奥数.docx
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奥数
相遇问题
主讲:
秦传志
知识精讲
一、知识点概述
讨论有关的物体运动的相遇问题,离不开速度、时间、距离这三者的基本关系,由于运动物体可看作相向而行,所以共同走完的路程可叫做相遇路程,共同走完的路程的时间可叫做相遇时间,两个物体在1个单位时间里走的路程叫做速度和。
相遇问题在各类竞赛中经常碰到,它内容丰富、变化多端,是小学数学中的重点和难点。
因此可采用作图的手段,画画、算算,展示它们的内在关系,帮助思考。
只要分析正确,思路对头,处理妥当,问题不难解决。
二、重点知识归纳及讲解。
1、行程问题的基本数量关系式是:
速度=距离÷时间
时间=距离÷速度
距离=速度×时间
2、相遇问题是行程问题中的一种特殊运动形式,一般情况如下图所示:
3、相遇问题的基本数量关系式是:
速度和=相遇距离÷相遇时间
相遇时间=相遇距离÷速度和
相遇距离=速度和×相遇时间
三、难点知识剖析
例1、小明和小红分别从甲、乙两地同时相向而行。
小明每分钟走45米,小红每分钟走65米。
两人在距甲地900米处相遇。
求甲、乙两地相距多少米?
解析:
为了便于分析,画出线段图。
图中小旗表示小明和小红的相遇地点。
从图中可以清楚地看出,从出发到两人相遇小明共行了900米。
由于他每分钟行45米,可以求出小明从出发到相遇共用时20分。
这一时间也就是两人的相遇时间。
有了相遇时间我们就能求出甲、乙两地的路程。
解:
(45+65)×(900÷45)=2200(米)
答:
甲、乙两地相距2200米。
例2、张宏和李丽同时从相距1450米的甲、乙两地相对而行。
张宏每分走65米,李丽每分走50米。
走了3分钟后,张宏返回甲地取东西,而后立即与李丽继续相对而行。
经过多少分两人相遇?
解析:
为了便于分析,画出线段图。
从线段图中不难看出,当张宏走了3分钟到达C地准备返回甲地时,李丽也走了3分钟。
到达A地;而张宏从C地返回甲地时用3分钟,在这段时间里李丽继续前行3分钟,到达B地;之后,张宏和李丽分别从甲地和B地再次相对而行。
也就是说从甲地到B地这段距离才是两人所走的路程和。
弄清这一点之后,我们再用路程和÷速度和就可以求出相遇时间。
解:
(1450-50×6)÷(65+50)=10(分)
答:
经过10分两人相遇。
例3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出,甲车每小时行56千米,乙车每小时行48千米,两车在离中点32千米处相遇。
求AB两地间的距离是多少千米?
分析:
“两车在离中点32千米处相遇”点是偏乙车一方,因为乙车比甲车走得慢。
解:
(1)相遇时甲车比乙车多行了多少千米?
32×2=64(千米)。
(2)甲车比乙车每小时多行多少千米?
56-48=8(千米)。
(3)甲、乙两车同时从出发到相遇要多少小时?
64÷8=8(小时)。
(4)A、B两地间的距离是多少千米?
(56+48)×8=832(千米)。
答:
A、B两地间距离是832千米。
例4、甲乙二人分别从AB两地同时相向出发,第一次相遇距离A点6千米(1千米=1公里)。
相遇后,甲乙二人继续前行并且在到达AB两地返回,第二次相遇距离B点3千米。
求AB两地之间的距离。
分析:
如上图所示:
甲、乙第一次相遇,共同走完了一个全程,甲走了6千米
甲、乙第二次相遇,共同走完了三个全程,甲走了6×3=18千米
AB之间的距离:
18-3=15千米
解:
6×3-3=15(千米)
答:
AB两地之间的距离长15千米。
例5、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站。
甲车每小时比乙车多行102千米。
甲车行驶四个半小时到达西站后,没有停留,立即从原路返回,在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇,甲车每小时行多少千米?
解:
(1)甲车比乙车多行了多少千米?
31.5×2=63(千米)。
(2)两车同时从甲站出发到相遇,甲车和乙车各行了多少小时?
63÷12=5.25(小时)。
(3)甲车从西站开始返回到两车相遇,行了多少小时?
5.25-4.5=0.75(小时)。
(4)甲车每小时行多少千米?
31.5÷0.75=42(千米)。
答:
甲车每小时行42千米。
例6、一人以每分钟60米的速度沿铁路步行,一列长144米的客车对面开来,从他身边通过用了8秒钟,求列车的速度?
解:
客车与人是相向行程问题。
人8秒钟走的距离=车身长—车8秒钟走的距离。
60÷60×8=车身长—车速×8,
车速×8=车身长—60÷60×8,
车速=(144—60÷60×8)÷8=17(米)。
答:
客车速度是每秒17米。
例7、东西两城相距75千米,小东从东向西而走,每小时6.5千米;小希从西向东而走,每小时走6千米;小辉骑自行车从东向西而行,每小时走15千米。
三人同时动身,途中小辉遇见了小希即折回向东行;遇见了小东又折回向西而行;再遇见小希又折回向东行,这样往返一直到三人在途中相遇为止,小辉共行了多少千米?
分析:
本题关键是“三人同时动身,小辉往返途中,没有间断,直到他们三人相遇”。
所以,小辉所行的时间与小希和小东相遇的时间相同,小辉行的路程等于他骑自行车的速度乘以小东和小希相遇的时间。
解:
15×[75÷(6.5+6)]
=15×6
=90(千米)
答:
小辉共走了90千米。
例8、兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩,从同一地点同时背向绕水池而行,兄每秒走1.3米,妹每秒走1.2米,他们第十次相遇时,妹妹还需要走多少米才能回到出发点?
解:
(1)从出发到第一次相遇所需时间:
30÷(1.3+1.2)=12(秒)。
(2)从出发到第十次相遇所需时间:
12×10=120(秒)。
(3)妹妹共行路程:
1.2×120=144(米)。
(4)第十次相遇点与出发点的距离
144÷30=4(圈)……24(米)。
30—24=6(米)
答:
妹妹还需走6米才能回到出发点。
演练检测
1、选择填空
(1)小强和小明同时从甲、乙两地相对而行,小强骑自行车每小时行驶12千米,小明骑摩托车的速度是小强骑自行车速度的4倍,经过3小时两人相遇。
求甲、乙两地相距多少千米的正确算式是( )
A.12×3+12×4×3 B.(12+12×4)×3
C.12×(1+4)×3
(2)甲城到乙城的公路长470千米。
快慢两汽车同时从两城相对开出,快车每小时行50千米,慢车每小时行44千米。
相遇时快车比慢车多行多少千米的正确算式是( )
A.470÷(50+44) B.470-50+[470÷(50+44)]
C.(50-44)×[470÷(50+44)] D.470-(50+44)×3
E.(470-94)÷(50+44)
(3)东西两城相距405千米。
一列货车以每小时55千米的速度从西城开往东城,开出3小时后,一列客车以每小时65千米的速度从东城开往西城。
货车再经过几小时与客车相遇的算式是( )
A.405÷(55+65) B.(405-55×3)÷(55+65)
C.(405-65×3)÷(55+65)
(4)甲乙两城相距855千米。
从甲城往乙城开出一列慢车,每小时行驶60千米;3小时后,从乙城往甲城开出一列快车,每小时行驶75千米。
快车开出几小时后将同慢车相遇的正确算式是( )
A.855÷(60+75) B.(855-75×3)÷(60+75)
C.(855-60×3)÷(60+75) D.(855+60×3)÷(60+75)
E.(855-60×3)÷75
2、师徒两人合作加工520个零件,师傅每小时加工30个,徒弟每小时加工20个,几小时以后还有70个零件没有加工?
3、甲、乙两队合挖一条水渠,甲队从东往西挖,每天挖75米;乙队从西往东挖,每天比甲队少挖5米,两队合作8天挖好,这条水渠一共长多少米?
4、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行,8小时两船还相距22千米。
已知乙船每小时行42千米,甲船每小时行多少千米?
5、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发,相向而行,3小时后两车相遇。
已知汽车每小时比自行车多行31.5千米,求汽车、自行车的速度各是多少?
6、两地相距270千米,甲、乙两列火车同时从两地相对开出,经过4小时相遇。
已知甲车的速度是乙车的1.5倍,求甲、乙两列火车每小时各行多少千米?
7、甲、乙两城相距680千米,从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米,2小时后,快车从乙城开往甲城,每小时行80千米,快车开出几小时后两车相遇?
8、甲、乙两部汽车同时从A、B两地相对开出,第一次在离A地75千米处相遇,相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回,第二次相遇在离B地55千米处,求A、B二地相遇多远?
9、从甲地到乙地,客车行驶需10小时,货车需12小时,如果两列火车同时从甲地开往乙地,客车到达乙地后立即返回,经过几小时与货车相遇?
答案
1、
(1)ABC
(2)C (3)B (4)C
2、(520-70)÷(30+20)=9(小时)
3、(75-5+75)×8=1160(米)
4、(654-22)÷8-42=37(千米)
5、172.5÷3=57.5(千米)
(57.5-31.5)÷2=13(千米)……自行车速度
13+31.5=44.5(千米)……汽车速度
6、270÷4=67.5(千米)
67.5÷(1.5+1)=27(千米)……乙车速度
27×1.5=40.5(千米)……甲车速度
7、(680-60×2)÷(60+80)=4(小时)
8、分析:
画图可知,甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个AB的全程,其中甲走了75米,从出发到第二次相遇,甲、乙合走了三个AB的全程,其中甲走了75×3=225(千米),在225千米中,又包括甲从B地返回所走的55米,因此,225千米减去55千米就是A、B之间相距的路程。
解:
75×3—55=170(千米)。
答:
甲、乙两地相距170千米。
9、解:
将总路程看作1,客车速度是
,货车速度是
。
方法1:
客车行驶到乙地,需要10小时,此时货车行驶了总路程的
,还剩
。
客车和货车的相遇时间:
总时间:
方法2:
由于客车和货车相遇时,两车一共行驶了两个全程,
可以将本题看成在两个全程中的相遇问题(客车和货车分别在两个全程的两端)
相遇时间:
.
能力提升
例1、正方形操场四周栽了一圈树,每两棵树相隔5米.甲,乙从一个角上同时出发,向不同的方向走去(如图),甲的速度是乙的2倍,乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇.操场四周栽了多少棵树?
解析:
因为甲的速度是乙的2倍,所以乙拐一个弯走到第5棵树时,甲拐了两个弯走到第10棵树(见图),推知操场每边共有树5+10-1+2=16(棵).
解:
(16-1)×4=15×4=60(棵)或16×4-4=64-4=60(棵)
答:
操场四周一共栽了60棵树。
例2、甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步,甲的速度是每秒跑3米,乙的速度是每秒跑2米。
如果他们同时分别从直路两端出发,10分钟内共相遇几次?
解析:
方法1:
甲跑一个来回要60秒,乙跑一个来回要90秒,经过180秒他们又都回到出发点,取180秒为一周期分析:
一共相交5次。
180秒=3分钟。
10÷3=3……1(分)
所以:
5×3+2=17(次)
方法2:
从上图中可以看出,第一次相遇以后,甲乙每相遇一次,他们跑的路程的和恰好是两个全程。
甲乙的速度和:
2+3=5(米),
第一次相遇时间:
90÷5=18秒,
剩余时间:
600-18=582秒,
第二次就要跑2个全程才相遇,需要:
18×2=36秒
剩余时间还能相遇的次数:
582÷36=16(次)……4(秒)
10分钟内共相遇:
16+1=17次
答:
10分钟内共相遇17次。
总结:
解答相遇问题的应用题要注意:
(1)认真审题,明确物体运动的方向、时间和路程,可以借助画线段图的方法帮助理解。
(2)熟练运用相遇问题的基本公式。
行船问题
主讲:
秦传志
知识精讲
一、知识点概述
船在流动的水中航行而产生的一类行程问题,叫行船问题,也叫流水问题。
船速即船在静水中航行的速度叫船速,水速:
水的流动速度叫水速。
顺水速度即船在顺水水面航行的实际速度。
逆水速度即船在逆水水面航行的实际速度。
行船向题比一般的行程问题多了一个水速的数量,今天我们来研究行船问题,发现他们的关系,掌握解答行船问题的方法。
二、重点知识归纳及讲解
顺流而下与逆流而上问题通常称为行船问题,行船问题属于行程问题,仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。
船在静水中行驶,单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做静水船速;顺水行船的速度叫顺流速度;逆水行船的速度叫做逆流速度;船放中流,不靠动力顺水而行,单位时间内走的距离叫做水流速度。
各种速度的关系如下:
(1)划行速度+水流速度=顺流速度
(2)划行速度-水流速度=逆流速度
(3)(顺流速度+逆流速度)÷2=划行速度
(4)(顺流速度-逆流速度)÷2=水流速度
行船问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。
即:
速度×时间=距离;距离÷速度=时间;距离÷时间=速度。
但是,河水是流动的,这就有顺流、逆流的区别。
在计算时,要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。
三、难点知识剖析
例1、两个码头相距352千米,一船顺流而下行完全程需要11小时,逆流而上行完全程需要16小时。
求这条河的水流速度。
分析:
观察下图,弄清楚顺流速度,逆流速度与水流速度的关系。
从图中可以看出,顺流速度与逆流速度的差相当于水流速度的2倍。
解:
(1)顺流速度:
352÷11=32(千米)
(2)逆流速度:
352÷16=22(千米)
(3)水流速度:
(32-22)÷2=5(千米)
综合算式:
(352÷11-352÷16)÷2
=(32-22)÷2
=5(千米)
答:
这条河的水流速度为每小时5千米。
例2、甲乙两港间的水路长208千米。
一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达。
求船在静水中的速度。
分析:
船在江河里顺水或逆水航行,虽然也是行程问题,但船前进的速度除了和船本身的速度有关外,还与水流动的速度有关。
因此,这类在江河里行船的问题,除了要注意速度、时间、路程这三者之间的关系外,还应注意如下的基本数量关系:
顺水速度=船速十水速
逆水速度=船速一水速
根据题意,要想求出船速,需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度。
而顺水速度和逆水速度可按行程的一般数量关系,用路程分别除以顺水、逆水所行时间来求出。
解:
顺水速度:
208÷8=26(千米)
逆水速度:
208÷13=16(千米)
船速:
(26+16)÷2=21(千米)
答:
船在静水中的速度为每小时21千米。
例3、一支运货小船队,第一次顺流航行42千米,逆流航行8千米,共用11小时;第二次用同样的时间,顺流航行了24千米,逆流航行了14千米。
求这支小船队在静水中的速度和水流速度。
分析:
要求出船队的船速和水速,需要先求出顺水速度和逆水速度。
根据题中的条件,可以从第一次航行和第二次航行航程的差,求出顺水速度是逆水速度的几倍、然后,假定第一次航行的11小时全是顺流或全是逆流,利用求出的顺水速度是逆水速度的几倍,算出顺流或逆流11小时应航行的航程,再用路程与时间的关系分别求出顺水速度和逆水速度。
也可以假定第二次航行全是顺流或全是逆流,用上面的思路求出顺水速度或逆水速度。
解法一:
顺水速度是逆水速度的倍数:
(42-24)÷(14-8)=3(倍)
假设第一次航行全是顺水航行。
顺水速度:
(42+8×3)÷11=66÷11=6(千米)
逆水速度:
8÷(11-42÷6)=8÷4=2(千米)
船速:
(6+2)÷2=4(千米)
水速:
(6-2)÷2=2(千米)
答:
这支小船队在静水中的速度是每小时行4千米,水速是每小时2千米。
解法二:
顺水速度是逆水速度的倍数:
(42-24)÷(14-8)=3(倍)
假设第一次航行全是逆水航行。
逆水速度:
(42÷3+8)÷11=22÷11=2(千米)
顺水速度:
42÷(11-8÷2)=42÷7=6(千米)
船速:
(6+2)÷2=4(千米)
水速:
6-4=2(千米)
答:
这支小船队在静水中的速度是每小时行4千米,水速是每小时2千米。
例4、一条大河,河中间(主航道)水的流速为每小时8千米,沿岸边水的流速为每小时6千米。
一条船在河中间顺流而下,13小时行驶520千米。
求这条船沿岸边返回原出发地点,需要多少小时?
分析:
此题求的是该船沿岸边返回原出发地点,需要多少小时。
返回来是逆流而上,又知总路程是520千米,应该先把逆流速度求出来,所需的时间就可以求出来了。
解:
顺流速度:
520÷13=40(千米)
船速:
40-8=32(千米)
逆流速度:
32-6=26(千米)
沿岸返回原地需要的时间,
520÷26=20(小时)
综合算式:
520÷(520÷13-8-6)
=520÷(40-8-6)
=520÷26
=20(小时)
答:
这条船沿岸边返回原地,需要20小时。
演练检测
1、两个码头相距192千米,一艘汽艇顺水行完全程需要8小时,已知这条河的水流速度为每小时4千米,求逆水行完全程需要几小时?
2、两个码头相距432千米,轮船顺水行这段路程需要16小时,逆水每小时比顺水少行9千米,逆水比顺水需要多用几小时?
3、静水中甲、乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米。
两船先后自港口顺水开出,乙比平早出发2小时,若水速是每小时4千米,问甲开出后几小时可追上乙?
4、甲、乙两个码头相距130千米,汽船从乙码头逆水行驶6.5小时到达甲码头,又知汽船在静水中每小时行驶23千米。
求汽船从甲码头顺流开回乙码头需要多少小时?
5、一只木船第一次顺流航行56千米,逆水航行20千米,共用12小时、第二次用同样的时间,顺流航行40千米,逆流航行28千米。
求这只木船在静水中的速度和水流速度。
6、A河是B河的支流,A河水的流速为每小时3千米,B河水的流速为每小时2千米。
一艘船沿A河顺水航行7小时,行了133千米到达B河,在B河还要逆水航行84千米,问这艘船还要航行几小时?
7、一艘客轮的静水速度是每小时27千米,要在水流速度每小时3千米的河中顺水航行120千米,需要航行多少小时?
如果逆水航行120千米,需要航行多少小时?
8、一条船顺水而行,5小时行60千米,逆水航行这段路程,10小时才能到达,求船速与水流速度。
9、一只船在河中航行,水速为每小时2千米,它在静水中航行每小时8千米,顺水航行每小时行多少千米,逆水航行每小时行多少千米?
顺水航行50千米需用几小时?
10、某条河上游码头A,下游码头B,A、B之间的水路是234千米,一条船从A行到B地需要9小时,从B返回到A地需要13小时,那么船速是多少?
水速是多少?
11、甲、乙两港间的水路长416千米,一只船从甲港开往乙港,顺水16小时到达,逆水返回时26小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。
12、两个码头相距192千米,一艘汽船顺水行完全程需要8小时,已知这条河的水流速度为4千米,求逆水行完全程需几小时?
13、一条大河有甲、乙两码头,一艘货船在其间航行,顺流用去14小时,逆流用去的时间比顺流多6小时,已知此河水流速度是每小时3千米,船速是水流速度的5倍还多2千米,那么甲、乙两码头的距离是多少千米,往返一次需要多少小时?
14、甲、乙两码头相距36千米,小王乘船从甲码头去乙码头贩货,已知顺流航行每小时航行12千米,逆流航行每小时航行8千米,小王到达乙码头后取货,验货用了2小时,这样小王每次从甲码头到乙码头贩货都需要几小时?
答案
1、顺水速度:
192÷8=24(千米)
逆水速度:
24-4-4=16(千米)
逆水行完全程需要的时间:
192÷16=12(小时)
综合算式:
192÷(192÷8-4-4)=192÷(24-4-4)=192÷16=12(小时)
2、逆水速度:
432÷16-9=27-9=18(千米)
逆水比顺水多用的时间:
432÷18-16=24-16=8(小时)
3、(18+4)×2÷(22-18)=44÷4=11(小时)
4、逆水速度:
130÷6.5=20(千米)
水流速度:
23-20=3(千米)
顺流速度:
23+3=26(千米)
所需的时间:
130÷26=5(小时)
5、(56-40)十(28-20)=2(倍)
顺水速度:
(56+20×2)÷12=8(千米)
逆水速度:
20÷(12-56÷8)=4(千米)
船速:
(8+4)÷2=6(千米)
水速:
8-6=2(千米)
6、船速:
133÷7-3=16(千米)
84÷(16-2)=6(小时)………还要航行的时间
7、解析:
题中已知船的静水速度即船速,又知水流速度,利用“顺水速度=船速+水速”就可求出顺水速度。
还知道顺水航行的路程,根据路程÷速度=时间,就可求出顺水航行所需时间。
同样,先利用“逆水速度=船速一水速”求出逆水速度,再结合已知逆水航行的路程就可求出逆水航行所需时间。
即顺水速度:
27+3=30(千米/小时)
顺水航行时间:
120÷30=4(小时)
逆水速度:
27-3=24(千米/小时)
逆水航行时间:
120÷24=5(小时)
8、解析:
根据顺水航行的路程和时间,可以求出顺水速度,根据逆水航行的路程和时间,可以求出逆水速度。
由于船速与水速是大数、小数的关系,顺水速度与逆水速度又是和与差的关系,运用和差问题的数量关系,即可求出船速与水流速度。
即顺水速度:
60÷5=12(千米/小时)
逆水速度:
60÷10=6(千米/小时)
船速:
(12+6)÷2=9(千米/小时)
水流速度:
(12-6)÷2=3(千米/小时)
9、顺水速度:
8+2=10(千米/小时)
逆水速度:
8-2=6(千米/小时)
顺水航行50千米所需时间:
50÷10=5(小时)
10、船速:
(234÷9+234÷13)÷2=22(千米/小时)
水速:
(234÷9-234÷13)÷2=4(千米/小时)
11、顺水速度:
416÷16=26(千米/小时)
逆水速度:
416÷26=16千米/小时)
船速:
(26+16)÷2=21(千米/小时〕
水速:
(26-16)÷2=5(千米/小时
12、顺水速度:
192÷8=24(千米/小时)
船速:
24-4=20(千米/小时)
逆水速度:
20-4=16(千米/小时)
逆水所需时间:
192÷16=12(小时)
13、①逆流用的时间是:
14+6=20(小时)
②往返一次用的时间是:
14+20=34(小时)
③船在静水中的速度是:
3×5+2=17(千米/小时)
④