“在内出现k个质点”，即｛N（t0,t）=k｝是一随机事件,其概率记为PK（t°,t）=P｛N（q,t）=k｝,k=0,l,2…总之,对某种随机事件的来到数都可以得到一个计数过程，而同一时刻只能至多发生一个来到的就是简单计数过程。
2.泊松过程
计数过程｛N（t）,t“｝称为强度为入的泊松过程，如果满足条件：
（1）在不相重叠的区间上的增量具有独立性；
⑵N（0）=0;
⑶对于充分小的P1（t,t+At）=P{N（t,t+At）=l}=AAt+O（At）,M中常数2>0,称为过程N⑴的强度。
（4）对于充分小的At
亦即对于充分小的A/,在（H+d）或2个以上质点的概率与出现一个质点的概率相对可以忽略不计。
了解泊松过程，就很容易去了解泊松分布的相关性质，其实泊松分布就是在泊松过程当中每单位的时间间隔内出现质点数目的计数。
四、泊松分布及泊松分布增量
1.泊松分布产生的一般条件
在自然界和人们的现实生活中，经常要遇到在随机时刻岀现的某种事件，我们把在随机时刻相继出现的事件所形成的序列，叫做随机事件流。
若事件流具有平稳性、无后效性、普通性，则称该事件流为泊松事件流（泊松流）。
例如一放射性源放射出的a粒子数；某电话交换台收到的电话呼叫数；到某机场降落的飞机数;一个售货员接待的顾客数；一台纺纱机的断头数;等这些事件都可以看作泊松流。
2.泊松分布及泊松分布增量的概率
（1）泊松分布的概率：
对泊松流，在任意时间间隔（0,t）内，事件出现的次数服从参数为Xt的泊松分布，X称为泊松流的强度。
设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,,且概率分布为：
P（X=k）=e^,k=0,l,2…其中几＞0是常数，则称X服从参数为入的泊k\
松分布，记作X〜P（入）。
（2）泊过分布增量的概率：
由上式易知增量N（t0,t）=N（t）-N（t0）的概率分布是参数=2（t-t0）的泊松分布，且只与时间〜心有关。
3.泊松分布的期望和方差：
由泊松分布知EIN（t）-N（t0）]=D[N（t）-N（t0）]=A（t-t0）
特别地，令/0=0,由于假设N（0）二0,故可推知泊松过程的均值函数和方差函数分别为：
泊松过程的强度入（常数）等于单位长时间间隔内出现的质点数目的期望值。
即对泊松分布有:
E（X）=D（X）=2
五、泊松分布的特征
（1）泊松分布是一种描述和分析稀有事件的概率分布。
要观察到这类事件，样本含量n必须很大。
（2）兄是泊松分布所依赖的唯一参数。
几值愈小，分布愈偏倚，随着2的增大，分布趋于对称。
（3）当几二20时分布泊松分布接近于正态分布；当几二50时，可以认为泊松分布呈正态分布。
在实际工作中，当2^20时就可以用正态分布来近似地处理泊松分布的问题。
六、泊松分布的应用
1）二项分布的泊松近似常常被应用于研究稀有事件，即每次试验中事件出现的概率p很小,而贝努里试验的次数n很大时，事件发生的概率。
例1通过某路口的每辆汽车发生事故的概率为p二，假设在某路段时间内有1000辆汽车通过此路口，试求在此时间内发生事故次数X的概率分布和发生2次以上事故的概率。
分析首先在某时间段内发生事故是属于稀有事件，观察通过路口的1000辆汽车发生事故与否，可视为是n=1000次伯努里试验，出现事故的概率为P=,因此X是服从二项分布的，即X~B（1000,0.0001）。
由于n二1000很大，且p=很小，上面的式子计算工作量很大,则可以用：
求近似.注意到np=1000x0.0001=0.1,故有
p{x>2}=1-—e0J-—e°1=0.0045.
0!
1!
2）泊松分布可以计算大量试验中稀有事件岀现频数的概率。
这里的频数指在相同条件下，进行大量试验，在这大量试验中，稀有事件发生的次数。
例2已知患色盲者占％，试求：
①为发现一例色盲者至少要检查25人的概率；②为使发现色盲者的概率不小于，至少要对多少人的辨色力进行检查
分析设X表示恰好发现一例患色盲者所需要检查的人数，则
X~G（0.0025）o
x*-25
解p{x>25}=》p（l・p）=（1-p）24=（0.9975）24q0.94
k=25
设至少对n个人的辨色能力进行检查，于是p{xWn}2。
从而：
由l-（l-p）n^0.9,得心上（门-=919.8827.因此至少要检查920人。
lg0.9975
七、基于MATLAB的泊松过程仿真
1、首先我们建立一个poisson函数，即：
functionpoisson（m）
%Thisfunctioncanhelpustosimulatepoissonprocesses.
%Ifyougivemaintegerlike123andsoon,thenyouwillget
%afiguretoillustratethemsampletracesoftheprocess.%
rand（5state，,0）;%复位伪随机序列发生器为0状态
K=10;%设置计数值为10
%m=6;%设置样本个数
color二char（'上+‘，‘b+‘，’g+‘，’m+‘，‘y+','c+'）;%不同的轨道釆用
不同的颜色表示
lambda二1;%设置到达速率为1
forn=l:
m
u=rand（l,K）;%产生服从均匀分布的序列
T二zeros（1,K+1）;%长生K+1维随机时间全零向量
k二zeros（1,K+1）;%产生K+1维随机变量全零向量
forj=l:
K
k（j+l）二j；
T（j+1）=T（j）-log（u（j））/lambda;%计算到达时间
end
fori=l:
K
plot（[T（i）:
:
T（i+l）],[k（i）:
k（i）],color（n,[1,2]））;holdon;
end
end
2、下面我们在命令窗口键入以下命令：
clear；
poisson（l）;
就可以得到一条样本轨道，如下所示：
键入poisson
（2）,得到的图如下:
仁
键入poisson（3）,得到的图如下:
键入poisson（4）,仿真结果:
键入poisson（5），仿真结果:
2-+-
1-!
I
0681012141618
键入poissonl（6）,仿真结果:
八、参考文献
[1]魏宗舒等.概率论与数理统计教程[M].高等教育出版社.
1983.10.
[2]复旦大学编.概率论（第一册）.概率论基础[M].人民教育出版
社.1979.
[3]王梓坤.概率论基础及应用[M].科学出版社1976.9.
[4]潘孝瑞，邓集贤1概率引论及数理统计应用[M]1北京：
高等教育出版社，19861
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