一元二次函数教案.docx
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一元二次函数教案
一元二次函数教案
【篇一：
一元二次函数教学设计】
【篇二：
二次函数与一元二次方程教案1】
二次函数与一元二次方程教案1
二次函数与一元二次方程
教学目标
（一）教学知识点
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标.
（二）能力训练要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精神.
2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进一步培养学生的数形结合思想.
3.通过学生共同观察和讨论,培养大家的合作交流意识.
（三）情感与价值观要求
1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.
2.具有初步的创新精神和实践能力.
教学重点
1.体会方程与函数之间的联系.
2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根.
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）交点的横坐标.
教学难点
1.探索方程与函数之间的联系的过程.
2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.
教学方法
讨论探索法.
教具准备
投影片二张
第一张:
（记作2.8.1a）
第二张:
（记作2.8.1b）
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们学习了一元一次方程kx+b=0（k≠0）和一次函数y=kx+b（k≠0）后,讨论了它们之间的关系.当一次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0,且一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解.
现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）和二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）,它们之间是否也存在一定的关系呢?
本节课我们将探索有关问题.
Ⅱ.讲授新课
一、例题讲解
投影片:
（2.8.1a）
我们已经知道,竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以用公式h=-5t2+v0t+h0表示,其中h0（m）是抛出时的高度,v0（m/s）是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起,小球的高度h（m）与运动时间t（s）的关系如下图所示,那么
（1）h与t的关系式是什么?
（2）小球经过多少秒后落地?
你有几种求解方法?
与同伴进行交流.
[师]请大家先发表自己的看法,然后再解答.
[生]
（1）h与t的关系式为h=-5t2+v0t+h0,其中的v0为40m/s,小球从地面被抛起,所以h0=0.把v0,h0代入上式即可求出h与t的关系式.
（2）小球落地时h为0,所以只要令h=-5t2+v0t+h.中的h为0,求出t即可.
还可以观察图象得到.
[师]很好.能写出步骤吗?
[生]解:
（1）∵h=-5t2+v0t+h0,
当v0=40,h0=0时,
h=-5t2+40t.
（2）从图象上看可知t=8时,小球落地或者令h=0,得:
-5t2+40t=0,
即t2-8t=0.
∴t（t-8）=0.
∴t=0或t=8.
t=0时是小球没抛时的时间,t=8是小球落地时的时间.
二、议一议
投影片:
（2.8.1b）
二次函数①y=x2+2x,
②y=x2-2x+1,
③y=x2-2x+2的图象如下图所示.
（1）每个图象与x轴有几个交点?
（2）一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?
解方程验证一下:
一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
[师]还请大家先讨论后解答.
[生]
（1）二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象与x轴分别有两个交点,一个交点,没有交点.
（2）一元二次方程x2+2x=0有两个根0,-2;方程x2-2x+1=0有两个相等的根1或一个根1;方程x2-2x+2=0没有实数根.
（3）从观察图象和讨论中可知,二次函数y=x2+2x的图象与x轴有两个交点,交点的坐标分别为（0,0）,（-2,0）,方程x2+2x=0有两个根0,-2;
二次函数y=x2-2x+1的图象与x轴有一个交点,交点坐标为（1,0）,方程x2-2x+1=0有两个相等的实数根（或一个根）1;二次函数y=x2-2x+2的图象与x轴没有交点,方程x2-2x+2=0没有实数根.
由此可知,二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
[师]大家总结得非常棒.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:
有两个交点、有一个交点、没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
三、想一想
在本节一开始的小球上抛问题中,何时小球离地面的高度是60m?
你是如何知道的?
[师]请大家讨论解决.
[生]在式子h=-5t2+v0t+h0中,当h0=0,v0=40m/s,h=60m时,有
-5t2+40t=60,
t2-8t+12=0,
∴t=2或t=6.
因此当小球离开地面2秒和6秒时,高度都是60m.
Ⅲ.课堂练习
随堂练习（p67）
Ⅳ.课时小结
本节课学了如下内容:
1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系.
2.理解了二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根.两个相等的实根和没有实根.
Ⅴ.课后作业
习题2.9
板书设计
2.8.1二次函数与一元二次方程
（一）
一、1.例题讲解（投影片2.8.1a）
2.议一议（投影片2.8.1b）
3.想一想
二、课堂练习
随堂练习
三、课时小结
四、课后作业
备课资料
思考、探索、交流
把4根长度均为100m的铁丝分别围成正方形、长方形、正三角形和圆,哪个的面积最大?
为什么?
解:
（1）设长方形的一边长为xm,另一边长为（50-x）m,则
s长方形=x（50-x）=-x2+50x=-（x2-50x+625）+625=-（x-25）2+625.即当x=25时,s最大=625.
（2）s正方形=252=625.
（3）∵正三角形的边长为m,高为m,
∴s三角形==≈481（m2）.
所以圆的面积最大.
【篇三：
一元二次函数的图像和性质教学设计】
3.4一元二次函数的图象和性质教学设计
1．掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征
2．掌握一元二次函数的性质，能利用性质解决实际问题3．会求二次函数在指定区间上的最大（小）值4．掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。
1．函数y=ax2+bx+c（a≠0）叫做一元二次函数。
2.一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）都可把它的解析式配方为顶点式：
b24ac-b2
y=a（x+）+，
2a4a
性质如下：
b4ac-b2b
），对称轴是直线x=-。
（1）图象的顶点坐标为（-
2a2a4a
（2）最大（小）值
①当a0，函数图象开口向上，y有最小值，ymin
4ac-b2
=，无最大值。
4a4ac-b2=，无最小值。
4a
②当a0，函数图象开口向下，y有最大值，ymax（3）当a0，函数在区间（-∞,-
bb）上是减函数，在（-,+∞）上是增函数。
2a2abb
+∞）是减函数，在（-∞,-）上是增函数。
当a0，函数在区间上（-2a2a
【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：
配方法和公式法。
2．无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴；
但我们讨论函数的最值以及它的单调区间时一定要考虑它的开口方向。
一、一元二次函数的图象的画法
12
x+4x+6的图象2
1212
【解】y=x+4x+6=（x+8x+12）
22
【例1】求作函数y=
=
121
[（x+4）2-4]=（x2+4）2-222
以x=-4为中间值，取
的一些值，列表如下：
【例2】求作函数y=-x2-4x+3的图象。
【解】y=-x2-4x+3=-（x2+4x-3）=-[（x+2）2-7]=-[（x+2）2+7
先画出图角在对称轴x=-2的右边部分，列表
【点评】画二次函数图象步骤：
（1）配方；
（2）列表；
（3）描点成图；也可利用图象的对称性，先画出函数的左（右）边部分图象，再利用对称性描出右（左）部分就可。
二、一元二次函数性质
【例3】求函数y=x2+6x+9的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】y=x2+6x+2=x2+6x+9-7=（x+3）2-7
，-7），对称轴为x=-3；由配方结果可知：
顶点坐标为（-3
10∴当x=-3时，ymin=-7
-3]上是减函数，在区间[-3，+∞）上是增函数。
函数在区间（-∞，
【例4】求函数y=-5x2+3x+1图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
b334ac-
b24?
（-5）?
1-3229
=-=，-==2a2?
（-5）104a4?
（-5）2032929
），对称轴为x=102020329
-50∴当x=时，函数取得最大值ymaz=
1020
3
函数在区间（-∞,]上是增函数，在区间[-3,+∞）上是减函数。
10
∴函数图象的顶点坐标为（
【点评】要研究二次函数顶点、对称轴、最值、单调区间等性质时，方法有两个：
（1）配方法；如例3
（2）公式法：
适用于不容易配方题目（二次项系数为负数或分数）如例4，可避免出错。
b24ac-b2
）+（a≠0）任何一个函数都可配方成如下形式：
y=a（x+2a4a
三、二次函数性质的应用
【例5】
（1）如果f（x）=x2+bx+c对于任意实数t都有f（3+t）=f（3-t），那么（）
（a）f（3）f
（1）f（4）（c）f（3）f（4）f
（1）
（b）f
（1）f（3）f（4）（d）f（4）f（3）f
（1）
【解】∵f（3+t）=f（3-t）对于一切的t∈r均成立
∴f（x）的图像关于x=3对称又a=10∴抛物线开口向上。
∴f（3）是f（x）的最小值。
-4-3，
∴f（3）f（4）f
（1）
2
（2）如果f（x）=-x+bx+c对于任意实数t都有f（-2+t）=f（-2-t），则f（-1）
f
（1）。
（用“”或“”填空）
【解】∵f（-2+t）=f（-2-t）对于一切的t∈r均成立
∴f（x）的图像关于x=-2对称又a=-10
∴抛物线开口向下。
-1-（-2）-（-2），
∴f（-1）f
（1）
【点评】1.当a0时，对称轴通过它的最低点（此时函数有最小值），如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越大。
如例5
（1）中当x=1所对应的点比当x=4所对应的点离对称轴远，所以x=1时对应的函数值也比较大。
2．1.当a0时，对称轴通过它的最高点（此时函数有最大值），如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应的函数值就越小。
如例5
（2）中当x=1所对应的点比当x=-1所对应的点离对称轴远，所以x=1对应的函数值也比较小。
【例6】求函数y=x-2x-5在给定区间[-1,5]上的最值。
2
【解】
（1）原函数化为y=x2-2x-5=（x-
1）-6
2
∵a=10∴当x=1时，ymin=-6
又∵-1+5+∴当x=5时，ymax=（5-1）2-6=10
2
（2）原函数可化为：
y=-（x+）+
13101，图象的对称轴是直线x=-93
注意到当1≤x≤2时，函数为减函数
2
∴ymin=f
（2）=-2-
2413?
2+1=-4-+1=-333
【例7】已知函数y=（n-2）x2+nx-1是偶函数，试比较f
（2），f
（2），f（-5）的大
小。
【解】解法一：
∵y=（n-2）x2+nx-1是偶函数，
∴n=0,∴y=-2x2-1
∴可知函数的对称轴为直线x=0又∵a=-20，--02-0
∴f
（2）f
（2）f（-5）
解法二：
∵y=（m-1）x+2mx+3是偶函数，
2
∴n=0,∴y=-2x-1
22
2-0
可知y=-2x-1在（0,+∞）上单调递减
2
又∵y=（n-2）x+nx-1是偶函数，∴f（-5）=f（5）
而2
2
∴f
（2）f
（2）f（）∴f
（2）f
（2）f（-5）
三、一元二次函数、一元二次方程的关系。
【例8】求当k为何值时，函数y=-2x+4x+k的图象与x轴
（1）只有一个公共点；
（2）
有两个公共点；（3）没有公共点.
【解】令-2x+4x+k=0，则-2x+x+k=0的判别式?
=b-4ac=16+8k
2
2
2
2
（1）当?
=0，即16+8k=0，k=2时，方程有两个相等的实根，这时图象与x轴只
有一个公共点；
（2）当?
0，即16+8k0，k2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴
有两个公共点；
（3）当?
0，即16+8k0，k2时，方程有两个不相等的实根，这时图象与x轴
无公共点；
一．选择题
1．二次函数y=x2-2x+5的值域是（）
4］Ｄ．（-∞, Ａ．［4， +∞）Ｂ．（4, +∞）Ｃ．（-∞， 4）
2．如果二次函数y=5x2+mx+4在区间（-∞,-1）上是减函数，在区间[-1,+∞）上是增函数，则m=（）
Ａ．2Ｂ．-2Ｃ．10Ｄ．-10
3．如果二次函数y=x2+mx+（m+3）有两个不相等的实数根，则m的聚值范围是（）Ａ．（-∞,-2）?
（6,+∞）Ｂ．（-2,6）Ｃ．[-2,6）0Ｄ．{-2,6}4．函数y=
12
x+x-3的最小值是（）2
11
Ａ．-3.Ｂ．-3.Ｃ．3Ｄ．3.
22
2
5．函数y=-2x-4x-2具有性质（）Ａ．开口方向向上，对称轴为x
Ｂ．开口方向向上，对称轴为xＣ．开口方向向下，对称轴为xＤ．开口方向向下，对称轴为x6．下列命题正确的是（）
2
=-1，顶点坐标为（-1，0）
=1，顶点坐标为（1，0）=-1，顶点坐标为（-1，0）=1，顶点坐标为（1，0）
3152Ｂ．函数y=-2x-6x-3的最小值是24
2
Ａ．函数y=2x-6x-3的最小值是
2
Ｃ．函数y=-x-4x+3的最小值为7Ｄ．函数y=-x-4x+3的最大值为77．函数
（1）y=2x+4x-3；
（2）y=2x+4x+3；（3）y=-3x-6x-3；（4）
2
2
2
y=-3x2+6x-3中，对称轴是直线x=1的是（）
Ａ．
（1）与
（2）Ｂ．
（2）与（3）Ｃ．
（1）与（3）Ｄ．
（2）与（4）8．对于二次函数y=-2x+8x，下列结论正确的是（）
Ａ．当x=2时，y有最大值8Ｂ．当x=-2时，y有最大值8
2
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