完整版正项级数收敛性判别法的推广本科毕业设计.docx

完整版正项级数收敛性判别法的推广本科毕业设计.docx

《完整版正项级数收敛性判别法的推广本科毕业设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版正项级数收敛性判别法的推广本科毕业设计.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版正项级数收敛性判别法的推广本科毕业设计

正项级数收敛性判别法的推广

摘要：

正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法,柯西积分判别法等．对于上述判别法，它们都有一定的条件限制，为了找到更简单，适用条件更广的判别法，国内外学者或者在一般判别法的基础上做了推广或者提出了一些新的判别法．

近几年，关于正项级数收敛性判别法又有了一些新的研究，主要是针对一些新判别法的适用条件进行了讨论．本文主要分两部分对正项级数的判别法进行了推广，第一部分对比值判别法进行了推广，给出了比值判别法在失效情况下的判别方法，这也是本文的主要部分，第二部分对比较判别法进行了推广．这些推广的新的判别法解决了原判别法的条件限制，使其更具一般性，适用性更广．

关键词：

正项级数；收敛性；发散性；判别法

AGeneralizationofConvergenceCriterionforPositiveProgressions

YangRui

（0301MathematicsandAppliedMathematicsSchoolofScience）

Theinstructor:

SongWen-qing

Abstract:

ConvergenceCriterionforPositiveProgressionstheprogression．Thecommoncriterionsincludethecomparisondistinctionlaw,reachesthebrightBellratiodistinctionlaw,westthetanoakdistinguishesthelaw,Gaussdistinguishesthelaw,westthetanoaktheintegraldistinctionlawandsoon,butthesedistinctionlawsallconditionlimit．Inordertofindoutmoresimplyandmorewidely-useddistinctionlaws,domesticandforeignscholarsorworkedoutsomenewdistinctionlaws．

Inrecentyears,thereareseveralnewresearchesaboutpositiveprogressionsastringencydistinguishedthelawmainlyaimingatdiscussingapplicablerequirementsofnewdistinctionlaw．Thisarticlewasmainlydividedin2partstocarryonthepromotionoftheseriesofpositiveprogressionsdistinctionlaw．Thefirstpartpromotesspecificvaluedistinctionlawaswellasshowsdistinguishablemethodswhenitdoesn’twork．Itisalsothemainpartofthiswork．Thesecondpartcarriesonthepromotionofthecomparisondistinctionlawanditusesthecorrespondingdistinctionlawtojudgetheseriesofpositiveprogressionsastringency．Thesenewdistinctionlawslawsmakingthemmoregeneral,makingtheirserviceabilitybroader．

Keywords:

positiveprogressionseries;convergence;divergence;criterion

1引言

正项级数收敛的判别法在级数的收敛法中占有极其重要的地位．常见的判别法有比较判别法，达朗贝尔比值判别法，柯西判别法，高斯判别法，柯西积分判别法等．由于条件的限制，在判断某些类型的题目时会失效，所以必须要寻找一些新的判别法来解决这些题本文主要对比较判别法、达朗贝尔判别法进行了推广．下面先介绍比较判别法、达朗贝尔判别法以及正项级数收敛性的相关定理．

定理正项级数收敛的充要条件是：

部分和数列有界，即存在某正数M，对一切正整数n有

定理（比较原则）设和是两个正项级数，如果存在某正数N，对一切n>N都有，

（i）若级数收敛，则级数也收敛；

（ii）若级数发散，则级数也发散．

定理设为正项级数，且存在某正整数及常数q（0

（i）若对一切n>,成立不等式

则级数收敛．

（ii）若对一切n>,成立不等式

则级数发散．

定理若为正项级数，且

，

则

（i）当q<1时，级数收敛；

（ii）当q>1或q=时，级数发散．

2达朗贝尔判别法的推广与应用

2．1达朗贝尔判别法的一类推广与应用

由达朗贝尔判别法判别法极限形式知，当时，正项级数可能收敛也可能发散，我们无法直接用达朗贝尔判别法判别法判断其敛散性，此时这种判别法失效，为了解决这一问题，给出新的判别法．新的判别法适用条件更广，运算更简洁．

2．1．1达朗贝尔判别法判别法的第一种推广

引理正项级数若，且则

（i）当p<时，则级数收敛

（ii）当p>时，则级数发散

定理1若，则级数收敛当且仅当收敛（其中m是大于1的正整数）

证明：

（1）设则

<（）+（）+（）++（）

<++

=

所以若级数收敛，级数也收敛；

（2）=

>

=

所以若级数发散，级数也发散．

由

（1）

（2）得，级数收敛当且仅当收敛．

对于一般项收敛较慢的级数，定理1给出了一个判别法，观其条件还可以进行推广，得到更一般的形式，用定理的形式叙述如下：

定理2：

正项级数，若，存在，使得，则

（1）当p<时，则级数收敛

（2）当p>时，则级数发散

证明：

令，，

由定理知与同收敛，与同收敛，所以与同收敛

所以

即=

当

当时，,故级数收敛，从而收敛;

当时，，故级数发散，从而发散．

证明完毕．

2．1．2应用举例

例1：

考察级数是否收敛．

解:

由定理，取，

当时，，级数收敛;

当时，，级数发散．

例2：

考察级数是否收敛．

解：

又因为

=1

而即

所以级数发散．

例3：

讨论级数的敛散性．

解：

本题利用达朗贝尔判别法无法判断，并且不容易积分，所以利用积分判别法也不能解决，由定理，取，则

所以，该级数收敛．

2．2达朗贝尔判别法的第二种推广与应用

2．2．1达朗贝尔判别法的第二种推广

定理两个正项级数和，如果从某项起下列不等式成立：

（1）

则级数收敛那么级数一定收敛，级数发散那么级数一定发散．

证明：

任取一自然数，使得p=>,设引理中的不等式

（1）对于任意的恒成立，可以把引理中的不等式

（1）变形为：

,

即

（i=0,1，2，）

令，则

（1）当时，成立

（2）当时，可将n写成，则

其中一定有．

若时，则成立．

若时，则可将写成，其中，使得，

若，不成立，则要继续进行下去，经过有限次总能得到．使得

从而得到：

成立

因此，恒有成立

由比较判别法知：

若级数收敛，那么级数一定收敛，

若级数发散，那么级数一定发散

证明完毕

下面根据定理1，推广出一个关于正项级数收敛的判别法，以定理的形式叙述如下：

定理2对于正项级数，若，则

（1）当p<时，级数收敛

（2）当p>时，级数发散

证明：

（1）当p<时，，当时，

有和

又因为，所以可令，使

令，那么（因为s>1）级数收敛，且

当n充分大时有成立

又因为，显然

对n充分大时有和

那么根据引理2，级数收敛

（2）当p>时，对于正整数使，，当时，

有和

令，则，而，

故和成立

又是发散的，由定理1得发散

将定理2推广到一般的形式，叙述如下：

定理3关于正项级数与，若存在自然数N，当n>N时，不等式

成立，则

（1）若级数收敛，则级数收敛；

（2）若级数发散，则级数发散

证明：

由条件知，若存在自然数N，当时，不等式成立，不妨取自然数，并令M=，当时，；当时，则唯一存在一个自然数,使

，故

若

若>p,则唯一存在一个自然数，使

，其中，于是且

由于，经过有限步，假设第s步,必有，于是

所以当级数收敛，则级数收敛；当级数发散，则级数发散

证明完毕

定理3的推论：

推论1给定正项级数，若

，

则

（1）时，收敛；

（2）时，发散

证明：

（1）当时，令，则存在实数r>1，使得，令，

，

，

于是，当时，有

因为级数收敛，由定理知，级数收敛

（2）当时，令，

，

，

……………．

于是，当时，有

又因为级数发散，定理知级数发散

2．2．2应用举例

例1论是否收敛

解：

当x=e时，用达朗贝尔判别法不能断定级数的敛散性

利用

此时

当x=e时，，由定理2得，级数发散

例2：

讨论是否收敛

解令，则

根据定理2得到，收敛

例3证明级数收敛

证明：

令

因为，

所以不能用达朗贝尔判别法来证明是否收敛

，，

所以级数收敛

例4证明级数收敛

证明：

因为

所以级数收敛

2．3达朗贝尔判别法的第3种推广与应用

2．3．1达朗贝尔判别法的第三种推广

引理给定两个正项级数（A）和（B），若从某项起（如n>N时），不等式

成立，

则级数（B）收敛蕴含级数（A）收敛；级数（A）发散蕴含级数（B）发散

引理给定正项级数，若，则

（1）当p<时，则级数收敛

（2）当p>时，则级数发散

下面将引理2推广到如下形式

定理：

给定正项级数，若对一固定自然数，有

，

则

（1）时，收敛；

（2）时，发散

证明：

当时，对充分大的，存在，使

即

故对任意的自然数，有

将上式再关于求和，得

即

令，则上式可以变成：

移项整理得：

即

=M

由于的部分和有界，所以级数收敛

当时，对充分大的，存在，使

即

同上，先对n从到N求和，再对i从1到k求和，则有

若收敛，上式中令，则有

即

又

则有

即与矛盾，故级数发散

2．3．2应用举例

例1正项级数中，，，试讨论正项级数敛散性

解：

利用定理，取k=2，，则

故级数收敛

3比较判别法的推广与应用

3．1比较判别法的推广

定理（比较原则的推论）设++…++…

++…++…

是两个正项级数，若

则（i）当0<<时，级数、同时收敛或同时发散；

（ii）当=0且级数收敛时，级数也收敛；

（iii）当=且级数发散时，级数也发散

在上面的定理中我们令=，则定理1，就演变成了如下：

定理对于正项级数，若或，那么级数发散；如果有k>1使得存在，则级数收敛

下面对定理2进行推广，以定理的形式叙述如下：

定理3设为正项级数，令，，为当x=n时由某一函数所确定的值，连且