人教版八年级数学下册第十七章卷1.docx
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人教版八年级数学下册第十七章卷1
第十七章卷
（1）
一、选择题
1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10D．a=3，b=4，c=5
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
3．正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ）
A．2B．
C．
D．4
4．如果直角三角形两直角边为5：
12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A．60：
13B．5：
12C．12：
13D．60：
169
5．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（ ）
A．6B．
C．
D．4
6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里
7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、填空题
9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为 ．
10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．
11．正方形的对角线为4，则它的边长AB= ．
12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为 ．
13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
三、解答题
14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．
15．如图：
带阴影部分的半圆的面积是多少？
（π取3）
16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a；
（2）已知a=
，∠A=60°，求b、c．
18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
答案
1．下列各组数中，以a，b，c为边的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3B．a=7，b=24，c=25C．a=6，b=8，c=10D．a=3，b=4，c=5
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】选择题．
【分析】根据勾股定理的逆定理：
如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
【解答】解：
A、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故A选项符合题意；
B、∵72+242=252，∴该三角形是直角三角形，故B选项不符合题意；
C、∵62+82=102，∴该三角形是直角三角形，故C选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形不是直角三角形，故D选项不符合题意．
故选A．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）
A．25B．14C．7D．7或25
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】选择题．
【分析】已知的这两条边可以为直角边，也可以是一条直角边一条斜边，从而分两种情况进行讨论解答．
【解答】解：
分两种情况：
（1）3、4都为直角边，由勾股定理得，斜边为5；
（2）3为直角边，4为斜边，由勾股定理得，直角边为
．∴第三边长的平方是25或7，
故选D．
【点评】本题利用了分类讨论思想，是数学中常用的一种解题方法．
3．正方形的面积是4，则它的对角线长是（ ）
A．2B．
C．
D．4
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】设正方形的对角线为x，然后根据勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：
设正方形的对角线为x，
∵正方形的面积是4，
∴边长的平方为4，
∴由勾股定理得，x=
=2
．
故选C．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，熟记定理和性质是解题的关键．
4．如果直角三角形两直角边为5：
12，则斜边上的高与斜边的比为（ ）
A．60：
13B．5：
12C．12：
13D．60：
169
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】可在直角三角形中，用勾股定理求出斜边的长，然后根据三角形面积的不同表示方法，求出斜边上的高．进而可得出斜边与斜边上的高的比例关系．
【解答】解：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5k，BC=12k，
根据勾股定理有：
AB=
=13k，
∵S△ABC=
AC•BC=
AB•CD，
∴CD=
=
，
∴AB：
CD=13：
=169：
60，
即斜边上的高与斜边的比=60：
169，
故选D．
【点评】本题考查了勾股定理得运用，能够根据已知条件结合勾股定理求出直角三角形的三边．特别注意结论：
直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．此结论在计算中运用可以简便计算．
5．如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于（ ）
A．6B．
C．
D．4
【考点】勾股定理．
【专题】选择题．
【分析】利用两次勾股定理即可解答．
【解答】解：
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
∵AB=3，BD=2，
∴AD=
=
∵DC=1
∴AC=
=
．
故选B．
【点评】本题需先求出AD长，利用了两次勾股定理进行推理计算．
6．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）
A．25海里B．30海里C．35海里D．40海里
【考点】勾股定理的应用；方向角．
【专题】选择题．
【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了32，24．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
【解答】解：
∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了16×2=32海里，12×2=24海里，
根据勾股定理得：
=40（海里）．
故选D．
【点评】熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
7．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】选择题．
【分析】对等式进行整理，再判断其形状．
【解答】解：
化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定：
可用勾股定理的逆定理判定．
8．如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则BE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】勾股定理的应用．
【专题】选择题．
【分析】根据翻折的性质可得AE=CE，设BE=x，然后表示出AE，再利用勾股定理列出方程进行计算即可得解．
【解答】解：
根据翻折的性质得，AE=CE，设BE=x，
∵长方形ABCD的长为8，
∴AE=CE=8﹣x，
在Rt△ABE中，根据勾股定理，AE2=AB2+BE2，
即（8﹣x）2=42+x2，
解得x=3，
所以，BE的长为3．
故选A．
【点评】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理的应用，熟记翻折前后对应线段相等，然后用BE的长度表示出AE是解题的关键．
9．在直角三角形中，若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】填空题．
【分析】由已知直角三角形的两直角边，利用勾股定理即可求出斜边的长．
【解答】解：
∵在直角三角形中，两直角边的长分别为：
a=1cm，b=2cm，
∴根据勾股定理得：
斜边长c=
=
=
cm．
故答案为：
cm．
【点评】此题考查了勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
10．在△ABC中，∠C=90°，AB=5，则AB2+AC2+BC2= ．
【考点】勾股定理．
【专题】填空题．
【分析】根据勾股定理可得AB2=AC2+BC2，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：
∵∠C=90°，
∴AB2=AC2+BC2，
∴AB2+AC2+BC2=2AB2=2×52=2×25=50．
故答案为：
50．
【点评】本题考查了勾股定理，是基础题，熟记定理是解题的关键．
11．正方形的对角线为4，则它的边长AB= ．
【考点】勾股定理．
【专题】填空题．
【分析】根据正方形的性质利用勾股定理可求出其边长．
【解答】解：
设正方形的边长为x，则x2+x2=42得：
x=
．
故答案为2
．
【点评】此题考查勾股定理的运用．
12．直角三角形有一条直角边为6，另两条边长是连续偶数，则该三角形周长为 ．
【考点】勾股定理．
【专题】填空题．
【分析】先根据题意设出另外两直角边的长，再根据勾股定理列方程解答即可．
【解答】解：
∵两条边长是连续偶数，可设另一直角边为x，则斜边为（x+2），
根据勾股定理得：
（x+2）2﹣x2=62，
解得x=8，∴x+2=10，
∴周长为：
6+8+10=24．
故答案为24
【点评】本题主要考查了勾股定理的知识，需注意连续偶数应相隔2个数，熟练掌握勾股定理的应用．
13．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有 米．
【考点】勾股定理的应用．
【专题】填空题．
【分析】根据勾股定理，计算树的折断部分是15米，则折断前树的高度是15+9=24米．
【解答】解：
因为AB=9米，AC=12米，
根据勾股定理得BC=
=15米，
于是折断前树的高度是15+9=24米．
故答案为：
24．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，是基础知识，比较简单．
14．如图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段，并写出这两条线段的长度．
【考点】作长为
（n为正整数）的线段．
【专题】解答题．
【分析】连接AB，根据勾股定理，AB=
=2
．故AB长度是无理数；根据勾股定理，CD=
=5．故CD的长度是有理数．
【解答】解：
表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD．
∵△ABE是直角三角形，
∴AB=
=2
，
同理，CD═CD=
=5，
故答案为：
表示无理数的线段AB，表示有理数的线段CD
【点评】本题考查了无理数、有理数和勾股定理的应用，注意：
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
15．如图：
带阴影部分的半圆的面积是多少？
（π取3）
【考点】勾股定理．
【专题】解答题．
【分析】首先利用勾股定理得出斜边长，进而利用圆的面积公式得出答案．
【解答】解：
由题意可得：
半圆的直径为：
=10，
则阴影部分的半圆的面积是：
π×52=
×3×25=
．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及圆的面积求法，正确掌握圆的面积公式是解题关键．
16．如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13，试判断△ABD的形状，并说明理由．
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】解答题．
【分析】先在△ABC中，根据勾股定理求出AB2的值，再在△ABD中根据勾股定理的逆定理，判断出AD⊥AB，即可得到△ABD为直角三角形．
【解答】解：
△ABD为直角三角形．理由如下：
∵在△ABC中，∠C=90°，
∴AB2=CB2+AC2=42+32=52，
∴在△ABD中，AB2+AD2=52+122=132，
∴AB2+AD2=BD2，
∴△ABD为直角三角形．
【点评】本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°．
（1）已知c=25，b=15，求a；
（2）已知a=
，∠A=60°，求b、c．
【考点】勾股定理．
【专题】解答题．
【分析】
（1）根据勾股定理即可直接求出a的值；
（2）根据直角三角形的性质与勾股定理即可求出b、c的值．
【解答】解：
（1）根据勾股定理可得：
a=
=20；
（2）∵△ABC为Rt△，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴c=2b，
根据勾股定理可得：
a2+b2=c2，即6+b2=（2b）2，
解得b=
，则c=2
．
【点评】考查综合应用勾股定理、直角三角形性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
18．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解答题．
【分析】根据题意画出图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20﹣4=16，再根据勾股定理就可求解．
【解答】解：
如图所示，根据题意，得
AC=20﹣4=16，BC=12．
根据勾股定理，得
AB=20．
则小鸟所用的时间是20÷4=5（s）．
【点评】此题主要是勾股定理的运用．注意：
时间=路程÷速度．
19．如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】解答题．
【分析】连接BD，根据已知分别求得△ABD的面积与△BDC的面积，即可求四边形ABCD的面积．
【解答】解：
连接BD，
∵AB=3cm，AD=4cm，∠A=90°
∴BD=5cm，S△ABD=
×3×4=6cm2
又∵BD=5cm，BC=13cm，CD=12cm
∴BD2+CD2=BC2
∴∠BDC=90°
∴S△BDC=
×5×12=30cm2
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC=6+30=36cm2．
【点评】此题主要考查勾股定理和逆定理的应用，还涉及了三角形的面积计算．连接BD，是关键的一步．
20．如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？
【考点】勾股定理的应用．
【专题】解答题．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：
AC=2米，由于梯子的长度不变，在直角三角形CDE中，根据勾股定理得CE=1.5米，所以AE=0.5米，即梯子的顶端下滑了0.5米．
【解答】解：
在Rt△ABC中，AB=2.5米，BC=1.5米，故AC=
=
=2米，
在Rt△ECD中，AB=DE=2.5米，CD=（1.5+0.5）米，故EC=
=
=1.5米，
故AE=AC﹣CE=2﹣1.5=0.5米．
【点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，此题中主要注意梯子的长度不变，分别运用勾股定理求得AC和CE的长，即可计算下滑的长度．
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