线性代数公式定理032425.docx

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线性代数公式定理032425

ii对角线法则

I沙路法

十十十

°=场1叱甜+知讣n十逊护皿少

—旧］］日2工盤-a13a51fl3j—%旳曲］

（7）三角行列式的计算：

下（上）

上元素的乘积，即

a110

a21a22

三角形行列式的值等于主对角线

a11a22ann

线代公式定理

章一、行列式

1、n阶行列式

（1）（定义）由自然数1,n组成的一个有序数组称为一

个n阶排列，记为jij2…jn.

（2）（定义）在一个排列中，若一个较大的数排在一个较小的数的前

面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中所有逆序的总数称为这个排列的逆序数.用（jij2…jn）表示排列jl,j2,…,jn的逆序数.逆序数

是偶数的排列称为偶排列，逆序数是奇数的排列称为奇排列。

（3）（定义）把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动,

就得到一个新的排列，这种变换称为排列的一个对换。

（4）（定理）一次对换改变排列奇偶性。

（5）（推论）任何一个n阶排列都可以通过对换化成标准排列，并且

所作对换的次数的奇偶性与该排列的奇偶性相同。

（6）三阶行列式的计算:

2、行列式的性质

（1）（性质）行列式与它的转置行列式相等,即。

（2）（性质）如果行列式某一行（列）元素有公因数k,则k可以提到行列式符号外边。

（3）（推论）如果行列式中某一行（列）元素全为零,那么行列式等于零。

（4）（性质）如果行列式中两行（列）互换，那么行列式只改变一个符号。

（5）（推论）若行列式中有两行（列）相同,则行列式的值为零。

（6）（推论）如果行列式中两行（列）的对应元素成比例，那么行列式值为0。

（7）（性质）如果行列式某行（列）的各元素都可以写成两数之和,则此行列式等于两个行列式的和。

（8）（性质）如果将行列式中某行（列）的各元素同乘一数k后，加到另一行（列）的各对应元素上，则行列式的值不变。

（9）（性质）若aj=ai（i,j=1,2,…,n）,则称行列式D为对称的；若aj=-aji（i,j=1,2,…,n）,则称行列式D为反对称.由定义易知，在反对称行列式中，aii=0（i=1,2,…,n）。

3、行列式的展开与计算

（1）（定义）在n阶行列式D=|aj|n中，划掉元素a”所在的第i

行和第j列后，留下的元素按照原来的顺序组成的n-1阶行列式称为元素aj的余子式，记为M。

（1）ijMij称为元素aj的代

数余子式。

•

（2）（定理）n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即

DaiAia2A2anAh（i12,n）

（3）定理1.3.2n阶行列式D=|aij|n中某一行（列）的各个元素与

另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0.即

〈】日：

++…+现凡二心丰仓、

（+电/L+…+鬆处=（心丰灼

（4）两个重要公式：

召％4厂仏当心焉若％当八匕

（5）（定义）在n阶行列式D中，任取k行、k列（1kn-1），由这些行和列交叉处的元素按照原来的相对位置所构成的k阶行列式N,称为D的一个k阶子式.在行列式D中去掉k阶子式N所在的行和列以后，剩下的元素按原来的顺序构成的nk阶行列式M称为N的余子式若N所在的行序数为i1,i2,…，ik,所在的列序数为j1，j2,…,jk,则称i=I心—F+X

为N的代数余子式。

（6）（拉普拉斯（Laplace）定理）在n阶行列式D中任意选取k行（列）（1kn-1）,则由这k个行（列）中的一切k阶子式N,N2,…，N与它们所对应的代数余子式A,A,…，A乘积之和等于

D=\\小泌*…乜4=,t=c：

D,即其中。

4、克莱姆法则

（1）（克莱姆（Cramer）法则）如果线性方程组（1.4.1）的系数行列式”0,则方程组有唯一解，并且解可以用行列式表示为

鸟=务…E=务廷二务，…，為=务，其中D（j=1,2,…，n）是把系数行列

式D中第j列的元素用方程组（1.4.1）右端的常数项bi,b2,bn

代替后所得到的n阶行列式，即

…%八

^1J+1

…兀

D.=

込］

…务

■

•♦

■'<■

■-1

…白3

■■

■V

B•

・■

C«

（2）（定义）当线性方程组（1.4.1）右端的常数项b1,b2,…，bn不全为零时，称为非齐次线性方程组；当b,b,…,bn全为零时，称为齐次线性方程组。

（3）（推论）若齐次线性方程组”n…，兀

j=j

的系数行列式"0,则它只有唯一的零解。

（4）（定理）若齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0

5、数域

（1）（定义）设P是由一些数组成的集合，包含0和1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不等于零）仍在P中,那么我们称P是一个数域。

⑵（定理）设P为任何一个数域，则QP。

章二、矩阵

概念

（1）（定义）数域P上mKn个数aj（i=1,2,…，n;j=1,2,…,n）

排成的m行n列数表

t712

a2Y

&22

A«V

«*«

«4*

¥-V*

称为P上的一个m行n列矩阵，或称为mn矩阵，简记为（a"nKn或（aj）.其中aj称为这个矩阵中第i行第j列的元素.当P是实数域时，称数表为实矩阵，当P是复数域时，称数表为复矩阵。

（2）行矩阵、列矩阵：

在mn矩阵A=（aj）中，如果n=1,这

时A=（aii,ai2,…,am）,称其为行矩阵，也称为n维行向量；如果

n=1,这时

称其为列矩阵，也称为m维列向量。

零矩阵:

所有元素都为零的mn矩阵

0、

称为零矩阵，记为

O^kn或Q

（3）在mn矩阵A=（aj）中，当m=n时,称为n阶方阵，简记为

（aij）n.

Ipi]512…

（4）对于n阶方阵A可定义行列式旳?

…牛，称其为矩阵A的行列式，记为IA。

.力…5

'10…『

01・“0

（5）形如E=・的矩称为单位阵

hgI

n阶方阵称为对角形矩阵，记为

A二右…，心）

』0…1；

（6）非主对角线上元素全为零的

（A.0…0N

A0心…0简写为

■■V

■*

I00*»*几血丿I

（7）当n阶对角形矩阵主对角线上的元素,=；=■'■=.,二•时,

卢久0*■*0^1

称为数量矩阵U兄…°。

*«■M

«■«

100»■4」

（8）上（下）三角形矩阵：

在n阶方阵（a）n中,如果主对角线下（上）方的元素全为零，即当i>j时,aij=0（i,j=1,2,…，n）,则称之为上（下）三角形矩阵。

二、运算

（1）（定义）两个矩阵A=（aq）论n,B=（bij）sxt,如果m=s,n=t,称A与B是同型矩阵；若数域P上的同型矩阵A=（aij）mxn与B=（bij）mxn的对应元素相等,即aij=bij（i=1,2,…,m;j=1,2,…,n）,称A与B相等，记作A=BO

（2）（定义）设A=（aij）mxn,B=（bij）mxn为数域P上的两个同型矩

阵，称矩阵（aij+bij）mxn为矩阵A与B的和,记作O

（3）定义223设A=（aij）mxn；为数域P上的矩阵，k€P.数k与

矩阵A的每个元素相乘后得到的矩阵（kaij）mxn称为数k与矩阵

A的数量乘积，简称为数乘，记作。

（4）矩阵的加法与数乘称为矩阵的线性运算若矩阵A=（aj）m

则称矩阵（-aij）m

（5）运算律：

1加法交换律A+B=B+A

2加法结合律（A+B）+C二A+（B+C）;

3A+O=O+A二这里0是与A同型的零矩阵；

4A+（-A）=（-A）+A=O；

5）k（A+B）=kA+kB；

6（k+l）A=kA+lA；

7（kl）A=k（lA）=l（kA）；

81A=A,0A=O

（6）（定义）设A=（aij）k,B=（bj）kxn,C=（Cj）mxn均为数域P上的矩阵，其中两i/+诙+叫劫r右必不必“小必胡称矩阵C是A与B的乘积，记作C=AB

***只有当左乘矩阵A的列数等于右乘矩阵B的行数时，乘积AB才有意义.乘积矩阵AB的行数等于左乘矩阵A的行数，AB的列数等于右乘矩阵B的列数

（7）矩阵乘法与数的乘法区别：

1矩阵乘法不满足交换律；

2矩阵乘法不满足消去律；

3两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵；

（8）设ABC为数域P上的矩阵，k€P,它们的乘法满足如下运算

规律：

①结合律（AB）C=A（BC;

2分配律A（B+C）=AB+AC,（B+C）A=BA+CA

3k（A^=（kA）B=A（kB）,k为任意常数；

（9）定义225设A是n阶矩阵，k为正整数，定义k个A的

连乘积为A的k次幂，记作八即卅=厂月…&这里规定

Jvr

A0=eo

（10）定理2.1.1设AB均为n阶方阵,k为常数,则|kA|=k]A|,

|AE|=|AlB。

（要求A,B为同型矩阵）

（11）（定义）设mKn矩阵J二

（、

X1LbIu

^21召22…丑

■£4kujJ

**■>

«I»

，将矩阵A的

1务|5…%;

f、

^11夠…

行列互换，而不改变其先后次序得到的nkm矩阵

理1卑■il■■富閃勺

I1-»

■■■

称为矩阵A的转置矩阵，记为A（或A）o

回上抵…如」

（12）设A,B为数域P上的矩阵，k€P,矩阵的转置满足如下运算规律:

①（At）t=A;

TTT-

2（A+B）=A+B；

3（kA）T=kAr（k为任意常数）；

4|A>|A（A为方阵）；

5（ABT=BrAr；

（13）（定义）设A=（aj）是n阶方阵，如果A=A即aj=aji（i,j=1,2,…,n）,则称A为对称矩阵；如果Ar=-A,即aj=-^i（i,j=1,2,…,n），则称A为反对称矩阵.显然在反对称矩

阵中,主对角线上的元素均为零.

三、逆矩阵

（1）（定义）设A是n阶方阵，若有一个n阶方阵B,使得AE=BA=E,则B

称为A的逆矩阵,A称为可逆矩阵，或非奇异矩阵；定义中A与B的地位是等同的，所以B也是可逆矩阵，并且A是B的逆矩阵

⑵定理231若A是一个n阶可逆矩阵，则它的逆矩阵是唯

⑶（定义）设A=（aij）nXn,A为的行列式|A中元素aj的代数

A1力21…如

余子式，称尹二心…心为矩阵A的伴随矩阵

«I-4

（4）

（定理）n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A0,且A可逆时,有

（5）（推论）设A与B都是n阶方阵，若AB=E则AB都可逆，并且

A1二BB1=Ao

（6）（性质）若A可逆，则A1可逆，且（A1）-1二A

（7）（性质）若A可逆，则lA^IAI-1.

（8）（性质）若A可逆，则（A）—（AT

（9）（性质）若n阶矩阵AB都可逆，则AB可逆，且（AB-1二B^A1。

（10）（性质）若A可逆，数CO,则（kA）-1=k'A1o

（11）（性质）若A可逆，且AB=O则B=O（12）性质7若A可逆,

且AB二AC则B=C（13）矩阵方程AX二C,XA二C,AXB二淇中AB均为可

逆矩阵.则上述矩阵方程分别有唯一解X=A-1C,X=CA-1,

X=A-1CB-1

（14）（定义）设A为实数域R上的方阵，如果它满足AAT二ATA二剛称A为正交矩阵。

（15）（定理）实数域R上的方阵A为正交矩阵的充分必要条件是卞=人。

（16）正交矩阵的性质：

1若A为正交矩阵,则|A|=1或|A|=-1；

2正交矩阵的逆矩阵及转置矩阵仍为正交矩阵；

3若AB是同阶正交矩阵，则AB也是正交矩阵；

4）正交矩阵的每行（列）元素的平方和等于1,不同两行（列）的对应元素乘积之和等于0。

四、分块矩阵

（1）定义241设A是一个矩阵，用贯穿于的纵线和横线按某

种需要将其划分成若干个阶数较低的矩阵，这种矩阵称为A的子

块或子矩阵，以这些子块为元素构成的矩阵称为A的分块矩阵。

（2）分块矩阵的运算:

设AB为mKn矩阵，将A,B采用同样的方法进行分块，得到

则有

^12

…切

■i

Aj?

•…

■fa

牛川z?

■

…牛

J2*

"xw丿

…佻丿

f4L+很+占心…比+坷。

41十血厶十血…厶十B沁

%+%A用+氐…£+

（k为常数）

斤42

…g

^21

kA^

■9

…kA2q

■

■»

■

•…kA

若分块矩阵

…A?

…血

则有

（3）分块矩阵的乘法:

设矩阵A=（aij）mxs,B=（bij）Sx

用分块矩阵计算AB的乘积AB时,

一定要使A的列的分法与B的行的分法一致，这样不仅可以保证

AB作为分块矩阵可乘，而且它们相应的各子块间的乘法也有意

义，即

彳2…

414a…4/?

■VV<9

-■4-«

灼*二

血毘2…Afl

««■

♦♦*

||4!

V41•

4厶…心丿

4绻…

其中矩阵A的子块Aik为mixSk（i=1,2,…,r,

%珂…入

k=1,2,…,p）矩

阵,矩阵B的子块Bj为Skxnj（k=1,2,…,p;j=1,2,…,q）矩

工址=ni,j-i

AB=

工爲=s,

GiG,…氐

Gx匚…5

其中厂[为mixnj矩阵（i=1,2,…,r,

j=1,2,…,q）。

（4）定义2.5.2设A为n阶方阵，如果它的分块矩阵具有如下形式仏）

A=&

I『/I

其中A（i=1,2,…,s）为ni阶方阵2气二〃，则称A为准对角形矩阵。

门

（5）设A,B同型方阵，且子块同型，则有

AE=

3.|A=lAllA|…|A|;

4.若|A|0（i=1,2,…,s）,则

■

-1

4_1

■

LA-」

五、初等变换与初等矩阵

（1）（定义）矩阵A的下列变换称为它的初等行（或列）变换：

（三种初等变换分别简称为互换、倍乘、倍加。

矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换）

1.互换矩阵A的第i行与第j行（或第i列与第j列）的位置，记为rirj（或cicj）;

2.用常数k工0去乘矩阵A的第i行（或第j列），记为kri（或kcj）;

3•将矩阵A的第j行（或第j列）各元素的k倍加到第i行（或第i列）的对应元素上去，记为ri+krj（或ci+kcj）;

（2）定义2.5.2如果矩阵A经过有限次初等变换化为矩阵B,

则称A与B等价，记为A旦B，或ABo

（3）等价是矩阵间的基本性质:

1.自反性：

A^A:

2.对称性：

若2B,则B幻A;

3.传递性：

若A旦B,B旦C,则A^C;

（4）（定义）如果矩阵A满足下列条件：

1若有零行，则零行全在矩阵A的下方；

2A的各非零行的第一个非零元素的列序数小于下一行中第一

个非零元素的列序数;

则称A为行阶梯形矩阵，或阶梯形矩阵。

{如果矩阵A除满足上

述条件①、②外，还满足条件：

③各非零行的第一个非零元素均

为1,且所在列的其它元素都为零，则称A为简化的阶梯形矩

阵。

}

（5）阶梯形矩阵的一般形式为

（6）上述矩阵中，bk（1kr）为非零常数，

*号表示某一常数。

「0

…0

*««■

…+1

…0

£…

■一*

**■•*

…0

■i

•.■*

…o

*…■*

0---

■

■■**

■■■*

■8

**•:

…0

■i

■v.HH

■

…0

«|

■■■*

…0

•*

■

•…

■

…0

I-

…0

0…

…0

…0丿

（7）定理2.5.1任何非零矩阵都可以通过初等行变换化为阶梯形。

（8）定理2.5.2任意非零矩阵A=（aj）m^n都与它的标准形等价

即存在矩阵

（Er勺

，其中Er

为r阶单位矩阵,1rmin{m,n}

（9）（定义）由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为

初等矩阵（三种变换方式对应三种类型的初等矩阵：

分别称为互

换、倍乘、倍加初等矩阵）

（10）初等矩阵的性质：

1初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等矩阵；

2初等矩阵都是可逆矩阵；

3初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵，且

=my,J）

矿Q（归）=（丄））

矿aa））=皿;）

（11）（定理）设A是一个mKn矩阵，对A作一次初等行变换，

相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A作一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n初等矩阵。

（由这个

定理，矩阵的初等变换和矩阵乘法建立了联系）

（12）（定理）mn矩阵A与B等价有m阶初等矩阵Pi,P2,…，Ps

与n阶初等矩Q,Q,…

若记P=P1,P2,…，Ps,Q=Q,Q,…，Q，贝yP为m阶可逆矩阵，Q

为n阶可逆矩阵，于是得到以下推论:

①推论：

mn矩阵A与B等价存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆

矩阵Q,使得PAB=B

2推论：

对于任意非零mn矩阵A存在m阶可逆矩阵P与n

（ed

阶可逆矩阵Q,使得/加二f。

3推论：

若A为n阶可逆矩阵〃则〃丿A仝E。

4推论：

推论4n阶矩阵A可逆的充分必要条件是它可表示成

有限个初等矩阵的乘积。

（13）可利用下面的方式求A的逆矩阵。

六、矩阵的秩

（1）（定义）在矩阵A中,任取k行，k列（1

（2）（定义）若在mxn矩阵A中,有一个r阶子式不为零,而所有的r+1阶子式（若存在的话）都为零,则称r为矩阵A的秩,记为R（A）=r。

特别的，零矩阵的秩规定为零。

（***:

如果矩阵A的所有的r+1阶子式都为零,那么A的所有高于r+1阶的子式（若存在的话）也必然为零.因此R（A）是A中不为零的子式的最高阶数）

（3）由定义以上可以看出,在矩阵A中,若存在一个r阶子式不为零,则R（A）>r,若所有的r+1阶子式都为零,则代A

（4）对于矩阵A=（aj）mn,显然有日.力

由矩阵秩的定义，显然阶梯形矩阵的秩等于矩阵中非零行的行数。

（5）（定理）n阶方阵A的秩为n的充分必要条件是A为可逆矩阵。

即二nA可逆。

（6）对于n阶方阵A,若R（A）=n,则称A为满秩矩阵，若R（A）

（7）（定理）初等变换不改变矩阵的秩。

（8）

它的标准

任意非零矩阵A都可以经过有限次初等变换化为标准形形是唯一的，并且R（A）=r。

（9））（推论）两个同型矩阵A与B等价的充分必要条件是RA）=F（B）。

（10）推论2设A为mxn矩阵，P和Q分别为m阶与n阶可逆矩阵，则有：

斤⑷-m-叽4Q）-R（PA$

（11）&A+B）

章三、向量组的线性相关性

一、向量的概念与运算

（1）

（a1,a2,…,an），称为P上

（定义）由数域P上的n个数组成的有序数组的一个n维向量，记为a,即a=（a1,a2,…,an）。

（2）

称为n维列向量

a=（a*a2,…,an）称为n维行向量,

（3）在线性方程组

中，令

.4=

lJul

曹

X=（Xi,X2,…学n）T

坷曲+坷商+…+比A=心

遹］+透必2+*…+遇」；_At

则方程组可写作

•…码拧,

□

■

…%

■

«■

--■QJ血

Ax=b,并记

称为增广矩阵。

（4）线性变换的系数矩阵

线性变换的定义：

设变量yi,y2丄,ym能用变量Xi,X2,L,Xn线性表示，即

耳1Xi

812X2

*1nXn

821X1

*22X2

82nXn

LLL

am1X1

8m2X2

Rmn^

这里aij（i1,2,L,m;j1,2,L,n）为常数.这种从变量xi,X2丄，Xn到变量yi,y2L,ym的变换称为线性变换，线性变换由m个n元函数组成，每个函数

都是变量的一次幕，

故而称之为线性变换。

*11

*12

81n

A821

822

82n

8m1

8m2

8mn

称之为线性变换的

系数矩阵。

线性变换和系数矩阵是对应的

二、向量组的线性相关性

am,B都是数域P上的n维向量，如果存

（1）（定义）设a1,a2,

在数域P上的数k1,k2,…,km,使得「r则称B是向量a1,a2,…,am的线性组合，或称B可由向量组a1,a2,…,am线性表出（示）。

（2）判断一个向量组是否线性相关，往往把其转化为对线性齐次方程组是否有

非零解的讨论。

系数行列式为零，该方程组有非零解，故向量组a1,a2,a3,a4

线

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