第一讲函数极限连续学生用docx.docx
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第一讲函数极限连续学生用docx
高等数学
第一讲函数、极限、连续
I•考试要求
1.理解函数概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系.
2.了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.
3.理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念.
4.掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限Z间的关系.
6.掌握极限的性质及四则运算法则.
7.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法.
8.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限.
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数I'可断点的类型.
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最人值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质.
H.考试内容
—.函数
（-）函数的概念对应关系，定义域
（二）函数的性质
1・有界性3M>0,均有\f（x）\/（x）<,有上界；/（x）>M2有下界
/（兀）有界o/（兀）有上界II有下界
2.单调性Xfxi.f（兀2）），单调增加（减少）.
3.周期性3r>0,Vx€（-oo,+oo）,均有/（x+T）=/（x）侧称/⑴为周期函数
4.奇偶性VXG（-/,/）,均有/（-%）=f（x）（-/（X））,则于（兀）为偶（奇）函数.【例1】设F\x）=f（x）,则下列结论正确的是（）•
（A）若/'（X）为奇函数，则尸（兀）为偶函数.
（B）若/⑴为偶函数，则F⑴为奇函数.
（C）若/（兀）为周期函数，则F（x）为周期函数.
（D）若/（X）为单调函数，则F（x）为单调函数.
（三）函数的类型
1.基本初等函数y=C,y-x,u,y-ax,y=y=sinx,y=cos,y=arcsinxfy=arccos.
2.复合函数
名合一
y二/（w）,u=（p{x）「：
〉y二/（0（x））一拆多
3•反函数），=/（兀），x=
4.初等函数
5.隐函数F（x,y）=0（x+y=0,y=sinxy）.
6・幕指函数f（xY（x）=^（x）,n/（v）,/（x）>0.
隐含的分段函数
①,y=|/（兀）|,②y=[/（兀）],③y=sgn/（%）
y=mm{f（x\g（x）}=
/（兀）+g（x）-|/（x）-gCr）|
2
&参数方程（数一.二要求）
x=（p（t）y=0（/）
④y=max{/（x）,g（x）}=心巴心网,
_\x=rcos3
9・极坐标方程r=询,\.八
[y=厂sm&
二.极限
（1）极限定义
Xn-A<£.
\imxH=A<=>Vr>（）,mN>0,当n>N时,
"T8
若记/（n）=xn,lim/（n）=lim
HT8n—>oo
|x|>X
lim/（x）=A«V£>0,3X>0,当（兀>X）时，\f（x）-A\X（兀V—X）
0兀TXo.V—»x0+XTX°-
limf（x）=A<=>V£>0,3^>0,当0~8vx—x（）v0
（2）极限的性质
1.唯一性
2.局部保号性
0
若lim/（x）=A>0,贝!
j3t/（x0）（|x|>X）,使得在其内有/（x）>0Xf0
（XT8）
3.局部有界性
若lim/（x）=A存在，贝iJ3（/（,（x（））（|x|>X）,使得在其内/（兀）是有界的，
（XT8）
【例2】设/（兀）在x=0的某邻域内连续，且/（0）=0,lim/⑴=2,则/（兀）在XT01一COSX
x=0处.
（4）有最大值.（3）有最小值.（C）有极大值.（D）有极小值.
答案：
（C）
（3）无穷大量无穷小量
1.定义lim/（兀）=0无穷小，lim/（x）=oo无穷大
2.无穷小的主要运算
（1）任意有限个无穷小的和与积仍是无穷小
（2打有界量与无穷小之积仍是无穷小
（3）lim/（x）=A存在o/（x）=A+a（a—>0）
3.无穷小的比较
设lima（兀）=O,lim0（兀）=0,且lim"兀=1,贝!
|0（兀）
（i）ZHOjHoo,0（兀）与0（兀）同阶
（ii）/=1,a（x）~0（兀）
（iii）/=O,G（x）是0（x）的高阶无穷小，o（x）=o（0（x））
（iv）/=OO,0（兀）=o（a（x））
注：
（1）lima（兀）=lim0（兀）=0,若lim竽=1」$0,1壬8,a（兀）是0（兀）的£阶0（兀）
无穷小.
⑵lim虫込0
a（x）
4.等价无穷小的应用（*）
若a（兀）〜a\x）,0（兀）~0'（兀）WJlima（x）/（x）=lima'（Qf（x）
a（x）a\x）
limf（x）=hmf（兀）,
0⑴八0⑴八
注：
一般只在乘除法中应用.
常用等价无穷小
当xt0时，兀〜sinx〜tan兀〜arcsinx〜arctanx〜ex-1〜ln（l+x）,
9
1-cosx,
2
cix—1~无Ina（a>0）>（1+x）k—1~kx,”1+x—1~—等.k
【例3】当兀TO时，惭数-4sin-是
XX
（A）无穷小量.（B）无穷大量.
（C）有界但非无穷小量.（D）无界但非无穷大量.
X2+X
【例4】lim~—（5sinx+6arctanx）
—x3+2x-100
--..+1
［例5】lim/
^°l-cosVl-cosx
【解】当20时，济-I迁
1-cosxtO,
.r1-COSXJT
1-cosvl-COSX〜
（四）极限存在准则
1.单调有界数列必有极限
注：
单增+上界单减+下界=>极限存在
2.如果^（%）limf（x）=A
XT心Xfb
注：
适当的缩放.
【例6】Xj=10,兀”+]=Jxn4-6（n=1,2,L）,求极限limx”
反例：
设Xj=1,xn+[=2xn+1（n=1,2,L）,求极限limxn.
]2n
【例7】lim（-++L+）=.
〃T8rr+/?
+1/+〃+2rr+n+n
（5）两个重要极限
sinx.
1.lim=1
XT°X
推广型：
lima（Q=0,则limSina（x）=[
0a{x）
11
2.lim（l+—）=lim（l+x）x=e
“Too兀XTO
推广：
广，lima（兀）=0lim（l+a（x））g）=◎
注:
幕指函数的极限有以下几种情况:
zlimv（x）,
（1）若limu（x）=a>0.limv（x）=b,则limw（x）vA=（lim“（兀））_"=ab.
X—>X0X—>X0X—>X0
（2）对广型未定式limw（x）v（r）的极限，可用公式limw（x）v（t）=exp{limv（x）lnw（x）}
或limw（%）v（v）=exp{lim（w（^）-l）v（x）}进行计算.
【例8]（12309）lim（tanx）a,sx-sinA=
njv—»—
4
（6）极限的运算法则
若lim/（x）=A,limg（兀）=3,贝ij
lim[/（x）±g（x）]=A+B,lim[/（兀）・g（x）]=A-Bflim史◎=（BhO）,
gWB
lim[/（x）r（r）=A\（A>0）.
lim（p（x）=a,（p（x）工a,lim/（w）=A,则limf[（p（x）]=A.
X—>xoUTdXTXo
注：
（1）参加运算的只有有限项，且每项极限均存在.
（2）四则运算的讨论
和差：
一存在，一不存在=>和差一定不存在，两不存在=>和差不确定
一存在，和存在=>另一极限一定存在
积商：
一存在，一不存在（或两不存）=>积不确定，
宀、0°°
（3）不定式8—8,0・8，一,一
08
注：
在反常积分，无穷级数收敛中的应用
x+1x+1
欲使此式趋向于零，必须且只须a=\,b=-\.因此答案为（C）.
（八）洛必达法则
1.若lim/O）=limg（x）=0（8）,且g'（x）HO,lim厶凹存在（或为无穷大）,
黒）&（兀）
则lim=lim4^・
（X）忙邛⑷
2.求极限常用的方法
等价代换（变量代换，有理化，三角恒等变形），四则运算，洛必达法则
三连续
1•定义若lim/（x）=/（x0）,则称y=/（x）在=点连续
XT.*）
注：
连续就是极限等于该点的函数值.因此，通过计算极限，可以判定连续.反过来,如果已知连续，求极限时，只需计算函数值.
2.单侧连续
左连续lim/（x）=/（兀。
）与右连续lim/（x）=/（x0）.
x—XTxf
lim/（x）=/（x0）olimf（x）=lim/（x）==/（x0）
XT心XT.qXTX。
注：
用于分段函数分段点的讨论
3.区间连续如果函数y=f（x）在区间⑺上）中的每一点处都连续，则称y=/（jv）在区间⑺上）中连续，记作f（x）wC（a,b）,连续函数的图象是一条连绵的曲线.
/（兀疋C®
注：
/（x）gClah]«limf（x）=f（b）
.XTb
■i■5〜、eA（sinx+cosx）兀>0__八、亠小…
【例13]设/（x）=\在点x=0连续，则。
=•
2x+qx<0
4•间断点及其分类
4・1定义：
若y=/（兀）在点兀o不连续，则称点兀o是函数的间断点.
4.2分类：
兀。
是函数的间断点，lim/（x）,limf\x）都存在，称为第一类间断点.否则X-»A0XTX,
称为第二类间断点.
几何分类（四种名称）
极限lim/（兀）存在，但是lim/（x）H/（x0）,称为可去间断点.
XT兀°XTX。
lim/（无）工limf（x）,称为跳跃间断点.
xt.yRxT.q；
limf（x）=oo（lim/（无）=8,limf（x）=©o）称为无穷间断点.
XT*。
XT・（6XT・G°
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