离散数学定义定理上.docx
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离散数学定义定理上
离散数学定义定理
1.3.1命题演算的合式公式规定为：
（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（AB）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用
（1）
（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2设Ai是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称Ai是A的子公式。
1.3.3设P为一命题公式，P1,P2,……，Pn为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，Pn指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，Pn为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，Pn任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A<=>B。
1.3.5设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：
（1）对任意公式A，又A=>A；
（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；
（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>（B∧C）;
（4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.
1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
蕴含式推理
P∧Q=>P
化简式
P∧Q=>Q
化简式
P=>P∨Q
附加式
┐P=>P→Q
变形附加式
Q=>P→Q
变形附加式
┐（P→Q）=>P
变形简化式
┐（P→Q）=>┐Q
变形简化式
p∧（P→Q）=>Q
假言推论
┐Q∧（P→Q）=>┐P
拒取式
┐p∧（P∨Q）=>Q
析取三段式
（P→Q）∧（Q→R）=>P→R
条件三段式
（PQ）∧（QR）=>PR
双条件三段式
（P→Q）∧（R→S）∧（P∧R）=>Q→S
合取构造二难
（P→Q）∧（R→S）∧（P∨R）=>Q∨S
析取构造二难
P→Q=>（P∨R）→（Q∨R）
前后附加式
P→Q=>（P∧R）→（Q∧R）
前后附加式
1.5.1一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：
A1∧A2∧…∧An（n≥1），其中A1，A2，…，An都是有命题变元及其否定所组成的析取式。
1.5.2一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：
A1∨A2∨…∨An（n≥1），其中A1，A2，…，An都是有命题变元及其否定所组成的合取式。
1.5.3n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与他的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。
小项有如下性质：
（1）每个小项具有一个相应的编码，当该编码与其真实指派相同时，该小项为T，在其余2n-1种指派情况下为F。
（2）任意两个不同小项的合取是永假。
（3）全体小项的析取式为永真。
定义1.5.4对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取组成，则该等价公式称作原公式的主析取范式。
定理1.5.1在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式主析取范式。
定理1.5.2任意含n个命题变元的非永假命题公式，其主析取范式是唯一的。
定义1.5.5n个命题变元的析取式称作布尔析取或大项。
其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须出现仅出现一次。
定理1.5.3在真值表中一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，称为此公式的主合取范式。
定理1.5.4任意含有n个命题变元的非永假命题公式A，其主合取范式是唯一的。
设命题公式中含有n个命题变元，且A的主析取范式中含有k个小项mi1,mi2,…，mik,则A的主合取范式比含有2n-k个大项。
如果命题公式A的主析取范式为
∑（i1,i2,……，ik），
则A的主合取范式为：
Π（0,1,2,…，i1-1,i1+1,…，ik-1,ik+1,……，2n-1）。
从A的主析取范式求其主合取范式的步骤为：
（1）求出A的主析取范式中未包含小项的下标。
（2）把
（1）中求出的下标写成对应大项。
（3）做
（2）中县城大项合取，即为A的主合取范式。
根据主范式（主析取范式、主合取范式）的定义和定理，可以判定含n个命题变元的公式：
（1）若A可化为与其等价的含2n个小项的主析取范式，则A为永真式。
（2）若A可化为与其等价的含2n个大项的主合取范式，则A为永假式。
（3）若A的主析取范式不含2n个小项，或A的主合取范式不含2n个大项，则A为可满足的。
定义1.6.1设H1,H2,…Hn，C是命题公式，当且仅当H1∧H2∧…∧Hn=>C，称C是一组前提H1，H2，…，Hn的有效结论。
等值公式表
E1
┐┐p<=>P
E12
R∨（P∧┐P）<=>R
E2
P∧Q<=>Q∧P
E13
R∧（P∨┐P）<=>R
E3
P∨Q<=>Q∨P
E14
R∨（P∨┐P）<=>T
E4
（P∧Q）∧R<=>P∧（Q∧R）
E15
R∧（P∧┐P）<=>F
E5
（P∨Q）∨R<=>P∨（Q∨R）
E16
P→Q<=>┐P∨Q
E6
P∧（Q∨R）<=>（P∧Q）∨（P∧R）
E17
┐（P→Q）<=>P∧┐Q
E7
P∨（Q∧R）<=>（P∨Q）∧（P∨R）
E18
P→Q<=>┐Q→┐P
E8
┐（P∧Q）<=>┐P∨┐Q
E19
P→（Q→R）<=>（P∧Q）→R
E9
┐（P∨Q）<=>┐P∧┐Q
E20
PQ<=>（P→Q）∧（Q→P）
E10
P∨P<=>P
E21
PQ<=>（P∧Q）∨（┐P∧┐Q）
E11
P∧P<=>P
E22
┐（PQ）<=>P┐Q
常用的推理规则有：
（1）前提引入规则：
在证明的任何步骤上，都可以引入前提，简称P规则。
（2）结论引入规则：
在证明的任何步骤上，所证明的结论都可作为后续证明的前提，称为T规则。
（3）置换规则：
在证明的任何步骤上，命题公式的任何子命题公式都可以用与之等值的命题公式置换，也记作T规则。
定理1.6.1推理H1∧H2∧…∧Hn┣C是有效推理的充分必要条件是H1∧H2∧…∧Hn→C为永真式。
定义1.6.2设H1，H2，…，Hn是可满足式，则称H1，H2，…，Hn是相容的，若H1，H2，…，Hn是永假式称H1，H2，…，Hn是不相容的。
定理1.6.2若H1∧H2∧…∧Hn∧┐C为永假式，则H1∧H2∧…∧Hn┣C成立。
定理1.6.3若H1∧H2∧…∧Hn∧R=>C，则H1∧H2∧…∧Hn=>R→C。
本定理即：
若H1，H2，…,Hn，R┣C，则H1，H2，…，Hn┣R→C
定义2.1.1由一个谓词，一些个体变元组成的表达式简称为谓词变项或称为命题函数。
（命题函数不是命题，只有命题函数中的变元都取为特定具体的个体时，才是确定的命题。
谓词变项摘，个体变元的数目为谓词变项的元数。
）
定义2.2.1由一个或几个原子命题函数以及逻辑联接词组合而成的表达式称为符合命题函数。
定义2.2.2谓词演算的合式公式，可由下述各条组成（合式公式A记为WffA）:
（1）原子谓词公式是合适公式。
（2）若A是合式公式，则┐A是合式公式。
（3）若A和B都是合式公式，则（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（AB）是合式公式。
（4）如果A是合式公式，x是A中出现的任何变元，则（x）A和（x）A都是合式公式。
（5）只有经过有限次应用规则
（1）
（2）（3）（4）所得到的公式是合式公式。
定义2.2.3给定谓词合式公式A，其中一部分公式形式为（x）（Bx）或（x）（Bx），称量词，后面所跟的x为指导变元或作用变元。
称B为相应量词的辖域（或作用域）。
在辖域中，x的一切出现称为约束出现。
在B中除去约束出现的其他变项的出现称为自由出现。
（1）约束改名规则，将量词辖域中，某个约束出现的个体变元及其相应指导变元改成本辖域中未出现过的个体变元，其余不变。
（2）自由带入规则，对某个自由出现的个体变元可用个体常元或用与原子公式中与所有个体变元不同的个体变元取代入，且处处代入。
定义2.3.1给定任何两个谓词公式WffA和WffB，设它们有共同的个体域E，若对A和B的任一一组变元进行赋值，所得命题的真值相同，则称谓词公式A和B在E上市等价的，记作A<=>B。
定义2.3.2给定任意谓词公式WffA，其个体域为E，对于A的所有赋值WffA都为真，则称WffA在E上有效的（或永真的）。
定义2.3.3一个谓词公式WffA，对于A的所有赋值WffA都为假，则称WffA为不可满足的（或永假的）。
定义2.3.4一个谓词公式WffA，如果至少在一个赋值下为真，则称该WffA为可满足。
等值公式表
E23
（x）（（Ax）∨（Bx））<=>（x）（Ax）∨（x）（Bx）
E30
（x）（Ax）→B<=>（x）（（Ax）→B）
E24
（x）（（Ax）∧（Bx））<=>（x）（Ax）∧（x）（Bx）
E31
（x）（Ax）→B<=>（x）（（Ax）→B）
E25
┐（x）（Ax）<=>（x）┐（Ax）
E32
A→（x）（Bx）<=>（x）（A→（Bx））
E26
┐（x）（Ax）<=>（x）┐（Ax）
E33
A→（x）（Bx）<=>（x）（A→（Bx））
E27
（x）（A∨（Bx））<=>A∨（x）（Bx）
I17
（x）（Ax）∨（x）（Bx）=>（x）（（Ax）∨（Bx））
E28
（x）（A∧（Bx））<=>A∧（x）（Bx）
I18
（x）（（Ax）∧（Bx））=>（x）（Ax）∧（x）（Bx）
E29
（x）（（Ax）→（Bx））<=>（x）（Ax）→（x）（Bx）
I19
（x）（Ax）→（x）（Bx）=>（x）（（Ax）→（Bx））
定义2.4.1一个公式，如果量词均在全式的开头，它们的作用域，延伸到整个公式的末尾，则该公式叫做前束范式。
前束范式形式如下：
（Q1V1）（Q2V2）……（QnVn）A。
其中Qi（1≤i≤n）为或，A为不含有量词的谓词公式。
定理2.4.1任意一个谓词公式，均和一个前束范式等价。
谓词演算推理规则
（1）全称指定规定，US.∵（x）P（x）∴P（c）
（2）全称推广规则，UG：
∵P（x）∴（x）P（x）
（3）存在指定规则，ES：
∵（x）P（x）∴P（c）
（4）存在推广规则，EG：
∵：
P（c）∴（x）P（x）
定义3.1.1设A，B是任意两个集合，若A=B，当且仅当它们有相同的成员。
定义3.1.2设A，B是任意两个集合，加入A的每个元素都是B的元素，则称Ａ为Ｂ的子集，或Ａ包含在Ｂ内或Ｂ包含Ａ。
记作：
AB或BA
定理3.1.1集合A和集合B相等的充分必要条件式两个集合互为子集。
定义3.1.3如果集合A的每一元素都属于B，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A为B的真子集，记作AB。
定义3.1.4不包含任何元素的集合称为空集，记作Φ或{}。
定理3.1.2对于任何集合A必有ΦA。
（空集包含在A内）
定义3.1.5设A为任意集合，以A的子集为元素所组成的集合，称为集合A的幂集。
记作P（A）。
定理3.1.3如果有限集合A有n个元素，则其幂集P（A）有2n个元素。
（2n-1个子集元素个数为奇数）
定义3.1.6在一定范围内，如果所有集合均为某一集合的子集，则称该集合为全集。
全集记作E。
定义3.2.1设任意两个集合A和B，由集合A和B的所有共有元素组成的集合S，称为A和B的交集，记作A∩B。
S=A∩B={x|（x∈A）∧（x∈B）}
集合的交运算有如下性质：
A∩A=AA∩B=B∩AA∩Φ=ΦA∩B
定义3.2.2设任意两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素所组成的集合S称为A和B的并集，记作A∪B。
S=A∪B={x|（x∈A）∨（x∈B）}
交运算性质：
a）A∪（A∩B）=Ab）A∩（A∪B）=A
吸收率：
c）设集合AB<=>A∪B=Bd）设集合AB<=>A∩B=A
定义3.2.3设A，B为任意两个集合，所有属于A而不属于B的一切元素组成的集合S，称为B对于A的补集，或相对补，记作A-B。
定义3.2.4设E为全集，对任一集合A，关于E的补E-A，称为集合A的绝对补，记作~A
a）~（~A）=Ab）~E=Φc）~Φ=E;d）A∪~A=Ec）A∩~A=Φ
定理3.2.2设A，B为任意两个集合，则下列关系式成立。
a）A-B=A∩~Bb）A-B=A-（A∩B）c）~（A∪B）=~A∩~Bd）~（A∩B）=~A∪~B
定义3.2.5设A，B为任意两个集，A和B的对称差为集合S，其元素或属于A，或属于B，但不能既属于B，又属于比，记作AB。
定理3.2.3设任意集合A，B，C，则有以下性质：
a）AB=BAb）AΦ=Ac）AA=Φd）AB=（A∩~B）∪（~A∩B）e）（AB）C=A（BC）
定义3.3.1由两个客体x和y，按一定的顺序，组成一个二元组，称此二元组为有序对，或称序偶，记作或（x,y）。
其中x是该序偶的第一元素，y是该序偶的第二元素。
定义3.3.2两个序偶相等，=，iffx=u,y=v。
定义3.3.3设A，B为集合。
用A中的元素x作为第一元素，B中的元素作为第二元素，构成有序对，所有这样的有序对组成的集合，叫做A和B的笛卡尔积，记作A×B。
A×B={|x∈A,y∈B}
定理3.3.1设A，B，C为任意三个集合，则有：
a）A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C）b）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C）c）（A∪B）×C=（A∪C）×（B∪C）d）（A∪B）×C=（A∪C）×（B∪C）
定理3.3.2设A，B，C，D，为非空集合，则A×BC×D的充要条件为AC，BD。
定义3..3.4设A，B是任意两个集合，A×B的子集R称为从A到B的二元关系。
当A=B是，称R为A上的二元关系。
从这个定义可以表明A到B的二元关系，也是序偶的集合。
故∈R，即称a与b有关系R，记作aRb。
若R，则称a与b没有关系R，记作aRb。
若R=Φ称为空关系，若R=A×B称R为全关系，当A=B时，全关系EA={|x∈A∧y∈A}=A×A，A上的恒等关系IA={|x∈A}
定义3.3.5设R为二元关系，由∈R的所有x所组成的集合domR，称为R的前域。
domR={x|（y）（∈R）}
使∈R得所有y组成的集合ranR称为R的值域。
ranR={y|（x）（∈R）}
R的前域和值域一起称为R的域，记作FLDR,即：
FLDR=domR∪ranR。
定理3.3.3若Z和S是从集合X到Y的两个关系，则Z，S的交，并，差，补仍是X到Y的关系。
定义3.4.1设R是集合X上的二元关系，
（1）如果对任意x∈X，必有xRx，则称关系R在X上是自反的。
（2）如果对任意x∈X，必有xRx，则称关系R在X上是反自反的。
（3）如果对任意x，y∈X，若xRy必有yRx，则称关系R在X上是对称的。
（4）如果对任意x，y∈X，若xRy且yRx必有x=y，则称R是反对称的。
也可叙述为：
若xRy，且x<>Y，必有xRy。
（5）如果对任意x，y，z∈X，xRy且yRz必有xRz，则称关系R在X上是传递的。
定义3.5.1设R是从X到Y的二元关系，如将R中每一序偶的元素顺序互换，所得到的集合称为R的逆关系，记作R-1（或Rc）
即：
R-1={|∈R}
定义3.5.2设R为A到B的关系，S为从B到C的关系，则R○S称为R和S的复合关系表示为：
R○S={|x∈A∧z∈C∧（y）（y∈B∧∈R∧∈S）}，R○S称为关系的合成运算。
（复合运算不满足交换律）
定理3.5.2设A={a1，a2，…，am}，B={b1，b2，……，bn}，C={c1，c2，……，cr}
从A到B的关系R1关系矩阵MR1=（xij）是m×n阶矩阵。
从B到C的关系R2的关系矩阵MR2=（yij）是n×r阶矩阵，那么从A到C的关系矩阵：
MR1○R2=（zij）是m×r阶矩阵，
其中，i=1，2，……，m，j=1，2，……，r。
定义3.5.3设R是A上二元关系，如果有另一个关系R’，满足：
（1）R’是自反的（对称的，可传递的）；
（2）R’R；
（3）对于任何自反的（对称的，可传递的）关系R”，如果有R”R，就有R”R’，则称关系R’为R的自反（对称，传递）闭包，记作r（R）（s（R），t（R））。
定理3.5.3设R为非空有穷集合A上的二元关系。
（1）r（R）=R∪IA；
（2）s（R）=R∪R-1；
（2）t（R）=R∪R2∪……∪Rn，其中n是集合A中元素的数目。
定义3.6.1给定集合A上的关系ρ，若ρ是自反的，对称的，则称ρ是Ａ上的相容关系。
定义3.6.2若把一个集合A分成若干叫做分块的非空子集，使得A中每个元素，至少属于一个分块，那么这些分块的全体构成的集合叫做Ａ的覆盖。
定义3.6.1给定集合A的覆盖，S=｛S1,S2,……Sn｝，由它确定的关系：
ρ=S1×S1∪S2×S2∪……∪Sn×Sn是相容的。
定义3.7.1设R为定义在集合A上的一个关系，若R是自反的，对称的和传递的，则R称为等价关系。
定义3.7.2设给定非空集合A，若有集合S=｛S1,S2,……Sm｝，其中SiA，Si（i=1,2,…，m），且Si∩Sj=（ij），同时有，称S是A的划分。
定义3.7.3设R为集合Ａ上的等价关系，对任何a∈A，集合[a]R={x|x∈A,aRx}称为元素a形成的等价类。
简记[a]或。
定理3.7.1设给定非空集合A上等价关系R，对于：
a，b∈A有aRbiff[a]R=[b]R。
定义3.7.4集合A上的等价关系R，其等价类集合｛[a]R|a∈A｝称为A关于R的商集记作A/R。
定理3.7.2集合A的等价关系R，确定了Ａ的一个划分，该划分就是商集Ａ/R。
定理3.7.3集合A的一个划分确定A的元素间的一个等价关系。
设集合A有一个划分S=｛S1,S2,……Sm｝，现定义一个关系R，当aRb，当且仅当a，b在同一分块中，这样：
（1）a与a在同一分块中，故必有aRa，即R是自反的。
（2）若a，b在同一分块中，则b，a也在同一分块，即aRb=>bRa，故R是对称的。
（3）若a与b在同一分块中，b与c在同一分块中，因为Si∩Sj=（ij），即b属于且属于一个分块，故a与c必在同一个分块中，故有：
aRb∧bRc=>aRc，即R是传递的。
定义3.8.1设Ａ是一个集合，如果Ａ上的关系Ｒ满足自反性，反对称性，以及传递性，则称Ｒ是A上的一个偏序关系，并记作“≤”，序偶称作偏序关系。
定义3.8.2设集合A上有二元关系，R若是反自反和传递的，称R为A上的拟序关系。
并把称为拟序集，或记作。
定理3.8.1集合A上二元关系是拟序的，则R必为反对称的。
定义3.8.3集合A上二元关系是拟序集，对于任意x，y∈A，如果x≤y或者y≤x成立，称x和y可比。
定义3.8.4在偏序集中，如果想x，y∈A，x≤y，且xy，且没有其他元素，z满足x≤z，z≤y，则称元素y盖住元素x。
记COVA{|x，y∈A；y盖住x}
（设R是非空集合A上的偏序集，a，b是A中两个不同元素，如果∈R，且在A中没有其他元素c，使得∈R和∈R，称元素b盖住元素a。
）
定义3.8.5设≤是集合A上的二元关系，如果对于A中任意两个元素a，b∈A，必有a≤b或b≤a，则称≤是A上的全序关系（或称线序关系）。
若≤是A上的全序关系，称是全序集。
定义3.8.6设是一个偏序关系，钱B是Ａ的子集，对于Ｂ中的一个元素b，如果B中没有任何元素x，满足bx，且b≤x称b为B的极大元。
同理对于b∈B，如果B中没有任何元素x，满足bx，且x≤b，则称b为B的极小元。
定义3.8.7令是一个偏序集，BA，若有某个元素b∈B，对B中每一个元素，x有x≤b，称b为的最大元，同理，若有某个元素b∈B，对于每个x∈B有，b≤x，则称b为的最小元。
定义3.8.8设为偏序集，对于BA，如果有a∈A，且对于B的任意元素x都满足x≤a，则称a为子集B的上界，同样对于B的任意元素x，都满足a≤x，则称a为B的下界。
定义3.8.9设为偏序集，若有子集BA，若a为B的任一上界，若对B的所有上界y均有a≤y，则称a是B的最小上界（上确界），同样若b为B的任一下界，若对B的所有下界z，均有z小于等于b，则称b为B的最大下界（下确界）。
定义3.8.10设为全序集，如果A的任何非空子集都含有最小元，称为良序集。
定义3.9.1设X和Y是任何两个集合，而f是X到Y的一个关系，如果对于每一个x∈X，有惟一的y∈Y，使得∈f，称关系f为函数，记作
f:
XY或。
假如∈f，称x为自变元，与x相对应的y称为函数在x处的值，记作y=f（x），即∈f。
y称为f作用下的x的象。
从函数定义可以知道它与关系有别于如下两点：
（1）函数的定义域是X，而不能是X的某个真子集，这点可以表示为domf=X.
（2）一个x∈X只能对应惟一的y∈Y,使得∈f称f为函数。
定义3.9.2设f，g，都是X到Y上函数，它们有相同的定义域与值域，即
domf=domg，rang=rang，
且对每个x∈X都有f（x）=g（x），称函数f与g是相等的，并记作f=g。
定义3.9.3设X，Y为集合，把所有从X到Y的函数构成的集合记作YX,即
Yx={f|f:
XY}。
定义3.9.4给定函数f:
XY。
（1）若ranf=Y称f是满射的或f为到上的。
（2）若函数满足x1，x2∈X，若x1x2时必有f（x1）f（x2），则称f为入射的。
（3）若函数f既是满射，又是入射，则称f为双射。
定义3.10.1设f:
XY，g:
YZ
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