等差等比数列练习题含答案以及基础知识点.docx
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等差等比数列练习题含答案以及基础知识点
等差等比数列练习题（含答案）以及基础知识点
一、等差等比数列基础知识点
知识归纳：
1．概念与公式：
①等差数列：
1°.定义：
若数列{an}满足an1and（常数）,则{an}称等差数列；
2°.通项公式：
ana1（n1）dak（nk）d;3°.前n项和公式：
公式：
Snn（a1an）n（n1）na1d.22②等比数列：
1°.定义若数列{an}满足an1，则{an}称等比数列；2°.通项公式：
q
anana1qn1akqnka1anqa1（1qn）（q1）,当q=1时Snna1.;3°.前n项和公式：
Sn1q1q2．简单性质：
①首尾项性质：
设数列{an}:
a1,a2,a3,,an,
1°.若{an}是等差数列，则a1ana2an1a3an2;2°.若{an}是等比数列，则a1ana2an1a3an2.②中项及性质：
1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且Aab;22°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且Gab.③设p、q、r、s为正整数，且pqrs,1°.若{an}是等差数列，则apaqaras;2°.若{an}是等比数列，则apaqaras;④顺次n项和性质：
1°.若{an}是公差为d的等差数列，则a,a,akkk1kn12nk2n13nnkkn2n3nk组成公差为n2d的等差数列；
2°.若{an}是公差为q的等比数列，则偶数时这个结论不成立）
⑤若{an}是等比数列。
a,a,ak1kn1k2n1k组成公差为qn的等比数列.；
2°.若n为偶数，则S偶S奇nd.2学习要点：
1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d≠0的等差数列的通项公式是项n的一次函数an=an+b;②公差d≠0的等差数列的前n项和公式项数n的没有常数项的二次函数Sn=an2+bn;③公比q≠1的等比数列的前n项公式可以写成“Sn=a（1-qn）的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.
2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.
3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：
①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq2（或
a，a,aq）”③四数成等差数列，可设四数为q“a,am,a2m,a3m（或a3m,am,am,a3m）;”④四数成等比数列，可设四数为“a,aq,aq,aq（或23aa3,,aq,aq）,”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验.3qq[例1]解答下述问题：
111,,成等差数列，求证：
abcbccaab,,成等差数列；abcbbba,,c成等比数列.
222已知
[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决。
112ac22acb（ac）,acbacbbcabbcc2a2abb（ac）a2c2
（1）acacac2（ac）22（ac）.b（ac）b
bccaab,,成等差数列;abcbbbb2b
（2）（a）（c）ac（ac）2,22242bbba,,c成等比数列.222设数列{an}的前n项和为Sn,且满足a21,2Snn（an1）,
2
求证：
{an}是等差数列；若数列{bn}满足:
b13b25b3（2n1）bn2n1an6
求证：
{bn}是等比数列.
2Snn（an1）[解析]2Sn1（n1）（an11）①②
②－①得2an（n1）an1nan1（n1）an1nan1,
令n1得a11,a21,令n2得a33,猜想an2n3,用数学归纳法证明:
1）当n1时,a11213,a21223,结论正确;2）假设nk（k2）时结论正确,即ak2k3,
当nk1时,（k1）ak1kak1k（2k3）12k23k1（2k1）（k1）k2,ak12k12（k1）3,结论正确.
1）、2）知，当nN时,an2n3,
an1an（2n1）（2n3）2,即{an}是公差为2的等差数列;
（2）设Tn2n1an62n1（2n3）6,当n2时（2n1）bnTnTn12n1（2n3）2n（2n5）（2n1）2n,bn2n（n2）,而b14
（1）62,也适合,当nN时bn2n,bn12,即{bn}是公比为2的等比数列.bn
[评析]判断一个数列成等差、等比数列主要方法有：
根据“中项”性质、根据“定义”判断，或通过“归纳猜想”并证明.
[例2]解答下述问题：
等差数列的前n项和为Sn,若SP求SPQ（用P,Q表示）.
[解析]选择公式\Snanbn\做比较好，但也可以考虑用性质完成.
3
2QP,SQ（PQ）,PQ
Q2aPbPP2[解法一]设Snanbn,PaQ2bQQ①
②
Q2P2①－②得：
（PQ）[a（PQ）b],PQ,
PQPQ,a（PQ）bPQ,PQ（PQ）.PQ2
SPQ（PQ）[a（PQ）b][解法二]不妨设PQ,QPSPSQaQ1aQ2aPPQ（PQ）（aQ1aP）2（PQ）.PQ2PQ（PQ）（a1aPQ）PQSPQ,PQ2PQ
SPQ等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为
1282，求项数n.
[解析]设公比为q,n12a1a3a5an102442
a2a4an11282a1q42
（1）
35252而a1a2a3an102412822（a1qn1n2352a1qn352123（n1）2352）2,将
（1）代入得
（2）2,
5n35,得n等差数列{an}中，公差d≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：
ak1,ak2,,akn恰为等比数列,其中k11,k25,k317,
求数列{kn}的前n项和.
[解析]a1,a5,a17成等比数列,a5a1a17,
24
（a14d）2a1（a116d）d（a12d）0d0,a12d,数列{akn}的公比qa5a14d3,a1a1①②
akna13n12d3n1而akna1（kn1）d2d（kn1）d①，②得kn23n11,3n1{kn}的前n项和Sn2n3nn1[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功.[例3]解答下述问题：
三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.
[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a－d,a,a+d，则有
22（ad）（ad32）ad32d32a022（a4）（ad）（ad）8a16d8263d232d640,d8或d,得a10或,
39226338原三数为2,10,50或,,.999有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数.[解析]设此四数为a15,a5,a5,a15（a15）,
（a152）（a5）2（a5）2（a15）2（2m）2（mN）4a25004m2（ma）（ma）125,1251125525,ma与ma均为正整数,且mama,ma1ma2ma125ma25解得a62或a12（不合）,所求四数为47，57，67，77
[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主
要方法.
二、等差等比数列复习题
一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列
为常数数列 为非零的常数数列 存在且唯一 不存在
5
2.、在等差数列
anan中，a14,且a1,a5,a13成等比数列，则an的通项公式为
3n1ann3 an3n1或an4 ann3或an4
ac的值为 xy3、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则
12 2 2 不确定
y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数
4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项。
成等差数列不成等比数列 成等比数列不成等差数列既成等差数列又成等比数列 既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列
an的前n项和为Sn,S2n14n22n,则此数列的通项公式为
2n2 an8n2 an2n1 ann2n
2an6、已知（zx）4（xy）（yz），则
111111,,成等差数列,,成等比数列xyzxyzx,y,z成等差数列x,y,z成等比数列
7、数列
an的前n项和Snan1，则关于数列an的下列说法中，正确的个数有
①一定是等比数列，但不可能是等差数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
4 3 2 1
8、数列1
1111,3,5,7,,前n项和为 248161111112222nn1 nn1 nnn1nnn1
2222229、若两个等差数列
an、bn的前n项和分别为An、Bn，且满足An87
Bn78
4n25n5，则
a5a13b5b13的值为
10、已知数列
79
1920
an的前n项和为Snn25n2,则数列an的前10项和为
an的通项公式ann5为,从an中依次取出第3，9，27，…3,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列
n
56 58 62 60
11、已知数列
的前n项和为
n（3n13）3n10n33n110n3n 35
22212、下列命题中是真命题的是 （ ）
6
A．数列
an是等差数列的充要条件是anpnq（p0）
an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
B．已知一个数列C．数列
an是等比数列的充要条件anabn1D．如果一个数列二、填空题
an的前n项和Snabnc（a0,b0,b1）,则此数列是等比数列的充要条件是ac0
an，公比q1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=
a2a6a18=
13、各项都是正数的等比数列
14、已知等差数列
an，公差d0,a1,a5,a17成等比数列，则a1a5a17415、已知数列
an满足Sn11an,则an= an是公差d不为零的等差数列，数列ab是公比为q的等比数列，b11,b210,b346，求公比q及bn。
n16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 二、解答题17、已知数列
18、已知等差数列
19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。
20、已知
21、数列求
an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等于d（d0,d1）,a1b1，a33b3,a55b5,求an,bn。
an为等比数列，a32,a2a420，求an的通项式。
3an的前n项和记为Sn,a11,an12Sn1n1an的通项公式；
bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn
等差数列
22、已知数列
an满足a11,an12an1（nN*）.an的通项公式；bn满足4b1...4b1（an1）b（nN），证明：
bn是等差数列；
12nn求数列
若数列
第九单元数列综合题
一、选择题题号1
234567891011127
答BDCAAACADDDD案二、填空题13.
152 14.2629 15.43（13）n 16.63
三、解答题
=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d
{abn}为等比数例，得2=a1（a1+45d）得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.∴q=4又{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+（bn-1）d=3d·4n-1∴bn=3·4n-1-2
18.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d2,a1（1-3d2）=-2d① a5=5b5,a1+4d=5a1d4,∴a1（1-5d4）=-4d ②
②15d422155①,得13d2=2，∴d=1或d=5,题意，d=5,a1=-5。
∴an=a1+（n-1）d=5（n-6）19.设这四个数为
aq,a,aq,2aqa①则aq·aaq216 ①，得a3=216,a=6③aaq（3aqa）36②③代入②，得3aq=36,q=2∴这四个数为3，6，12，18
20.解:
设等比数列{aan}的公比为q,则q≠0,a2=32
q=q,a4=a3q=2q
所以220q+2q=3,解得q1
1=3
,q2=3,
当q11－18－
1=3,a1=18.所以an=18×（3）n1=3n－1=2×33n.
当q=3时,a22－
1=9,所以an=9
×3n－1=2×3n3.
21.解：
（I）an12Sn1可得an2Sn11n2，两式相减得
an1an2an,an13ann2
又a22S113∴a23a1 故an是首项为1，公比为3得等比数列 ∴an1n3
bn=a1dn-1=-5·（5n-15）8
设bn的公差为d
T315得，可得b1b2b315，可得b25故可设b15d,b35d又a11,a23,a39
题意可得5d15d9532解得d12,d210
∵等差数列bn的各项为正，∴d0∴d2
∴Tnn1n3n22n22n22：
an12an（1n,）N*
an112（an1）,an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。
ann12.
即a*n221（nN）.证法一：
4b114b21...4bn1（an1）bn.
4（b1b2...bn）n2nbn.
2[（b1b2...bn）n]nbn, 2[（b1b2...bnbn1）（n1）]（n1）bn1. ②－①，得2（bn11）（n1）bn1nbn,即（n1）bn1nbn20,
③
nbn2（n1）bn120. ④
④－③，得nbn22nbn1nbn0,
即bn22bn1bn0,
①
②9
bn2bn1bn1bn（nN*）,
bn是等差数列。
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