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二元关系

第四章二元关系

宇宙万物之间存在着形形色色的联系，这种联系正是各门学科所关注的根本问题。

例如，人与人之间有父子、兄弟、师生关系；两数之间有大于、等于、小于关系；电学中有电压、电阻与电流间的关系；元素与集合之间的属于关系；计算机科学中程序间的调用关系，程序执行过程中状态之间的转换关系,程序执行前变量取值状况和执行后变量取值状况的关系，文件与路径的关系……。

集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型——关系，它仍然是一个集合，以具有那种联系的对象组合为其成员。

换言之，集合论中关系不是通过描述关系的内涵来刻划这种联系，而是通过列举其外延（具有那种联系的对象组合全体）来刻划这种联系。

这使关系的研究可以方便地使用集合论概念、运算及研究方法和研究成果。

在离散数学中，“关系”被抽象为一个基本概念，在通常情况下，“关系”是至少由两个集合在给定条件下产生的新集合，它提供了一种描述事物间多值依赖的工具，为计算机科学提供了一种很好的数学模型。

需要指出，集合论中的关系研究，并不以个别的关系为主要对象，而是关注关系的一般特性、关系的分类等。

4.1有序组与集合的笛卡尔积

定义4.1设a，b为任意对象，称集合｛｛a｝，｛a,b｝｝为二元有序组，或序偶（orderedpairs），简记为。

称a为的第一分量，称b为第二分量。

注意，第一、二分量未必不同。

定理4.1对任意序偶,,=当且仅当a＝c且b=d。

定义4.2递归定义n元序组

=｛｛a1｝，｛a1,a2｝｝

=<,an>

本质上,n元序组依然是序偶。

ai称为n元序组的第i分量。

定理4.2对任意对象a1，…，an，b1，…，bn，

=当且仅当

a1=b1，…，an=bn

显然，序偶和n元序组都是集合，但由于它们的特殊结构，把次序赋予了有关对象，我们以后更多关心的是它们的这种“序特性”。

而较少谈论定义它们的原有的集合结构细节。

定义4.3对任意集合A1，A2,…，An，

（1）A1A2，称为集合A1,A2的笛卡尔积（Cartesianproduct），定义为

A1A2=｛xuv（x=∧uA1∧vA2）｝

=｛uA1∧vA2｝

（2）递归地定义A1A2…An

A1A2…An=（A1A2…An-1）An

当A1=A2=…=An=A时，A1A2…An简记为An

定理4.3对任意集合A1，A2,…，An，

A1A2…An=｛a1A1∧…∧anAn｝

本定理同样可用归纳法给出证明，请读者完成之。

例4.1设A=｛1,2｝，B=｛a,b,c｝，C=｛｝,R为实数集，

那么

（l）AB=｛<1,a>，，<1,c>，<2,a>，<2,b>，<2,c>｝

BA＝｛，，，，，｝

（2）ABC=（AB）C=｛<1,a,>，，<1,c,>，<2,a,>，<2,b,>，

<2,c,>｝

A（BC）=｛<1,>，>，<1,>，<2,>，<2,>，

<2,>｝

（3）A=A=

（4）R2=｛u,v是实数｝，R2为笛卡儿平面。

显然R3为三维笛卡儿空间．

我们注意到，一般地ABBA，（AB）CA（BC）。

此外，也用来表示不含任何序组的笛卡儿积。

关于笛卡儿积有以下性质。

定理4.4设A,B,C为任意集合，*表示，或–运算，

那么

A（B*C）＝（AB）*（AC）

（B*C）A＝（BA）*（CA）

证我们仅证明A（BC）＝（AB）（AC）和A（B–C）＝（AB）–（AC）

对任意x，y，

A（BC）xA∧y（BC）

xA∧（yB∨yC）

（xA∧yB）∨（xA∧yC）

AB∨AC

（AB）（AC）

为证第二式，设为A（B–C）中任一序偶，那么xA,yB，yC，从而AB，AC，即AB–AC,A（B–C）（AB）–（AC）得证。

另一方面，设为（AB）–（AC）中任一序偶，那么AB，AC，从而xA，yB,yC（否则由于xA，AC），故可知yB–C，A（B–C），于是（AB）–（AC）A（B–C）得证。

这就完成了A（B–C）＝（AB）–（AC）的证明。

 定理4.5对任意有限集合A1，…，An，有:

A1…An＝A1…An（为数乘运算）

这是十分直观的，可用归纳法证明之。

4.2关系

4.2.1关系的基本概念

我们由两个例子出发来导出关系的基本概念。

例4.2设A=｛a，b，c，d，e，f｝为学生集合，B=｛,,γ,δ｝为选修课程集合，C=｛2，3，4，5｝为学习成绩集合。

学生与课程之间存在着一种联系，不妨称之为“选修关系”；学生、课程和成绩之间也存在外一种联系，或许可叫做学习成绩关系。

一种容易想到的方法是用具有这种联系的对象的有序元组的集合来表示这些关系。

设R表示选修关系，S表示学习成绩关系，那么

R＝｛，，，，，，｝

表示学生a选修课程,δ;学生b选修课程,;学生c和f选修课程γ，学生e选修课程，而学生d未选修任何课程。

而

S＝｛，，，，，，｝

表示学生a两门选修课成绩分别为5分和4分；学生b两门课成绩均为4分，如此等等。

从上述例子可以看出，几个集合之间的关系，本质上取决于取自它们的元素所构成的有序元组的集合，因此我们如下定义关系。

定义4.4R称为集合A1，A2，…，An-1到An上的n元关系（n-aryrelations）,如果R是A1A2…An-1的一个子集。

当A1＝A2＝…＝An-1＝An时，也称R为A上n元关系。

当n=2时，称R为A1到A2的二元关系。

n元关系也可视为A1A2…An-1到An的二元关系。

我们将主要研究二元关系。

由于关系是集合（只是以序偶为元素），因此，所有集合规定方式均适用于关系的确定。

例4.3自然数集上的相等关系EN，整除关系D，小于关系L可分别用三种方法规定如下：

（1）EN=｛<0,0>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,…｝

（2）D=｛|x整除y｝

（3）小于关系L归纳定义如下：

（3.1）基础条款<0，1>L

（3.2）归纳条款若L，则

L,L

（3.3）终极条款（略）

几个特殊的二元关系今后要常常提到：

AB,称为A到B的空关系。

ABAB，称AB为A到B的全关系。

EA=｛|xA｝,称为A上相等关系。

和AB被称为关系似乎有点奇怪，其实不然。

例如，在共产主义社会里，“人剥削人的关系”就是人类集合上的空关系，而“四海之内皆兄弟”的人类大同实现之时，“兄弟”关系也就成了人类集合上的全关系了。

定义4.5设R为A到B的二元关系。

（1）用xRy表示R，意为x，y有R关系（为可读性好，我们将分别场合使用这两种表达方式中的某一种）。

xR¯y表示R。

（2）称Dom（R）为关系R的定义域（domain），

Dom（R）=｛x|xA∧y（R）｝

（3）称Ran（R）为关系R的值域（range），

Ran（R）＝｛y|yB∧x（R）｝

例4.4设A=｛a，b，c，d，e，f｝，B＝｛,，γ,δ｝，

R＝｛，，，，｝

那么如图4.1所示：

Dom（R）＝｛b，c，d，f｝，Ran（R）=｛,,γ｝

图4.1

各箭头分别表示bR，bR，cR，dRγ，fRγ。

像图4.1这样的关系表示形式，称为关系图（graphofrelation）。

前域和值域相同时，关系图有一个更为简明的形式，因为这时没有必要区别前域和值域。

关系图中表示元素的小圆圈称为结点（nodes），表示元素间具有R关系的有向线段或有向弧称为有向边（directedges）；起点和终点重合的有向边称为环（loop）。

关系图直观清晰，是分析关系性质的方便形式，但是对它不便于进行运算。

关系还有一种便于运算的表示形式，称为关系矩阵（matrixofrelation）。

设RAB，A=｛a1,…,am｝,B=｛b1,…,bn｝，那么R的关系矩阵MR为一mn矩阵，它的第i,j分量cij只取值0或1，而

cij＝1当且仅当aiRbj

例如图4.1所示关系R的关系矩阵为；

应当指出，关系图、关系矩阵的表示形式局限于关系的前域和值域为有限集，而关系图主要用于前域和值域相同的关系。

4.2.2关系的基本运算

在讨论关系的基本运算之前，我们先给出关系相等的概念。

定义4.6称关系R和S相等，如果R与S有相同的前域和值域，并且

xy（xRyxSy）

关系相等的条件中，前域和值域相同的要求不是本质的，因为总可对关系之前域或值域作适当的扩充，而使两者具有相同的前域和值域。

这种域的改变不会改变R与S具有相同的序偶这一根本。

作为集合对关系作并、交、差、补运算是理所当然的，但为了运算结果作为关系的意义更明确，我们也要求运算对象应有相同的前域和值域，从而运算结果是同一前域、值域间的关系。

同前所述，这一要求也不是本质的。

因此，在讨论关系运算时，我们有时忽略它们的前域和值域。

设R和S为A到B的二元关系，其并、交、差、补运算定义如下：

RS＝｛xRy∨xSy｝

RS＝｛xRy∧xSy｝

R–S＝｛xRy∧┐xSy｝

R¯＝AB–R＝｛┐xRy｝

当然，集合的并、交、差、补运算诸性质对关系运算也成立。

需要注意的是，作为关系时，补运算是对全关系而言的，并不是对于全集U而言的。

关系并、交、差、补的矩阵可如下求取：

MR∪S=MR∨MS（矩阵对应分量作逻辑析取运算）

MR∩S=MR∧MS（矩阵对应分量作逻辑合取运算）

MR-S=MR∩S-=MR∧MS-

MS-=（MS）¯（矩阵各分量作逻辑非运算）

除了这些运算外，关系还有自己独特的运算，它们更为重要。

 定义4.7设R是A到B的关系，R的逆关系或逆（converse）是B到A的关系，记为R~，规定为

R~=｛xRy｝

很显然，对任意xA,yB，

xRyyR~x

若MR为R的关系矩阵，那么

MR~＝MR’（M’表示矩阵M的转置矩阵）

例4.5EA~=EA,~=,（AB）~=BA;关系的逆是关系。

逆关系的下列性质是明显的。

定理4.7设R和S都是A到B的二元关系，为,,–运算，那么

（1）R~~=R

（2）R¯~=R~¯

（3）（RS）~=R~S~

（4）RS当且仅当R~S~

证

（2）对任意xA,yB

xR¯~yyR¯x

┐（yRx）

┐（xR~y）

xR~¯y

因此R¯~=R~¯。

（3）我们仅证（R–S）~=R~–S~

对任意xA,yB，

（R–S）~R–S

R∧S

R~∧S~

R~–S~

因此,（R–S）~=R~–S~

其余证明留给读者。

合成运算是最为重要的关系运算。

定义4.8设R为A到B的二元关系，S为B到C的二元关系，那么RS为A到C的二元关系，称为关系R与S的合成（compositions），定义为

RS=｛xA∧zC∧y（yB∧xRy∧yRz）｝

或简单地

RS=｛y（xRy∧yRz）｝

这里称为合成运算。

RR也记为R2。

例4.6

（1）兄弟关系和父子关系的合成是叔侄关系。

设《红楼梦》中人物的兄弟关系为R，父子关系为S，那么

R＝｛<贾宝玉，贾环>，<贾政，贾赦>,…｝

S＝｛<贾政，贾宝玉>,<贾政，贾环>，<贾赦，贾琏>,…｝

从而<贾政,贾琏>RS，贾政与贾琏有叔侄关系。

（2）设A＝｛0，1，2，3，4，5｝,B＝｛2，4，6｝，C＝｛1，3，5｝,RAB,SBC且

R＝｛<1，2>，<2，4>，<3，4>，<5，6>｝

S＝｛<2，l>，<2，5>，<6，3>｝

那么

RS＝｛，<1，5>，<5，3>｝AC

（3）设集合A＝｛1，2，3，4，5｝，R,S均为A上二元关系，且

R＝｛x+y＝4｝＝｛<0，4>,<4，0>，<1，3>，<3，1>,<2,2>｝

S＝｛y-x＝1｝＝｛<0，1>,<1，2>，<2，3>，<3，4>｝

那么

RS＝｛<4，l>，<1，4>，<3，2>,<2,3>｝＝｛x+z＝5｝

SR＝｛<0，3>，<1，2>，<2，1>,<3,0>｝＝｛x+z＝3｝

RR＝｛<0，0>，<4，4>，<1，1>,<3,3>,<2,2>｝＝｛x-z＝0｝

SS＝｛<0，2>，<1，3>，<2，4>｝＝｛z-x＝2｝

（RS）R＝｛<4，3>，<1，0>，<3，2>,<2,1>｝

R（SR）＝｛<4，3>，<3，2>，<2，1>,<1,0>｝

从上例已可看出，一般地RSSR。

关系合成的下列性质是明显成立的。

定理4.8设EA,EB为集合A，B上的相等关系，RAB，那么

（1）EAR=REB=R

（2）R=R=

证

（1）为证EARR，设EAR，那么有uA，使EA,R。

由EA知x=u,因此R。

EARR得证。

反之，设R　。

由于EA，

故EAR，REAR证毕。

因此EAR=R。

同理可证R=REB　。

（2）的证明留给读者。

关系合成的进一步的性质由以下定理给出。

定理4.9设R,S,T均为A上二元关系，那么

（1）     R（ST）=（RS）（RT）

（2）     （ST）R=（SR）（TR）

（3）     R（ST）（RS）（RT）

（4）     （ST）R（SR）（TR）

（5）     R（ST）=（RS）T

（6）     （RS）~=S~R~

证　我们仅证明

（1），（4），（5），另外三式的证明留给读者自行完成。

（１）对任意x,yA,

R（ST）u（R∧ST）

u（R∧（S∨T））

u（（R∧S）∨（R∧T））

u（R∧S）∨u（R∧T）

RS∨RT

RSRT

故（l）式真

（４）对任意x,yA

（ST）Ru（（ST）∧R）

u（S∧T∧R）

u（S∧R∧T∧R）

u（S∧R）∧u（T∧R）

（SR）∧（TR）

（SR）（TR）

故（ST）R（SR）（TR）。

（5）对任意x,yA,

R（ST）u（R∧ST）

u（R∧v（S∧T））

vu（R∧S∧T）

v（u（R∧S）∧T）

v（RS∧T）

（RS）T

注意，（3），（4）两式中的不能改为=，例如在（3）式中令R=｛，｝，S=｛｝，T＝｛｝时，R◦（ST）＝R◦＝，而（R◦S）（R◦T）＝｛｝。

由于关系合成运算有结合律，因此用“幂”表示集合上关系对自身的合成是适当的，Rn=

，规定R0＝EA（R为A上二元关系）。

Rn满足下列性质。

定理4.10设R为A上二元关系，m，n为自然数，那么

（l）Rm◦Rn＝Rm+n

（2）（Rm）n＝Rmn

可把m看作参数，对n进行归纳，不赘述。

定理4.11设集合A的基数为n,R是A上二元关系，那么存在自然数i,j使得

0≤i

，Ri＝Rj。

证我们知道，当A=n时，A上不同二元关系共计

个（见练习5．2之

（1））,令K=

，因此，在

R0，R1，R2，…，RK

这K+l个关系中，至少有两个是相同的（鸽笼原理），即有i，j，0≤i

，使Ri＝Rj。

关系合成运算比较复杂，借助关系图和关系矩阵来理解和计算是有益的。

例4.7

（1）A=｛a1，a2，a3，a4，a5｝，B＝｛b1，b2，b3，b4，b5｝，C=｛c1,c2,c3,c4｝,RAB，SBC；且

R＝｛，，，｝

S＝｛，，｝

R◦S＝｛,,,｝

（2）A=｛a，b，c，d,e｝，R为A上二元关系，

R＝｛，，，，｝

R2=｛，，，，｝

关于关系矩阵我们有下列结果。

 4.3关系的基本特性

本小节总假定关系是某一集合上的二元关系，这一假定不失一般性。

因为任一A到B的关系R总可看到AB上的关系，它与原关系R具有完全相同的序偶，对它的讨论代替对R的讨论无损于问题的本质。

定义4.9设R是A上的二元关系。

（1）称R是自反的（reflexive），如果对任意xA，均有xRx。

即,

R自反当且仅当x（xA→xRx）

（2）称R是反自反的（irreflexive）,如果对任意xA，xRx均不成立．即,

R反自反当且仅当x（xA→┐xRx）

（3）称R是对称的（Symmetic），如果对任意x,yA，xRy蕴涵yRx。

即，

R对称当且仅当xy（x,yA∧xRy→yRx）

（4）称R是反对称的（antisymmetric）,如果对任意x,yA，xRy且yRx蕴涵x＝y。

即,R反对称当且仅当xy（x,yA∧xRy∧yRx→x=y）

（5）称R是传递的（transitive），如果对任意x,y,zA，xRy且yRz蕴涵xRz。

即,

R传递当且仅当xyz（x,y,zA∧xRy∧yRz→xRz）

例4.8设A=｛1，2，3｝以下各关系Ri（i＝1，2，…，8）均为A上二元关系。

（1）R1＝｛<1，l>，<1，3>，<2，2>，<3，3>｝是自反的，而R2＝｛<1，3>，<3，1>｝不是自反的，是反自反的。

存在既不自反也不反自反的二元关系，例如R3＝｛<1，l>｝。

显然A上的关系是反自反的，不是自反的。

可是值得注意的是，当A＝时（这时A上只有一个关系），A上空关系既是自反的，又是反自反的，因为A＝使两者定义的前提恒假。

（2）R4＝｛<1，3>，<3，1>，<1，2>，<1，1>｝不是对称的；R5＝｛<1，2>，<2，1>｝

是对称的；R6＝｛<1，2>，<1，3>｝是反对称的。

其实R4既不是对称的，也不是反对称的。

特别有意思的是，存在既对称又反对称的二元关系，例如A上的相等关系EA。

（3）R7＝｛<1，2>，<2，3>，<1，3>，<3，3>｝是传递的，但R7–｛<1，3>｝便不是传递的了。

应当注意，A上的空关系，R8＝｛<1，2>｝等是传递的，因为传递性定义的前提对它们而言均为假。

（4）任何非空集合上的空关系都是反自反、对称、反对称、传递的；其上的相等关系是自反、对称、反对称、传递的；其上的全关系是自反、对称、传递的。

（5）正整数集合上的整除关系是自反、反对称、传递的；但整数集合上的整除关系只有传递性。

（6）      三角形的相似关系、全等关系是自反、对称、传递的。

关系的基本特性与关系图、关系矩阵有怎样的联系呢？

表4.1详解之。

 表4.1

关系特性

关系图特征

关系矩阵特性

自反

每一结点处有一环

对角线元素均为1

反自反

每一结点处均无环

对角线元素均为0

对称

两结点间的边成对出现（方向相反）

矩阵为对称矩阵

反对称

没有方向相反的边成对出现

当分量cij＝1（ij）时cji＝0

传递

如果结点v1,…,vn间有边

v1v2,…,vn-1vn,则必有边v1vn

（无鲜明特征）

关系的五大基本特性还可以用下列五个特征性加以刻划。

定理4.13设R为A上二元关系。

（1）R自反当且仅当EAR。

（2）R反自反当且仅当EAR

（3）R对称当且仅当RR~。

（4）R反对称当且仅当RR~EA。

（5）R传递当且仅当R2R。

证

（1），

（2）是明显的。

（3）设R对称，那么对任意x,yA

RR（R对称）

R~

故RR~。

反之，设RR~，为证R对称，又设有xRy。

由于RR~,故xR~y,进而yRx。

R对称证毕。

（4）设R反对称，那么对任意x,yA

RR~R∧