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1、奥数相遇问题主讲：秦传志知识精讲一、知识点概述讨论有关的物体运动的相遇问题，离不开速度、时间、距离这三者的基本关系，由于运动物体可看作相向而行，所以共同走完的路程可叫做相遇路程，共同走完的路程的时间可叫做相遇时间，两个物体在1个单位时间里走的路程叫做速度和。相遇问题在各类竞赛中经常碰到，它内容丰富、变化多端，是小学数学中的重点和难点。因此可采用作图的手段，画画、算算，展示它们的内在关系，帮助思考。只要分析正确，思路对头，处理妥当，问题不难解决。二、重点知识归纳及讲解。1、行程问题的基本数量关系式是：速度距离时间时间距离速度距离速度时间2、相遇问题是行程问题中的一种特殊运动形式，一般情况如下图所

2、示：3、相遇问题的基本数量关系式是：速度和=相遇距离相遇时间相遇时间=相遇距离速度和相遇距离=速度和相遇时间三、难点知识剖析例1、小明和小红分别从甲、乙两地同时相向而行。小明每分钟走45米，小红每分钟走65米。两人在距甲地900米处相遇。求甲、乙两地相距多少米？解析：为了便于分析，画出线段图。图中小旗表示小明和小红的相遇地点。从图中可以清楚地看出，从出发到两人相遇小明共行了900米。由于他每分钟行45米，可以求出小明从出发到相遇共用时20分。这一时间也就是两人的相遇时间。有了相遇时间我们就能求出甲、乙两地的路程。解：(4565)(90045)=2200(米)答：甲、乙两地相距2200米。例2、

3、张宏和李丽同时从相距1450米的甲、乙两地相对而行。张宏每分走65米，李丽每分走50米。走了3分钟后，张宏返回甲地取东西，而后立即与李丽继续相对而行。经过多少分两人相遇？解析：为了便于分析，画出线段图。从线段图中不难看出，当张宏走了3分钟到达C地准备返回甲地时，李丽也走了3分钟。到达A地；而张宏从C地返回甲地时用3分钟，在这段时间里李丽继续前行3分钟，到达B地；之后，张宏和李丽分别从甲地和B地再次相对而行。也就是说从甲地到B地这段距离才是两人所走的路程和。弄清这一点之后，我们再用路程和速度和就可以求出相遇时间。解：(1450506)(6550)=10(分)答：经过10分两人相遇。例3、甲、乙两

4、辆汽车同时从 A、B 两地相向开出，甲车每小时行 56 千米，乙车每小时行 48 千米，两车在离中点 32 千米处相遇。求 AB 两地间的距离是多少千米？分析：“两车在离中点 32 千米处相遇”点是偏乙车一方，因为乙车比甲车走得慢。解：(1)相遇时甲车比乙车多行了多少千米？ 322=64(千米)。(2)甲车比乙车每小时多行多少千米？ 5648=8(千米)。(3)甲、乙两车同时从出发到相遇要多少小时？ 648=8(小时)。(4)A、B 两地间的距离是多少千米？(5648)8=832(千米)。答：A、B 两地间距离是 832 千米。例4、甲乙二人分别从AB两地同时相向出发，第一次相遇距离A点6千米

5、(1千米=1公里)。相遇后，甲乙二人继续前行并且在到达AB两地返回，第二次相遇距离B点3千米。求AB两地之间的距离。分析：如上图所示：甲、乙第一次相遇，共同走完了一个全程，甲走了6千米甲、乙第二次相遇，共同走完了三个全程，甲走了63=18千米AB之间的距离：183=15千米解：633=15(千米)答：AB两地之间的距离长15千米。例5、甲、乙两辆汽车同时从东站开往西站。甲车每小时比乙车多行 102千米。甲车行驶四个半小时到达西站后，没有停留，立即从原路返回，在距离西站 31.5 千米的地方和乙车相遇，甲车每小时行多少千米？解：(1)甲车比乙车多行了多少千米？ 31.52=63(千米)。(2)两

6、车同时从甲站出发到相遇，甲车和乙车各行了多少小时？6312=5.25(小时)。(3)甲车从西站开始返回到两车相遇，行了多少小时？5.254.5=0.75(小时)。(4)甲车每小时行多少千米？ 31.50.75=42(千米)。答：甲车每小时行 42千米。例6、一人以每分钟 60 米的速度沿铁路步行，一列长 144 米的客车对面开来，从他身边通过用了8 秒钟，求列车的速度？解：客车与人是相向行程问题。人 8 秒钟走的距离=车身长车 8 秒钟走的距离。60608=车身长车速8，车速8=车身长60608，车速=(14460608)8=17(米)。答：客车速度是每秒 17 米。例7、东西两城相距75 千

7、米，小东从东向西而走，每小时 6.5 千米；小希从西向东而走，每小时走 6 千米；小辉骑自行车从东向西而行，每小时走15 千米。三人同时动身，途中小辉遇见了小希即折回向东行；遇见了小东又折回向西而行；再遇见小希又折回向东行，这样往返一直到三人在途中相遇为止，小辉共行了多少千米？分析：本题关键是“三人同时动身，小辉往返途中，没有间断，直到他们三人相遇”。所以，小辉所行的时间与小希和小东相遇的时间相同，小辉行的路程等于他骑自行车的速度乘以小东和小希相遇的时间。解：1575(6.56)=156=90(千米)答：小辉共走了90千米。例8、兄妹二人在周长 30 米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池

8、而行，兄每秒走 1.3 米，妹每秒走 1.2 米，他们第十次相遇时，妹妹还需要走多少米才能回到出发点？解：(1)从出发到第一次相遇所需时间： 30(1.31.2)=12(秒)。(2)从出发到第十次相遇所需时间： 1210=120 (秒)。(3)妹妹共行路程： 1.2120=144(米)。(4)第十次相遇点与出发点的距离14430=4(圈)24(米)。3024=6(米) 答：妹妹还需走 6 米才能回到出发点。 演练检测1、选择填空(1)小强和小明同时从甲、乙两地相对而行，小强骑自行车每小时行驶12千米，小明骑摩托车的速度是小强骑自行车速度的4倍，经过3小时两人相遇。求甲、乙两地相距多少千米的正确

9、算式是（）A1231243B(12124)3C12(14)3(2)甲城到乙城的公路长470千米。快慢两汽车同时从两城相对开出，快车每小时行50千米，慢车每小时行44千米。相遇时快车比慢车多行多少千米的正确算式是（）A470(5044)B47050470(5044)C(5044)470(5044)D470(5044)3E(47094)(5044)(3)东西两城相距405千米。一列货车以每小时55千米的速度从西城开往东城，开出3小时后，一列客车以每小时65千米的速度从东城开往西城。货车再经过几小时与客车相遇的算式是（）A405(5565)B(405553)(5565)C(405653)(5565)

10、(4)甲乙两城相距855千米。从甲城往乙城开出一列慢车，每小时行驶60千米；3小时后，从乙城往甲城开出一列快车，每小时行驶75千米。快车开出几小时后将同慢车相遇的正确算式是（）A855(6075)B(855753)(6075)C(855603)(6075) D(855603)(6075)E(855603)752、师徒两人合作加工520个零件，师傅每小时加工30个，徒弟每小时加工20个，几小时以后还有70个零件没有加工？3、甲、乙两队合挖一条水渠，甲队从东往西挖，每天挖75米；乙队从西往东挖，每天比甲队少挖5米，两队合作8天挖好，这条水渠一共长多少米？4、甲、乙两艘轮船从相距654千米的两地相对

11、开出而行，8小时两船还相距22千米。已知乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？5、一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？6、两地相距270千米，甲、乙两列火车同时从两地相对开出，经过4小时相遇。已知甲车的速度是乙车的1.5倍，求甲、乙两列火车每小时各行多少千米？7、甲、乙两城相距680千米，从甲城开往乙城的普通客车每小时行驶60千米，2小时后，快车从乙城开往甲城，每小时行80千米，快车开出几小时后两车相遇？8、甲、乙两部汽车同时从 A、B 两地相对开出，第一次在离 A

12、 地 75千米处相遇，相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次相遇在离 B 地55 千米处，求 A、B 二地相遇多远？9、从甲地到乙地，客车行驶需10小时，货车需12小时，如果两列火车同时从甲地开往乙地，客车到达乙地后立即返回，经过几小时与货车相遇？答案1、(1)ABC(2)C(3)B(4)C2、(52070)(3020)=9(小时)3、(75575)8=1160(米)4、(65422)842=37(千米)5、172.53=57.5(千米) (57.531.5)2=13(千米)自行车速度1331.5=44.5(千米)汽车速度6、2704=67.5(千米) 67.5(1.51)=27(千米)

13、乙车速度 271.5=40.5(千米)甲车速度7、(680602)(6080)=4(小时)8、分析：画图可知，甲、乙两车从出发到第一次相遇合走了一个 AB 的全程，其中甲走了 75 米，从出发到第二次相遇，甲、乙合走了三个 AB 的全程，其中甲走了 753=225(千米)，在225千米中，又包括甲从 B 地返回所走的 55 米，因此，225 千米减去 55 千米就是 A、B 之间相距的路程。解：75355=170(千米)。答：甲、乙两地相距 170 千米。9、解：将总路程看作1，客车速度是，货车速度是。方法1：客车行驶到乙地，需要10小时，此时货车行驶了总路程的，还剩。客车和货车的相遇时间：总

14、时间：方法2：由于客车和货车相遇时，两车一共行驶了两个全程，可以将本题看成在两个全程中的相遇问题(客车和货车分别在两个全程的两端)相遇时间：.能力提升例1、正方形操场四周栽了一圈树，每两棵树相隔5米.甲，乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去(如图)，甲的速度是乙的2倍，乙在拐了一个弯之后的第5棵树与甲相遇.操场四周栽了多少棵树？解析：因为甲的速度是乙的2倍，所以乙拐一个弯走到第5棵树时，甲拐了两个弯走到第10棵树(见图)，推知操场每边共有树51012=16(棵).解：(161)415460（棵）或164464460（棵）答：操场四周一共栽了60棵树。例2、甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步

15、，甲的速度是每秒跑3米，乙的速度是每秒跑2米。如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？解析：方法1：甲跑一个来回要60秒，乙跑一个来回要90秒，经过180秒他们又都回到出发点，取180秒为一周期分析：一共相交5次。180秒=3分钟。103=31(分)所以：532=17(次)方法2：从上图中可以看出，第一次相遇以后，甲乙每相遇一次，他们跑的路程的和恰好是两个全程。甲乙的速度和：23=5(米)，第一次相遇时间：905=18秒，剩余时间：60018=582秒，第二次就要跑2个全程才相遇，需要：182=36秒剩余时间还能相遇的次数：58236=16(次)4(秒)10分钟内共相遇：161=

16、17次答：10分钟内共相遇17次。总结：解答相遇问题的应用题要注意：(1)认真审题，明确物体运动的方向、时间和路程，可以借助画线段图的方法帮助理解。(2)熟练运用相遇问题的基本公式。行船问题主讲：秦传志知识精讲一、知识点概述船在流动的水中航行而产生的一类行程问题，叫行船问题，也叫流水问题。船速即船在静水中航行的速度叫船速，水速：水的流动速度叫水速。顺水速度即船在顺水水面航行的实际速度。逆水速度即船在逆水水面航行的实际速度。行船向题比一般的行程问题多了一个水速的数量，今天我们来研究行船问题，发现他们的关系，掌握解答行船问题的方法。二、重点知识归纳及讲解顺流而下与逆流而上问题通常称为行船问题，行船

17、问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。船在静水中行驶，单位时间内所走的距离叫做划行速度或叫做静水船速；顺水行船的速度叫顺流速度；逆水行船的速度叫做逆流速度；船放中流，不靠动力顺水而行，单位时间内走的距离叫做水流速度。各种速度的关系如下：(1)划行速度水流速度顺流速度(2)划行速度水流速度逆流速度(3)(顺流速度逆流速度)2划行速度(4)(顺流速度逆流速度)2水流速度行船问题的数量关系仍然是速度、时间与距离之间的关系。即：速度时间距离；距离速度时间；距离时间速度。但是，河水是流动的，这就有顺流、逆流的区别。在计算时，要把各种

18、速度之间的关系弄清楚是非常必要的。三、难点知识剖析例1、两个码头相距352千米，一船顺流而下行完全程需要11小时，逆流而上行完全程需要16小时。求这条河的水流速度。分析：观察下图，弄清楚顺流速度，逆流速度与水流速度的关系。从图中可以看出，顺流速度与逆流速度的差相当于水流速度的2倍。解：(1)顺流速度：352 1132(千米)(2)逆流速度：3521622(千米)(3)水流速度：(3222)25(千米)综合算式：(3521135216)2(3222)25(千米)答：这条河的水流速度为每小时5千米。例2、甲乙两港间的水路长208千米。一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小

19、时到达。求船在静水中的速度。分析：船在江河里顺水或逆水航行，虽然也是行程问题，但船前进的速度除了和船本身的速度有关外，还与水流动的速度有关。因此，这类在江河里行船的问题，除了要注意速度、时间、路程这三者之间的关系外，还应注意如下的基本数量关系：顺水速度船速十水速逆水速度船速一水速根据题意，要想求出船速，需要按上面的基本数量关系先求出顺水速度和逆水速度。而顺水速度和逆水速度可按行程的一般数量关系，用路程分别除以顺水、逆水所行时间来求出。解：顺水速度:208826(千米)逆水速度：2081316(千米)船速：(2616)221(千米)答：船在静水中的速度为每小时21千米。例3、一支运货小船队，第一

20、次顺流航行42千米，逆流航行8千米，共用11小时；第二次用同样的时间，顺流航行了24千米，逆流航行了14千米。求这支小船队在静水中的速度和水流速度。分析：要求出船队的船速和水速，需要先求出顺水速度和逆水速度。根据题中的条件，可以从第一次航行和第二次航行航程的差，求出顺水速度是逆水速度的几倍、然后，假定第一次航行的11小时全是顺流或全是逆流，利用求出的顺水速度是逆水速度的几倍，算出顺流或逆流11小时应航行的航程，再用路程与时间的关系分别求出顺水速度和逆水速度。也可以假定第二次航行全是顺流或全是逆流，用上面的思路求出顺水速度或逆水速度。解法一：顺水速度是逆水速度的倍数：(4224)(148)3(倍

21、)假设第一次航行全是顺水航行。顺水速度：(4283)1166116(千米)逆水速度：8 (11426) 842(千米)船速：(62)2 4(千米)水速：(62)22(千米)答：这支小船队在静水中的速度是每小时行4千米，水速是每小时2千米。解法二：顺水速度是逆水速度的倍数：(4224)(148)3(倍)假设第一次航行全是逆水航行。逆水速度：(4238)1122112(千米)顺水速度：42(1182) 4276(千米)船速：(62)24(千米)水速：642(千米)答：这支小船队在静水中的速度是每小时行4千米，水速是每小时2千米。例4、一条大河，河中间(主航道)水的流速为每小时8千米，沿岸边水的流速

22、为每小时6千米。一条船在河中间顺流而下，13小时行驶520千米。求这条船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时？分析：此题求的是该船沿岸边返回原出发地点，需要多少小时。返回来是逆流而上，又知总路程是520千米，应该先把逆流速度求出来，所需的时间就可以求出来了。解：顺流速度：5201340(千米)船速：40832(千米)逆流速度：32626(千米)沿岸返回原地需要的时间，5202620(小时)综合算式： 520(5201386)520(4086)5202620(小时)答：这条船沿岸边返回原地，需要20小时。演练检测1、两个码头相距192千米，一艘汽艇顺水行完全程需要8小时，已知这条河的水流速度为每小

23、时4千米，求逆水行完全程需要几小时？2、两个码头相距432千米，轮船顺水行这段路程需要16小时，逆水每小时比顺水少行9千米，逆水比顺水需要多用几小时？3、静水中甲、乙两船的速度分别是每小时22千米和每小时18千米。两船先后自港口顺水开出，乙比平早出发2小时，若水速是每小时4千米，问甲开出后几小时可追上乙？4、甲、乙两个码头相距130千米，汽船从乙码头逆水行驶6.5小时到达甲码头，又知汽船在静水中每小时行驶23千米。求汽船从甲码头顺流开回乙码头需要多少小时？5、一只木船第一次顺流航行56千米，逆水航行20千米，共用12小时、第二次用同样的时间，顺流航行40千米，逆流航行28千米。求这只木船在静水

24、中的速度和水流速度。6、A河是B河的支流,A河水的流速为每小时3千米，B河水的流速为每小时2千米。一艘船沿A河顺水航行7小时，行了133千米到达B河，在B河还要逆水航行84千米，问这艘船还要航行几小时？7、一艘客轮的静水速度是每小时27千米，要在水流速度每小时3千米的河中顺水航行120千米，需要航行多少小时？如果逆水航行120千米，需要航行多少小时？8、一条船顺水而行，5小时行60千米，逆水航行这段路程，10小时才能到达，求船速与水流速度。9、一只船在河中航行，水速为每小时2千米，它在静水中航行每小时8千米，顺水航行每小时行多少千米，逆水航行每小时行多少千米？顺水航行50千米需用几小时？10、

25、某条河上游码头A,下游码头B，A、B之间的水路是234千米，一条船从A行到B地需要9小时，从B返回到A地需要13小时，那么船速是多少？水速是多少？11、甲、乙两港间的水路长416千米，一只船从甲港开往乙港，顺水16小时到达，逆水返回时26小时到达，求船在静水中的速度和水流速度。12、两个码头相距192千米，一艘汽船顺水行完全程需要8小时，已知这条河的水流速度为4千米，求逆水行完全程需几小时？13、一条大河有甲、乙两码头，一艘货船在其间航行，顺流用去14小时，逆流用去的时间比顺流多6小时，已知此河水流速度是每小时3千米，船速是水流速度的5倍还多2千米，那么甲、乙两码头的距离是多少千米，往返一次需

26、要多少小时？14、甲、乙两码头相距36千米，小王乘船从甲码头去乙码头贩货，已知顺流航行每小时航行12千米，逆流航行每小时航行8千米，小王到达乙码头后取货，验货用了2小时，这样小王每次从甲码头到乙码头贩货都需要几小时？答案1、顺水速度：192824(千米)逆水速度:244416(千米)逆水行完全程需要的时间：1921612(小时)综合算式：192(192844) 192(2444)1921612(小时)2、逆水速度：432169 27918(千米)逆水比顺水多用的时间：432181624168(小时)3、(184)2(2218)44411(小时)4、逆水速度：1306.520(千米)水流速度：2

27、3203(千米)顺流速度：23326(千米)所需的时间：130265(小时)5、(5640)十(2820)2(倍)顺水速度：(56202)128(千米)逆水速度：20(12568) 4(千米)船速：(84)26(千米)水速：862(千米)6、船速：1337316(千米)84(162)6(小时)还要航行的时间7、解析：题中已知船的静水速度即船速，又知水流速度，利用“顺水速度船速水速”就可求出顺水速度。还知道顺水航行的路程，根据路程速度时间，就可求出顺水航行所需时间。同样，先利用“逆水速度船速一水速”求出逆水速度，再结合已知逆水航行的路程就可求出逆水航行所需时间。即顺水速度：27330(千米小时)

28、顺水航行时间：120304(小时)逆水速度：27324(千米小时)逆水航行时间：120245(小时)8、解析：根据顺水航行的路程和时间，可以求出顺水速度，根据逆水航行的路程和时间，可以求出逆水速度。由于船速与水速是大数、小数的关系，顺水速度与逆水速度又是和与差的关系，运用和差问题的数量关系，即可求出船速与水流速度。即顺水速度:60512(千米/小时)逆水速度:60106(千米/小时)船速：(126)29(千米/小时)水流速度：(126 )23(千米/小时)9、顺水速度：8210(千米/小时)逆水速度：826(千米/小时)顺水航行50千米所需时间：50105(小时)10、船速：(234923413)222(千米/小时)水速：(234923413)24(千米/小时)11、顺水速度：4161626(千米/小时)逆水速度：4162616千米/小时)船速：(2616)221(千米/小时水速：(2616)25(千米/小时12、顺水速度：192824(千米/小时)船速：24420(千米/小时)逆水速度：20416(千米/小时)逆水所需时间：1921612 (小时)13、逆流用的时间是：14620(小时)往返一次用的时间是：142034(小时)船在静水中的速度是：35217(千米/小时)