如何用geogebra5求解线性规划问题解.docx

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如何用geogebra5求解线性规划问题解

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线性规划模型的概念

线性规划模型的数学模型都有着共同的特征,它们都是要求一组变量，一般是（非负的）在一组线性的约束条件下,使得一个线性的目标函数取得最大值或最小值，我们把这类问题统称为线性规划问题，根据问题的性质!

线性规划有多种形式,目标函数有要求最大化的!

也有要求最小化的'约束条件可以是不等式,也可以是等式,决策变量一般是非负的"因此!

我们可以抽象出线性规划的一般形式:

其中：

我们要达到的最大化或最小化的目标式称为目标函数，下边的方程组称为约束条件（s.t.），表明在规划中将要受到的资源限制，求出的使目标达到最优的，x1到xn的取值叫做最优解，把最优解代入目标函数求出的目标函数值称为最优值。

线性规划的研究对象是稀缺资源最优分配问题!

即将有限的资源以最佳的方法,分配于相互竞争的活动之中,一般体现为在一定的资源条件下,如何合理使用,达到效益的最大化,或者在给定任务下,如何统筹安排,尽量降低成本,使资源消耗最小化,由于这些问题从本质上看很多都是线性的,所以我们称之为线性规划。

线性规划的图解法

在建立了线性规划的模型之后，接下来就要求解模型了"在求解线性规划模型时!

最

简单的方法就是图解法，当线性规划问题中变量个数为2个时,我们可以在直角坐标系中把变量及其变化方向（范围）等用图直观地表示出来,从而求得目标函数的最佳取值，这种方法就是图解法，在应用中,图解法相对是比较缺乏实际意义的!

但通过这种方法，可以形象地说明线性规划的许多特征，接下来!

我们用图解法求一个模型的解:

用Geogebra5求解过程:

1.打开Geogebra，先利用所有约束条件绘制可行域（注意,在Ggeogebra中用自变量x代表模型中x1,y代表模型中x2）

在指令区域输入命令：

a:

x+2y≤8∧4x≤16∧4y≤12∧x>0∧y≥1

∧表示“且”，可点右下角的α按钮，调出符号框，点击输入,输入完毕以后,按回车键,可以看到生成了一个由不等式条件的蓝色区域.如下图所示:

2.绘制目标函数maxk=2x+3y的滑动直线，目标函数是一条直线，要让它动起来，用一个滑动条参数即可:

先点【滑动条】，设置参数名称为k，最小输入【-5】，最大输入【20】（需要大概估计一下，或者后续再调整），增量输入【0.1】，【确定】,如下图所示:

3.在指令区域输入命令：

b:

2x+3y=k

此命令是用来求得目标函数z=2x+3y的最大值,其中图像中的黑色直线方程为:

k=2x+3y=1,因为此时的k值取默认的1,如下图所示:

4.在指令区域输入命令：

c:

x+2y=8

因为对于生成的不等式a的第一个约束条件（a:

x+2y≤8∧4x≤16∧4y≤12∧x>0∧y≥1）为x+2y≤8,取临界值的方程为:

c:

x+2y=8,这样子做的目的就是为了求得此条直线与其它直线的交点,以便于我们分析目标函数z=2x+3y的最大值.为了区别于阴影部分的直线重叠,我们可以在代数区,先选中直线c:

x+2y=8,然后将它的颜色更改为红色,操作过程如下图所示:

5:

红过计算，将k的值调整到k=14,可以看到直线:

b,c已经完全重合,这样做的目的是为了求出两直线的交点A的坐标,为考察目标函数k=2x+3y的最大值做准备．选在代数区按下

ｃｔｒｌ键选中表达式ｂ，ｃ，然后选两直线交点，求得交点Ａ的坐标为Ａ=（4,2）操作过程如下图所示：

现在，将ｋ的值设置为我们自行设定的范围:

－５到２０，然后我们要在这个可行域中求得一个使目标函数达到最大的点，其实也就是说，当目标函数z=0时!

作出目标函数的一条直线!

在这条直线上，决策变量x1,x2的任何取值!

对应目标函数z的取值都相等，我们把这条直线叫做等值线，随着ｋ的增大，直线一直向右平移!

当直线平移到刚好要离开阴影部分的临界点时，再向右平移就与可行域没有交点了，这时就得到了的最大化目标值，如下图所示:

在调整k值的过程中，当ｋ＝１３时，可以看到ｂ，ｃ两交点Ａ出现：

当ｋ＝１４时,可以得到时如下图示:

因此，在等值线与阴影区域的临界交汇点就是满足约束条件的最优解!

该点坐标ｘ＝４，ｙ＝２，ｋ＝１４，即对于目标函数maxz=2x1+3x2中，x1=4,x2=2就是满足约束条件的最优解!

将它们代入目标函数求得ｋ＝z=14也就是目标函数的最优值,同理!

当平行线向下移动时!

当它移动到刚好要离开阴影部分的临界点时!

我们就能得到"的最小值"因此!

图解法既可以求解最大化问题!

也可以求解最小化问题.另外，由下图可以看出!

线性规划的最优解出现在可行域的一个顶点上!

此时线性规划问题有唯一解值。

同理!

当改变ｋ值，直线向下移动时!

当它移动到刚好要离开阴影部分的临界点时!

我们就能

得到"的最小值"，此时ｘ1=０,x2=１,z=3（最小值），因此!

图解法既可以求解最大化问题,也可以求解最小化问题",如下图所示：

另外，由以上两种极大值与极小值的图可以看出：

线性规划的最优解出现在可行域的一个顶点上，此时线性规划问题有唯一解，但有时线性规划问题还可能出现其他解的情况：

可能有一个最优解，可能有可行解而无最优解，可能有无穷多最优解，也可能根本就没有可行解．还要看具体问题具体分析了。