奥数.docx

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奥数

相遇问题

主讲：

秦传志

知识精讲

一、知识点概述

　　讨论有关的物体运动的相遇问题，离不开速度、时间、距离这三者的基本关系，由于运动物体可看作相向而行，所以共同走完的路程可叫做相遇路程，共同走完的路程的时间可叫做相遇时间，两个物体在1个单位时间里走的路程叫做速度和。

相遇问题在各类竞赛中经常碰到，它内容丰富、变化多端，是小学数学中的重点和难点。

因此可采用作图的手段，画画、算算，展示它们的内在关系，帮助思考。

只要分析正确，思路对头，处理妥当，问题不难解决。

二、重点知识归纳及讲解。

1、行程问题的基本数量关系式是：

速度＝距离÷时间

时间＝距离÷速度

距离＝速度×时间

2、相遇问题是行程问题中的一种特殊运动形式，一般情况如下图所示：

3、相遇问题的基本数量关系式是：

速度和=相遇距离÷相遇时间

相遇时间=相遇距离÷速度和

相遇距离=速度和×相遇时间

三、难点知识剖析

例1、小明和小红分别从甲、乙两地同时相向而行。

小明每分钟走45米，小红每分钟走65米。

两人在距甲地900米处相遇。

求甲、乙两地相距多少米？

解析：

为了便于分析，画出线段图。

　　图中小旗表示小明和小红的相遇地点。

从图中可以清楚地看出，从出发到两人相遇小明共行了900米。

由于他每分钟行45米，可以求出小明从出发到相遇共用时20分。

这一时间也就是两人的相遇时间。

有了相遇时间我们就能求出甲、乙两地的路程。

解：

（45＋65）×（900÷45）=2200（米）

答：

甲、乙两地相距2200米。

例2、张宏和李丽同时从相距1450米的甲、乙两地相对而行。

张宏每分走65米，李丽每分走50米。

走了3分钟后，张宏返回甲地取东西，而后立即与李丽继续相对而行。

经过多少分两人相遇？

解析：

为了便于分析，画出线段图。

　　从线段图中不难看出，当张宏走了3分钟到达C地准备返回甲地时，李丽也走了3分钟。

到达A地；而张宏从C地返回甲地时用3分钟，在这段时间里李丽继续前行3分钟，到达B地；之后，张宏和李丽分别从甲地和B地再次相对而行。

也就是说从甲地到B地这段距离才是两人所走的路程和。

弄清这一点之后，我们再用路程和÷速度和就可以求出相遇时间。

解：

（1450－50×6）÷（65＋50）=10（分）

答：

经过10分两人相遇。

例3、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在离中点32千米处相遇。

求AB两地间的距离是多少千米？

分析：

“两车在离中点32千米处相遇”点是偏乙车一方，因为乙车比甲车走得慢。

解：

（1）相遇时甲车比乙车多行了多少千米？

32×2=64（千米）。

（2）甲车比乙车每小时多行多少千米？

56－48=8（千米）。

（3）甲、乙两车同时从出发到相遇要多少小时？

64÷8=8（小时）。

（4）A、B两地间的距离是多少千米？

（56＋48）×8=832（千米）。

答：

A、B两地间距离是832千米。

例4、甲乙二人分别从AB两地同时相向出发，第一次相遇距离A点6千米（1千米=1公里）。

相遇后，甲乙二人继续前行并且在到达AB两地返回，第二次相遇距离B点3千米。

求AB两地之间的距离。

分析：

如上图所示：

甲、乙第一次相遇，共同走完了一个全程，甲走了6千米

甲、乙第二次相遇，共同走完了三个全程，甲走了6×3=18千米

AB之间的距离：

18－3=15千米

解：

6×3－3=15（千米）

答：

AB两地之间的距离长15千米。

例5、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站。

甲车每小时比乙车多行102千米。

甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站31.5千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？

解：

（1）甲车比乙车多行了多少千米？

31.5×2=63（千米）。

（2）两车同时从甲站出发到相遇，甲车和乙车各行了多少小时？

63÷12=5.25（小时）。

（3）甲车从西站开始返回到两车相遇，行了多少小时？

5.25－4.5=0.75（小时）。

（4）甲车每小时行多少千米？

31.5÷0.75=42（千米）。

答：

甲车每小时行42千米。

例6、一人以每分钟60米的速度沿铁路步行，一列长144米的客车对面开来，从他身边通过用了8秒钟，求列车的速度？

解：

客车与人是相向行程问题。

人8秒钟走的距离=车身长—车8秒钟走的距离。

60÷60×8=车身长—车速×8，

车速×8=车身长—60÷60×8，

车速=（144—60÷60×8）÷8=17（米）。

答：

客车速度是每秒17米。

例7、东西两城相距75千米，小东从东向西而走，每小时6.5千米；小希从西向东而走，每小时走6千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15千米。

三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？

分析：

　　本题关键是“三人同时动身，小辉往返途中，没有间断，直到他们三人相遇”。

所以，小辉所行的时间与小希和小东相遇的时间相同，小辉行的路程等于他骑自行车的速度乘以小东和小希相遇的时间。

解：

15×[75÷（6.5＋6）]

　　=15×6

　　=90（千米）

答：

小辉共走了90千米。

例8、兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需要走多少米才能回到出发点？

解：

（1）从出发到第一次相遇所需时间：

30÷（1.3＋1.2）=12（秒）。

（2）从出发到第十次相遇所需时间：

12×10=120（秒）。

（3）妹妹共行路程：

1.2×120=144（米）。

（4）第十次相遇点与出发点的距离

144÷30=4（圈）……24（米）。

30—24=6（米）

答：

妹妹还需走6米才能回到出发点。

演练检测

1、选择填空

（1）小强和小明同时从甲、乙两地相对而行，小强骑自行车每小时行驶12千米，小明骑摩托车的速度是小强骑自行车速度的4倍，经过3小时两人相遇。

求甲、乙两地相距多少千米的正确算式是（　）

　　　　A．12×3＋12×4×3　　　　　　　　　　B．（12＋12×4）×3

　　　　C．12×（1＋4）×3

（2）甲城到乙城的公路长470千米。

快慢两汽车同时从两城相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行44千米。

 相遇时快车比慢车多行多少千米的正确算式是（　）

A．470÷（50＋44）　　　　　　　　　　　B．470－50＋[470÷（50＋44）]

C．（50－44）×[470÷（50＋44）]　　　　　D．470－（50＋44）×3

E．（470－94）÷（50＋44） 

　　（3）东西两城相距405千米。

一列货车以每小时55千米的速度从西城开往东城，开出3小时后，一列客车以每小时65千米的速度从东城开往西城。

货车再经过几小时与客车相遇的算式是（　）

A．405÷（55＋65）　　　　　　　　　　　B．（405－55×3）÷（55＋65）

C．（405－65×3）÷（55＋65）

　　（4）甲乙两城相距855千米。

从甲城往乙城开出一列慢车，每小时行驶60千米；3小时后，从乙城往甲城开出一列快车，每小时行驶75千米。

快车开出几小时后将同慢车相遇的正确算式是（　）

A．855÷（60＋75）　　　　　　　　　　　B．（855－75×3）÷（60＋75）

C．（855－60×3）÷（60＋75）　　　　　　D．（855＋60×3）÷（60＋75）

E．（855－60×3）÷75

2、师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？

3、甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？

4、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出而行，8小时两船还相距22千米。

已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？

5、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。

已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？

6、两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。

已知甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？

7、甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？

8、甲、乙两部汽车同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离B地55千米处，求A、B二地相遇多远？

9、从甲地到乙地，客车行驶需10小时，货车需12小时，如果两列火车同时从甲地开往乙地，客车到达乙地后立即返回，经过几小时与货车相遇？

答案

1、

（1）ABC　　

（2）C　　（3）B　　（4）C

　　2、（520－70）÷（30＋20）=9（小时）

　　3、（75－5＋75）×8=1160（米）

　　4、（654－22）÷8－42=37（千米）

　　5、172.5÷3=57.5（千米） 

　　　　（57.5－31.5）÷2=13（千米）……自行车速度

　　　　13＋31.5=44.5（千米）……汽车速度

　　6、270÷4=67.5（千米）

　　　67.5÷（1.5＋1）=27（千米）……乙车速度  

　　　27×1.5=40.5（千米）……甲车速度

　　7、（680－60×2）÷（60＋80）=4（小时）

　　8、分析：

画图可知，甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个AB的全程，其中甲走了75米，从出发到第二次相遇，甲、乙合走了三个AB的全程，其中甲走了75×3=225（千米），在225千米中，又包括甲从B地返回所走的55米，因此，225千米减去55千米就是A、B之间相距的路程。

　　解：

75×3—55=170（千米）。

　　答：

甲、乙两地相距170千米。

　　9、解：

将总路程看作1，客车速度是

，货车速度是

。

　　方法1：

客车行驶到乙地，需要10小时，此时货车行驶了总路程的

，还剩

。

　　客车和货车的相遇时间：

　　总时间：

　　方法2：

由于客车和货车相遇时，两车一共行驶了两个全程，

　　可以将本题看成在两个全程中的相遇问题（客车和货车分别在两个全程的两端）

　　相遇时间：

.

能力提升

例1、正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔5米.甲，乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如图），甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇.操场四周栽了多少棵树？

解析：

　　因为甲的速度是乙的2倍，所以乙拐一个弯走到第5棵树时，甲拐了两个弯走到第10棵树（见图），推知操场每边共有树5＋10－1＋2=16（棵）.

解：

（16－1）×4＝15×4＝60（棵）或16×4－4＝64－4＝60（棵）

答：

操场四周一共栽了60棵树。

例2、甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒跑3米，乙的速度是每秒跑2米。

如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？

解析：

　　方法1：

甲跑一个来回要60秒，乙跑一个来回要90秒，经过180秒他们又都回到出发点，取180秒为一周期分析：

　　一共相交5次。

180秒=3分钟。

10÷3=3……1（分）

　　所以：

5×3＋2=17（次）

　　方法2：

从上图中可以看出，第一次相遇以后，甲乙每相遇一次，他们跑的路程的和恰好是两个全程。

　　甲乙的速度和：

2＋3=5（米），

　　第一次相遇时间：

90÷5=18秒，

　　剩余时间：

600－18=582秒，

　　第二次就要跑2个全程才相遇，需要：

18×2=36秒

　　剩余时间还能相遇的次数：

582÷36=16（次）……4（秒）

　　10分钟内共相遇：

16＋1=17次

答：

10分钟内共相遇17次。

总结：

解答相遇问题的应用题要注意：

（1）认真审题，明确物体运动的方向、时间和路程，可以借助画线段图的方法帮助理解。

（2）熟练运用相遇问题的基本公式。

行船问题

主讲：

秦传志

知识精讲

一、知识点概述

　　船在流动的水中航行而产生的一类行程问题，叫行船问题，也叫流水问题。

　　船速即船在静水中航行的速度叫船速，水速：

水的流动速度叫水速。

顺水速度即船在顺水水面航行的实际速度。

逆水速度即船在逆水水面航行的实际速度。

行船向题比一般的行程问题多了一个水速的数量，今天我们来研究行船问题，发现他们的关系，掌握解答行船问题的方法。

二、重点知识归纳及讲解

　　顺流而下与逆流而上问题通常称为行船问题，行船问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。

解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。

　　船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做静水船速；顺水行船的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内走的距离叫做水流速度。

各种速度的关系如下：

（1）划行速度＋水流速度＝顺流速度

（2）划行速度－水流速度＝逆流速度

（3）（顺流速度＋逆流速度）÷2＝划行速度

（4）（顺流速度－逆流速度）÷2＝水流速度

　　行船问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。

即：

速度×时间＝距离；距离÷速度＝时间；距离÷时间＝速度。

但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。

在计算时，要把各种速度之间的关系弄清楚是非常必要的。

三、难点知识剖析

例1、两个码头相距352千米，一船顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时。

求这条河的水流速度。

分析：

　　观察下图，弄清楚顺流速度，逆流速度与水流速度的关系。

从图中可以看出，顺流速度与逆流速度的差相当于水流速度的2倍。

解：

（1）顺流速度：

352÷11＝32（千米）

（2）逆流速度：

352÷16＝22（千米）

　　（3）水流速度：

（32－22）÷2＝5（千米）

　　　综合算式：

（352÷11－352÷16）÷2

　　　　　　　＝（32－22）÷2

　　　　　　　＝5（千米）

答：

这条河的水流速度为每小时5千米。

例2、甲乙两港间的水路长208千米。

一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。

求船在静水中的速度。

分析：

　　船在江河里顺水或逆水航行，虽然也是行程问题，但船前进的速度除了和船本身的速度有关外，还与水流动的速度有关。

因此，这类在江河里行船的问题，除了要注意速度、时间、路程这三者之间的关系外，还应注意如下的基本数量关系：

　　顺水速度＝船速十水速

　　逆水速度＝船速一水速

　　根据题意，要想求出船速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度。

而顺水速度和逆水速度可按行程的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间来求出。

解：

顺水速度:

208÷8＝26（千米）

　　逆水速度：

208÷13＝16（千米）

　　船速：

（26＋16）÷2＝21（千米）

答：

船在静水中的速度为每小时21千米。

例3、一支运货小船队，第一次顺流航行42千米，逆流航行8千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。

求这支小船队在静水中的速度和水流速度。

分析：

　　要求出船队的船速和水速，需要先求出顺水速度和逆水速度。

　　根据题中的条件，可以从第一次航行和第二次航行航程的差，求出顺水速度是逆水速度的几倍、然后，假定第一次航行的11小时全是顺流或全是逆流，利用求出的顺水速度是逆水速度的几倍，算出顺流或逆流11小时应航行的航程，再用路程与时间的关系分别求出顺水速度和逆水速度。

也可以假定第二次航行全是顺流或全是逆流，用上面的思路求出顺水速度或逆水速度。

解法一：

　　顺水速度是逆水速度的倍数：

（42－24）÷（14－8）＝3（倍）

　　假设第一次航行全是顺水航行。

　　顺水速度：

（42＋8×3）÷11＝66÷11＝6（千米）

　　逆水速度：

8÷（11－42÷6）＝8÷4＝2（千米）

　　船速：

（6＋2）÷2＝4（千米）

　　水速：

（6－2）÷2＝2（千米）

答：

这支小船队在静水中的速度是每小时行4千米，水速是每小时2千米。

解法二：

　　顺水速度是逆水速度的倍数：

（42－24）÷（14－8）＝3（倍）

　　假设第一次航行全是逆水航行。

　　逆水速度：

（42÷3＋8）÷11＝22÷11＝2（千米）

　　顺水速度：

42÷（11－8÷2）＝42÷7＝6（千米）

　　船速：

（6＋2）÷2＝4（千米）

　　水速：

6－4＝2（千米）

答：

这支小船队在静水中的速度是每小时行4千米，水速是每小时2千米。

例4、一条大河，河中间（主航道）水的流速为每小时8千米，沿岸边水的流速为每小时6千米。

一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米。

求这条船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时？

分析：

　　此题求的是该船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时。

返回来是逆流而上，又知总路程是520千米，应该先把逆流速度求出来，所需的时间就可以求出来了。

解：

顺流速度：

520÷13＝40（千米）

　　船速：

40－8＝32（千米）

　　逆流速度：

32－6＝26（千米）

　　沿岸返回原地需要的时间，

　　520÷26＝20（小时）

　　综合算式：

520÷（520÷13－8－6）

　　　　　　＝520÷（40－8－6）

　　　　　　＝520÷26

　　　　　　＝20（小时）

答：

这条船沿岸边返回原地，需要20小时。

演练检测

1、两个码头相距192千米，一艘汽艇顺水行完全程需要8小时，已知这条河的水流速度为每小时4千米，求逆水行完全程需要几小时？

2、两个码头相距432千米，轮船顺水行这段路程需要16小时，逆水每小时比顺水少行9千米，逆水比顺水需要多用几小时？

3、静水中甲、乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米。

两船先后自港口顺水开出，乙比平早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？

4、甲、乙两个码头相距130千米，汽船从乙码头逆水行驶6.5小时到达甲码头，又知汽船在静水中每小时行驶23千米。

求汽船从甲码头顺流开回乙码头需要多少小时？

5、一只木船第一次顺流航行56千米，逆水航行20千米，共用12小时、第二次用同样的时间，顺流航行40千米，逆流航行28千米。

求这只木船在静水中的速度和水流速度。

6、A河是B河的支流,A河水的流速为每小时3千米，B河水的流速为每小时2千米。

一艘船沿A河顺水航行7小时，行了133千米到达B河，在B河还要逆水航行84千米，问这艘船还要航行几小时？

7、一艘客轮的静水速度是每小时27千米，要在水流速度每小时3千米的河中顺水航行120千米，需要航行多少小时？

如果逆水航行120千米，需要航行多少小时？

8、一条船顺水而行，5小时行60千米，逆水航行这段路程，10小时才能到达，求船速与水流速度。

9、一只船在河中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时8千米，顺水航行每小时行多少千米，逆水航行每小时行多少千米？

顺水航行50千米需用几小时？

10、某条河上游码头A,下游码头B，A、B之间的水路是234千米，一条船从A行到B地需要9小时，从B返回到A地需要13小时，那么船速是多少？

水速是多少？

11、甲、乙两港间的水路长416千米，一只船从甲港开往乙港，顺水16小时到达，逆水返回时26小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。

12、两个码头相距192千米，一艘汽船顺水行完全程需要8小时，已知这条河的水流速度为4千米，求逆水行完全程需几小时？

13、一条大河有甲、乙两码头，一艘货船在其间航行，顺流用去14小时，逆流用去的时间比顺流多6小时，已知此河水流速度是每小时3千米，船速是水流速度的5倍还多2千米，那么甲、乙两码头的距离是多少千米，往返一次需要多少小时？

14、甲、乙两码头相距36千米，小王乘船从甲码头去乙码头贩货，已知顺流航行每小时航行12千米，逆流航行每小时航行8千米，小王到达乙码头后取货，验货用了2小时，这样小王每次从甲码头到乙码头贩货都需要几小时？

答案

1、顺水速度：

192÷8＝24（千米）

　　逆水速度:

24－4－4＝16（千米）

　　逆水行完全程需要的时间：

192÷16＝12（小时）

　　综合算式：

192÷（192÷8－4－4）＝192÷（24－4－4）＝192÷16＝12（小时）

　　2、逆水速度：

432÷16－9＝27－9＝18（千米）

　　逆水比顺水多用的时间：

432÷18－16＝24－16＝8（小时）

　　3、（18＋4）×2÷（22－18）＝44÷4＝11（小时）

　　4、逆水速度：

130÷6.5＝20（千米）

　　水流速度：

23－20＝3（千米）

　　顺流速度：

23＋3＝26（千米）

　　所需的时间：

130÷26＝5（小时）

　　5、（56－40）十（28－20）＝2（倍）

　　顺水速度：

（56＋20×2）÷12＝8（千米）

　　逆水速度：

20÷（12－56÷8）＝4（千米）

　　船速：

（8＋4）÷2＝6（千米）

　　水速：

8－6＝2（千米）

　　6、船速：

133÷7－3＝16（千米）

　　84÷（16－2）＝6（小时）………还要航行的时间

　　7、解析：

题中已知船的静水速度即船速，又知水流速度，利用“顺水速度＝船速＋水速”就可求出顺水速度。

还知道顺水航行的路程，根据路程÷速度＝时间，就可求出顺水航行所需时间。

　　同样，先利用“逆水速度＝船速一水速”求出逆水速度，再结合已知逆水航行的路程就可求出逆水航行所需时间。

　　即顺水速度：

27＋3＝30（千米／小时）

　　顺水航行时间：

120÷30＝4（小时）

　　逆水速度：

27－3＝24（千米／小时）

　　逆水航行时间：

120÷24＝5（小时）

　　8、解析：

根据顺水航行的路程和时间，可以求出顺水速度，根据逆水航行的路程和时间，可以求出逆水速度。

由于船速与水速是大数、小数的关系，顺水速度与逆水速度又是和与差的关系，运用和差问题的数量关系，即可求出船速与水流速度。

　　即顺水速度:

60÷5＝12（千米/小时）

　　逆水速度:

60÷10＝6（千米/小时）

　　船速：

（12＋6）÷2＝9（千米/小时）

　　水流速度：

（12－6）÷2＝3（千米/小时）

　　9、顺水速度：

8＋2＝10（千米/小时）

　　逆水速度：

8－2＝6（千米/小时）

　　顺水航行50千米所需时间：

50÷10＝5（小时）

　　10、船速：

（234÷9＋234÷13）÷2＝22（千米/小时）

　　水速：

（234÷9－234÷13）÷2＝4（千米/小时）

　　11、顺水速度：

416÷16＝26（千米/小时）

　　逆水速度：

416÷26＝16千米/小时）

　　船速：

（26＋16）÷2＝21（千米/小时〕

　　水速：

（26－16）÷2＝5（千米/小时

　　12、顺水速度：

192÷8＝24（千米/小时）

　　船速：

24－4＝20（千米/小时）

　　逆水速度：

20－4＝16（千米/小时）

　　逆水所需时间：

192÷16＝12（小时）

　　13、①逆流用的时间是：

14＋6＝20（小时）

　　②往返一次用的时间是：

14＋20＝34（小时）

　　③船在静水中的速度是：

3×5＋2＝17（千米/小时）

　　④