选修21第三章空间向量与立体几何教案1.docx
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选修21第三章空间向量与立体几何教案1
选修2-1第三章空间向量与立体几何教案
课题：
平面向量知识复习教学目标：
复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备教学重点：
平面向量的基础知识教学难点：
运用向量知识解决具体问题教学过程：
一、基本概念
向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
二、基本运算
1、向量的运算及其性质
2、平面向量基本定理：
如果21,ee
是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ，使a=
；注意（2
1OBOAOP+=
OAOAOP1（λλ-+=的几何意义
3、两个向量平行的充要条件：
⑴//ab
的充要条件是：
；（向量表示）
⑵若,（,,（2211yxbyxa==
，则//ab的充要条件是：
；（坐标表示）
4、两个非零向量垂直的充要条件：
⑴ab⊥
的充要条件是：
；（向量表示）
⑵若,（,,（2211yxbyxa==
，则ab⊥的充要条件是：
；（坐标表示）
三、课堂练习
1．O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若（OB-OC·（OB+OC－2OA=0，则
∆ABC是（）
A．以AB为底边的等腰三角形B．以BC为底边的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形
2．P是△ABC所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA⋅=⋅=⋅，则P是△ABC的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心
3．在四边形ABCD中，−→
−AB＝−→
−DC，且−→
−AC·−→
−BD＝0，则四边形ABCD是（）
A．矩形B．菱形C．直角梯形D．等腰梯形
4
．已知||p=||3q=，p、q的夹角为45︒，则以52apq=+，3bpq=-
为邻边的平行四边
形的一条对角线长为（）A．15
B
．C．14
D．16
5．O是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足OAOP=+
+λ，
0[+∞∈λ则P的轨迹一定通过△ABC的（
A．外心B．内心C．重心D．垂心
6．设平面向量a=（－2，1，b=（λ，-1，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是（）
A．,2（2,2
1（+∞-
B．,2（+∞C．,2
1（+∞-
D．21,（-
-∞
7．若（（,0,
7,4,3,2=+-==caba方向在则bc上的投影为
8．向量（,1,（4,5,（,10OAkOBOCk===-
，且A，B，C三点共线，则k＝．
9．在直角坐标系xoy中，已知点A（0,1和点B（-3,4，若点C在∠AOB的平分线上且|OC|=2,则OC=10．在ABC∆中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则（OCOBOA+∙的最小值是__________。
课题：
空间向量及其线性运算教学目标：
1．运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；2．了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；3．理解空间向量共线的充要条件
教学难点：
空间向量的线性运算及其性质。
教学过程：
一、创设情景
1、平面向量的概念及其运算法则；2、物体的受力情况分析二、建构数学1．空间向量的概念：
2．空间向量的运算
定义：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如图）
baABOAOB
+=+=baOBOABA
-=-=（RaOP∈=λλ
运算律：
⑴加法交换律：
abba
+=+
⑵加法结合律：
（（cbacba
++=++
⑶数乘分配律：
baba
λλλ+=+（3．平行六面体：
平行四边形ABCD平移向量a
到DCBA''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：
ABCD－DCBA''''，它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。
4．共线向量
与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a平行于b记作ba
//．
当我们说向量a、b共线（或a//b）时，表示a
、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，
也可能是平行直线．5．共线向量定理及其推论：
共线向量定理：
空间任意两个向量a、b（b≠0），a//b的充要条件是存在实数λ，使a
＝λb.
推论：
如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a
的直线，那么对于任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t满足等式tOAOP+=a．其中向量a
叫做直线l的方向向量.
三、数学运用1、例1如图，在三棱柱111CBAABC-中，M是1BB的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
（1）1BACB+;
（2）121AACBAC+
+;
（3）CBACAA--1
解：
（1）11CABACB=+
（2）AMAACBAC=+
+12
1
（3）11BACBACAA=--
A/B
2、如图，在长方体///BDCAOADB-中，1,2,4,3======OKOJOIOCOBOA，点E,F分别是
/
/
BDDB的中点，设kOKjOJiOI===,,,试用向量kji,,表示OE和OF
解：
jiOE42
3+=
kjiOF242
3++=
3、课堂练习
已知空间四边形ABCD，连结,ACBD，设,MG分别是,BCCD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）ABBCCD++
；
（2）1（2
ABBDBC++
；
（3）
1（2
AGABAC-+．四、回顾总结
空间向量的定义与运算法则五、布置作业
课题：
共面向量定理教学目标：
1．了解共面向量的含义，理解共面向量定理；
2．利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题；教学重点：
共面向量的含义，理解共面向量定理
教学难点：
利用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题教学过程：
B
C
D
M
G
A
B
C
D一、创设情景
1、关于空间向量线性运算的理解
平面向量加法的三角形法则可以推广到空间向量，只要图形封闭，其中的一个向量即可以用其它向量线性表示。
从平面几何到立体几何，类比是常用的推理方法。
二、建构数学1、共面向量的定义
一般地，能平移到同一个平面内的向量叫共面向量；
理解：
若ba,为不共线且同在平面α内，则p与ba,共面的意义是p在α内或α//p2、共面向量的判定
平面向量中，向量b与非零向量a共线的充要条件是abλ=，类比到空间向量，即有
共面向量定理如果两个向量ba,不共线，那么向量p与向量ba,共面的充要条件是存在有序实数组,（yx，使得byxp+=α
这就是说，向量p可以由不共线的两个向量ba,线性表示。
三、数学运用
1，例1如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对角线BD,AE上，且AEANBDBM31,3
1=
=
.
求证：
MN//平面CDE
证明：
ANBAMBMN++==
DECD3132+
又CD与DE不共线
根据共面向量定理，可知DECDMN,,共面。
由于MN不在平面CDE中，所以MN//平面CDE.
2、例2设空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若点P满足向量关系OCzOByOAxOP++=（其中x+y+z=1）
试问：
P、A、B、C四点是否共面？
解：
由OCzOByOAxOP++=可以得到
ACzAByAP+=
由A,B,C三点不共线，可知AB与AC不共线，所以AP,AB,AC共面且具有公共起点A.从而P,A,B,C四点共面。
解题总结：
推论：
空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y使得：
MByMAxMP+=，或对空间任意一点O有：
MByMAxOMOP++=。
3、课堂练习
（1）已知非零向量21e，e不共线，如果2121213382eeAD，eeAC，eeAB-=+=+=，求证：
A、B、C、D共面。
（2）已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量OCkOG，OBkOF，OAkOE===，ODkOH=。
求证：
（1）四点E、F、G、H共面；
（2）平面AC//平面EG。
（3）课本74页练习1－4四、回顾总结1、共面向量定理；
1
2、类比方法的运用。
五、布置作业
课题：
空间向量的基本定理教学目标：
1．掌握及其推论，理解空间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯一的；
2．在简单问题中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
教学重点：
空间向量的基本定理及其推论教学难点：
空间向量的基本定理唯一性的理解教学过程：
一、创设情景
平面向量基本定理的内容及其理解
如果21,ee
是同一平面内的两个不共线向量，那么对
于这一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数21,λλ，
使a=
2211eeλλ+二、建构数学
1、空间向量的基本定理
如果三个向量321,,eee不共面，那么对空间任一向量p
，存在一个唯一的有序实数组,,（zyx，使321ezeyexp++=证明：
（存在性）设321,,eee不共面，过点O作pOPeOCeOBeOA====,,,321
过点P作直线PP'平行于OC，交平面OAB于点P'；
在平面OAB内，过点P'作直线//,//PAOBPBOA''''，分别与直线,OAOB相交于点,AB''，于是，存在三个实数,,xyz，使
/
3/
2/
1/,,ezOCOC
eyOBOB
exOAOA======
∴OPOAOBOCxOAyOBzOC'''=++=++
所以321ezeyexp++=
（唯一性）假设还存在,,xyz'''使3/2/1/ezeyexp++=∴321ezeyex++3/2/1/ezeyex++=∴0（（（3/2/1/=-+-+-ezzeyyexx不妨设xx'≠即0xx'-≠∴3/
/2/
/1ex
xzzex
xyye---
---
=
∴321,,eee共面此与已知矛盾∴该表达式唯一由此定理，若三向量321,,eee不共面，那么空间的任一向量都可由321,,eee线性表示，我们把{321,,eee}叫做空间的一个基底，321,,eee叫做基向量。
空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用}
kji,,表示。
推论：
设,,,OABC是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数,,xyz，
使OPxOAyOBzOC=++
三、数学运用
1、例1如图，在正方体///BDCAOADB-中，，点E是AB与OD的交点,M是OD/与CE的交点，
试分别用向量OCOBOA,,表示OD和OM
解：
OD/=OA+OB+OC111OM=OA+OB+OC3332、例2如图，已知空间四边形OABC，其对角线OB,AC，M,N分别是对边OA,BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，用基底向量OA,OB,OC表示向量OG解：
OG=OM+MG新疆王新敞奎屯O2=OM+MN312=OA+（ON−OM231211=OA+[（OB+OC−OA]2322111=OA+（OB+OC−OA233111=OA+OB+OC633∴OG=3、课堂练习课本练习76页练习1，2四、回顾总结五、布置作业MCABGN111OA+OB+OC633新疆王新敞奎屯
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