
解：
当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。
故在设计算法时应尽量避免上述情况发生。
（1）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。
故（B）算得准确些。
（2）（B）中两个相近数相减，而（A）中避免了这种情况。
故（A）算得准确些。
（3）（A）中使得误差增大，而（B）中避免了这种情况发生。
故（B）算得准确些。
（4）（A）中两个相近数相减，而（B）中避免了这种情况。
故（B）算得准确些。
6．用消元法求解线性代数方程组
假定使用十进制三位浮点数计算，问结果是否可靠？
解：
使用十进制三位浮点数计算该方程则方程组变为
（1）-
（2）得，即，把的值代入
（1）得；把的值代入
（2）得
解不满足
（2）式，解不满足
（1）式，故在十进制三位浮点数解该方程用消元法计算结果不可靠。
7．计算函数和处的函数值（采用十进制三位浮点数计算）。
哪个结果较正确？
解：
=
=
即，
而当时的精确值为1.6852，故的算法较正确。
8．按照公式计算下面的和值（取十进制三位浮点数计算）：
（1）；
（2）。
解：
（1）=
（2）=
9．已知三角形面积，其中。
证明：
。
证明：
由自变量的误差对函数值的影响公式：
。
得
=
（当时，），命题得证。
习题二
1．找出下列方程在附近的含根区间。
（1）；
（2）；
（3）；（4）；
解：
（1）设，则，，由的连续性知在内，=0有根。
同题
（1）的方法可得：
（2），（3），（4）的零点附近的含根区间分别为；；
2．用二分法求方程在内的根的近似值并分析误差。
解：
令，则有，，，
所以函数在上严格单调增且有唯一实根。
本题中求根使得误差不超过，则由误差估计式
，所需迭代次数满足，即取便可，因此取。
用二分法计算结果列表如下：
由上表可知原方程的根
该问题得精确解为，故实际误差为
3．判断用等价方程建立的求解的非线性方程在1.5附近的根的简单迭代法的收敛性，其中
（A）；（B）；（C）
解：
取1.5附近区间来考察。
（A），显然当时，单调递减，而，，
因此，当时，。
又当时，，
由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。
（B），则，，
，
所以当时，。
又当时，，
由迭代法收敛定理，对任意初值，迭代格式，收敛。
（C），由于当时，有
，
所以对任意初值（原方程的根除外），迭代格式发散。
4．确定的简单迭代法的收敛区间。
如果收敛，试估计使精度达到时所需的迭代次数并进行计算。
（A）；（B）；（C）
解：
（A）方程为，设，则，
，故有根区间为，题中，
故迭代公式在含根区间内收敛。
（B）方程为，设，则，
，故有根区间为，题中，
故迭代公式在含根区间内收敛。
（C）方程为，设，则，
，故有含根区间，题中，
5．对下点列用埃特金方法加速。
解：
由埃特金加速公式计算，结果列下表：
6．令初值，分别用牛顿迭代法，双点弦割法和单点弦割法求解方程的解。
解：
牛顿迭代法
，，满足，由牛顿迭代法的收敛条件知当取初值为时迭代法收敛。
牛顿迭代格式为：
在第6部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化，故可取
双点弦割法
双点弦割法迭代格式为：
在第8部迭代后，迭代点得小数点后14位已无变化。
双点弦割法
双点弦割法迭代格式为：
以后，迭代点得小数点后11位已无变化，因收敛速度较慢，故只精确到小数点后11位
7．建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。
解：
牛顿迭代格式为：
令，因为当时，，，
故对于任何满足，
即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。
8．建立利用方程求的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性。
解：
牛顿迭代格式为：
令，因为当时，，
故对于任何满足，
即的初值，上述Newton迭代产生的迭代序列收敛于。
9．判断用Newton迭代求解方程的收敛性。
解：
由，
当时，，，，要使Newton迭代法收敛对于初值，需满足，显然这样得初值是不存在的，故当时，Newton迭代法不收敛。
当时，同上的分析方法可得，初值也不存在的，故当时，Newton迭代法也不收敛。
所以用Newton迭代求解方程不收敛。
10．写出求解方程的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性。
（1）；
（2）；（3）。
解：
牛顿迭代格式为：
解之得：
（1）当时，，，故迭代序列不收敛；
（2）当时，，，迭代序列收敛，但不收敛于方程的解；
（3）当时，，从而，，迭代序列收敛，且收敛于方程的解。
11．求分别用下列迭代格式求解方程时的收敛阶。
（1）Newton迭代格式；
（2）迭代格式。
解：
显然，否则没意义。
易知Newton迭代格式收敛于，又
（1）
Newton迭代格式的收敛阶为
（2）迭代格式
迭代格式的收敛阶为
12．当初值取为下列各值时，用下山Newton迭代求解方程组是否收敛？
若收敛，收敛于哪一个根？
（1）
（2）
解：
由下山Newton迭代格式
习题三
1．1分别用高斯消元法和列选主元法解方程组（精确到小数点后四位）：
解：
高斯消元法：
=
高斯列选主元消元法
2．分别用高斯消元法和列选主元法解方程组
解：
高斯消元法
=
列选主元法
3.方程组Ax=b经过一次Gauss消元后,系数矩阵A=,变为,其中=为（n-1）（n-1）矩阵.其元素为
=-/,2,3,n.
证明下面结论:
（1）当A对称正定时,也对称正定;
（2）当A对角占优时,也对角占优.
证明:
（1）因为A对称,所以;
=-/==
故对称;
A正定,，又=
其中:
显然,非奇异;对任何x,有:
A正定,，正定;
又:
=而故正定;
当A对角占优时,
故对角占优
4.证明
（1）两个单位上（下）三角形矩阵的乘积仍为单位上（下）三角形矩阵;
（2）两个上（下）三角形矩阵的乘积仍为上（下）三角形矩阵.
证明:
（1）不妨考虑证单位下三角矩阵,单位上三角矩阵证明方法相同
设AB=C其中:
当i当时，
，所以,C为单位上三角矩阵
证明方法类似
（1）
5．证明单位上（下）三角形矩阵的逆矩阵仍为单位上（下）三角形矩阵;
非奇异上（下）三角形矩阵的逆矩阵仍为非奇异的上（下）三角形矩阵;
证明:
……………………………………………………………………
6.用矩阵的三角分解求解下列线形代数方程组
（1）
解：
（2）
解：
（3）
解：
（4）
解
7．求解矩阵方程。
解；X==
8．用追赶法解线性代数方程组
。
解：
，，，
，
10证明等价关系：
证明：
又，所以
由Cauchy不等式知：
，所以：
综上说述，即证。
11证明由定义的|是中的范数。
证明：
显然：
且
任意常数
=||A||
||A+B||===+
12证明
证明：
对任何由于故
，因此，
另一方面：
设指标满足：
定义如下：
显然，=1
而且，
从而，
即成立：
综上得命题成立
13研究线形代数方程组的性态，并求精确解，设近似解，计算余量以及近似解的相对误差
解：
因为该线性方程组的系数矩阵的逆矩阵为：
条件数为4.0020e+003，远大于1。
所以其为病态的，其精确解为：
余量为：
r=
，，所以：
14．计算Hilbert矩阵
解：
先求出的逆矩阵
然后，计算得出：
15．求用雅克比迭代解下列线性代数方程组的两次迭代解（取初始向量＝0）。
解：
（1）雅可比迭代式为：
，取
则
（2）雅可比迭代式为
取，则
16．若要求精度，仍用雅克比迭代求解15题，至少需迭代多少次？
解：
1）雅可比迭代矩阵为：
由公式知，需要10次迭代
（2）雅可比迭代矩阵为：
，同上，需要22次迭代。
17．求用高斯－塞德尔迭代求解15题的两次迭代解（取初始向量＝0）。
（1）高斯赛德迭代式
取，则
（2）高斯赛德迭代式
取则
18．求用SOR迭代（）求解15题的两次迭代解（取初始向量＝0）。
解：
（1）
k=0,1,
取，则
（2）k=0,1,
取则
19．设有线性代数方程组
判断雅克比迭代的收敛性；
判断高斯—塞德尔迭代的收敛性。
解：
（1）雅克比迭代矩阵
故雅克比迭代发散
（2）高斯—塞德尔迭代矩阵
==
，，故高斯—塞德尔迭代收敛
20．设矩阵A＝为二阶矩阵，且。
证明雅克比迭代和高斯－塞德尔迭代同时收敛或发散。
证明：
因为，所以
雅克比迭代矩阵
高斯－塞德尔迭代矩阵
，
所以，雅克比迭代和高斯－塞德尔迭代同时收敛或发散。
21．设线性代数方程组为
试用最速下降法求解（取初始向量＝，计算到）；
试用共轭梯度法求解（取初始向量＝）。
解：
（1）最速下降法
由和
K=0,1,2,3得0.5000
0.1667
0.5000
0.1667
（2）共轭梯度法
由
K=0,1得
，即为精确解
习题四
1.已知ln（2.0）=0.6931;ln（2.2）=0.7885,ln（2.3）=0.8329,
试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差
解：
线形插值：
取
=0.7410
抛物线插值：
=0.742
2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值
解：
解：
取
=
3.设函数f（x）在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f（a）=f（b）=0,
求证:
解：
取，
4.证明n次Lagrange插值多项式基函数满足
解：
取则
=0
所以即证
5.证明
证明：
、
取
则
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