高三数学理专题复习检测每日一题规范练.docx

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高三数学理专题复习检测每日一题规范练

每日一题规范练

必做题部分

[题目1]已知向量a＝（sinθ，2），b＝（cosθ，1），则a∥b，其中θ∈.

（1）求tan的值；

（2）若5cos（θ－φ）＝3cosφ，0＜φ＜，求φ的值．

20XX年____月____日（周一）

[题目2]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD和DD1的中点．求证：

（1）EF∥平面C1BD；

（2）A1C⊥平面C1BD.

20XX年____月____日（周二）

[题目3]如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．

（1）若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？

（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

20XX年____月____日（周三）

[题目4]已知椭圆C：

＋＝1的上顶点为A，直线l：

y＝kx＋m交椭圆于P，Q两点，设直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2.

（1）若m＝0时，求k1·k2的值；

（2）若k1·k2＝－1时，证明：

直线l：

y＝kx＋m过定点．

20XX年____月____日（周四）

[题目5]在数列{an}，{bn}中，已知a1＝0，a2＝1，b1＝1，b2＝，数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，且满足Sn＋Sn＋1＝n2，2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，其中n为正整数．

（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）问是否存在正整数m，n，使＞1＋bm＋2成立？

若存在，求出所有符合条件的有序实数对（m，n）；若不存在，请说明理由．

20XX年____月____日（周五）

[题目6]设函数f（x）＝x2lnx－ax2＋b在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝－x＋b.

（1）求实数a及x0的值；

（2）求证：

对任意实数b∈，函数f（x）有且仅有两个零点．

20XX年____月____日（周六）

[题目7]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝b.

（1）求证：

B≤；

（2）当·＝－2，b＝2时，求△ABC的面积．

20XX年____月____日（周一）

[题目8]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O，E分别为B1D，AB的中点．

（1）求证：

OE∥平面BCC1B1；

（2）求证：

平面B1DC⊥平面B1DE.

20XX年____月____日（周二）

[题目9]椭圆M：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点P.过坐标原点的直线l1与l2均不在坐标轴上，l1与椭圆M交于A，C两点，l2与椭圆M交于B，D两点．

（1）求椭圆M的方程；

（2）若平行四边形ABCD为菱形，求菱形ABCD面积的最小值．

20XX年____月____日（周三）

[题目10]如图，有一个长方形地块ABCD，边AB为2km，AD为4km.地块的一角是湿地（图中阴影部分），其边缘线AC是以直线AD为对称轴，以A为顶点的抛物线的一部分．现要铺设一条过边缘线AC上一点P的直线型隔离带EF，E，F分别在边AB，BC上（隔离带不能穿越湿地，且占地面积忽略不计）．设点P到边AD的距离为t（单位：

km），△BEF的面积为S（单位：

km2）．

（1）求S关于t的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）是否存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2？

并说明理由．

20XX年____月____日（周四）

[题目11]已知函数f（x）＝kex－x2（其中k∈R，e是自然对数的底数）．

（1）若k＜0，试判断函数f（x）在区间（0，＋∞）上的单调性；

（2）若k＝2，当x∈（0，＋∞）时，试比较f（x）与2的大小；

（3）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求k的取值范围，并证明0＜f（x1）＜1.

20XX年____月____日（周五）

[题目12]已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，a5和a7的等差中项为11，且a2·a5＝a1·a14，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.

（1）求an及Tn；

（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？

若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．

20XX年____月____日（周六）

[题目13]已知向量a＝（cosθ，sinθ），b＝（2，－1）．

（1）若a⊥b，求的值；

（2）若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．

20XX年____月____日（周一）

[题目14]如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

20XX年____月____日（周二）

[题目15]某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．

（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；

（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？

最大利润是多少？

20XX年____月____日（周三）

[题目16]已知△ABC的两顶点坐标A（－1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M.

（1）求曲线M的方程；

（2）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程．

20XX年____月____日（周四）

[题目17]已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋n2－1，数列{bn}满足3nbn＋1＝（n＋1）an＋1－nan，且b1＝3.

（1）求an，bn；

（2）设Tn为数列{bn}的前n项和，求Tn，并求满足Tn＜7时n的最大值．

20XX年____月____日（周五）

[题目18]已知m∈R，f（x）＝2x3＋3x2＋6（m－m2）x.

（1）当m＝1时，求f（x）在点（1，f

（1））处的切线方程；

（2）若m∈[，2]且关于x的不等式（m－1）2（1－4m）≤f（x）≤20在区间[k，0]上恒成立，求k的最小值k（m）．

20XX年____月____日（周六）

[题目19]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＋1＝.

（1）求B；

（2）若cos＝，求sinA的值．

20XX年____月____日（周一）

[题目20]在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．

（1）求证：

AB∥平面DEG；

（2）求证：

EG⊥平面BDF.

20XX年____月____日（周二）

[题目21]已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴端点为（0，2），短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且＝2.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求m的取值范围．

20XX年____月____日（周三）

[题目22]如图，一块弓形薄铁片EMF，点M为的中点，其所在圆O的半径为4dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF＝.将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD（不计损耗），AD∥EF，且点A，D在上，设∠AOD＝2θ.

（1）求矩形铁片ABCD的面积S关于θ的函数关系式；

（2）当裁出的矩形铁片ABCD面积最大时，求cosθ的值．

20XX年____月____日（周四）

[题目23]数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1（n∈N*），等差数列{bn}满足b3＝3，b5＝9.

（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；

（2）设cn＝（n∈N*），求证：

cn＋1＜cn≤.

20XX年____月____日（周五）

[题目24]已知函数f（x）＝－ax.

（1）若函数f（x）在（1，＋∞）上是减函数，求实数a的最小值；

（2）若∃x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）＋a（a＞0成立），求实数a的取值范围．

20XX年____月____日（周六）

[题目25]已知△ABC的面积为S，且·＝S.

（1）求sinA；

（2）若||＝3，|－|＝2，求sinB.

20XX年____月____日（周一）

[题目26]如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

20XX年____月____日（周二）

[题目27]已知圆M：

x2＋（y－2）2＝1，直线l：

y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.

（1）求E的方程；

（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：

直线AB恒过定点．

20XX年____月____日（周三）

[题目28]某公司生产一种产品，每年需投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产品销售数量为t件时，销售所得的收入为万元．

（1）该公司这种产品的年生产量为x件，生产并销售这种产品所得到的利润关于当年产量x的函数为f（x），求f（x）；

（2）当该公司的年产量为多少件时，当年所获得的利润最大？

20XX年____月____日（周四）

[题目29]设f（x）＝ex（ax2＋x＋1）．

（1）若a＞0，讨论f（x）的单调性；

（2）x＝1时，f（x）有极值，证明：

当θ∈时，|f（cosθ）－f（sinθ）|＜2.

20XX年____月____日（周五）

[题目30]设数列{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，若a1a5＝64，S5－S3＝48.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对于正整数k，m，l（k＜m＜l），求证：

“m＝k＋1且l＝k＋3”是“5ak，am，al这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；

（3）设数列{bn}满足：

对任意的正整数n，都有a1bn＋a2bn－1＋a3bn－2＋…＋anb1＝3·2n＋1－4n－6，且集合M＝中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围．

20XX年____月____日（周六）

附加题部分

[题目31]（选做题）在A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1：

几何证明选讲

如图，已知CB是⊙O的一条弦，A是⊙O上异于B，C的任意一点，过点A作⊙O的切线交直线CB于点P，D为⊙O上一点，且∠ABD＝∠ABP.

求证：

AB2＝BP·BD.

20XX年____月____日（周一）

B．选修4－2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝，向量α＝.

（1）求A的特征值和对应的特征向量；

（2）计算A5α的值．

20XX年____月____日（周一）

　C．选修4－4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数），求直线l与曲线C的交点P的直角坐标．

20XX年____月____日（周一）

D．选修4－5：

不等式选讲

设x，y，z为正数，证明：

2（x3＋y3＋z3）≥x2（y＋z）＋y2（x＋z）＋z2（x＋y）．

20XX年____月____日（周一）

[题目32]（必做题）已知某人投篮投中的概率为，该人四次投篮实验，且每次投篮相互独立，设ξ表示四次实验结束时投中次数与没有投中次数之差的绝对值．

（1）求随机变量ξ的数学期望E（ξ）；

（2）记“函数f（x）＝x2－ξx－1在（2，3）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P（A）．

20XX年____月____日（周二）

[题目33]（必做题）当n≥3，n∈N时，对于集合M＝{1，2，3，…，n}，集合M的所有含3个元素的子集分别表示为N1，N2，N3，…，NM（n）－1，N（M）n，其中M（n）表示集合M的含3个元素的子集的个数．设pi为集合Ni中的最大元素，qi为集合Ni中的最小元素，1≤i≤M（n），记P＝p1＋p2＋…＋pM（n）－1＋pM（n），Q＝q1＋q2＋…＋qM（n）－1＋qM（n）．

（1）当n＝4时，分别求M（4），P，Q；

（2）求证：

P＝3Q.

20XX年____月____日（周三）

[题目34]（选做题）在A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A．选修4－1：

几何证明选讲

如图，AB，AC是⊙O的切线，ADE是⊙O的割线，求证：

BE·CD＝BD·CE.

B．选修4－2：

矩阵与变换

已知矩阵A＝，直线l：

x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：

x－y＋2a＝0.

（1）求实数a的值；

（2）求A2.

C．选修4－4：

坐标系与参数方程

在极坐标系中，设圆C：

ρ＝4cosθ与直线l：

θ＝（ρ∈R）交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．

D．选修4－5：

不等式选讲

已知实数x，y满足x＞y，求证：

2x＋≥2y＋3.

20XX年____月____日（周四）

[题目35]（必做题）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，BC＝，AB＝1，BD＝PA＝2.

（1）求异面直线BD与PC所成角的余弦值；

（2）求二面角A－PD－C的余弦值．

20XX年____月____日（周五）

[题目36]（必做题）已知集合A是集合Pn＝{1，2，3，…，n}（n≥3，n∈N*）的子集，且A中恰有3个元素，同时这3个元素的和是3的倍数．记符合上述条件的集合A的个数为f（n）．

（1）求f（3），f（4）；

（2）求f（n）（用含n的式子表示）．

20XX年____月____日（周六）

必做题部分

[题目1]　解　

（1）∵a∥b，∴sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2.

∴tan＝＝＝－3.

（2）由

（1）知tanθ＝2，又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝，

∵5cos（θ－φ）＝3cosφ，

∴5（cosθcosφ＋sinθsinφ）＝3cosφ，

即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，

∴cosφ＝sinφ，即tanφ＝1，

又0＜φ＜，∴φ＝.

[题目2]　证明　

（1）连接AD1，∵E，F分别是AD和DD1的中点，

∴EF∥AD1.

∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AB∥D1C1，AB＝D1C1.

四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，∴EF∥BC1.

又EF⊄平面C1BD，BC1⊂平面C1BD，∴EF∥平面C1BD.

（2）连接AC，则AC⊥BD.

∵正方体ABCD－A1B1C1D1，∴AA1⊥平面ABCD，

∴AA1⊥BD.

又AA1∩AC＝A，∴BD⊥平面AA1C，

∴A1C⊥BD.

同理可证A1C⊥BC1.

又BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.

[题目3]　解　设AP＝x米，AQ＝y米．

（1）则x＋y＝200，△APQ的面积S＝xysin120°＝xy.

∴S≤＝2500.

当且仅当x＝y＝100时取“＝”．

即AP＝AQ＝100米时，三角地块APQ面积最大．

（2）由题意得100×（1·x＋1.5·y）＝20000，即x＋1.5y＝200.

要使竹篱笆用料最少，只需其长度PQ最短，

所以PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy＝（200－1.5y）2＋y2＋（200－1.5y）y＝1.75y2－400y＋40000.

当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.

即AP＝米，AQ＝时，篱笆用料最省．

[题目4]　

（1）解　当m＝0时，直线l：

y＝kx代入椭圆C：

＋＝1的方程，得到x2＋2k2x2＝4，

解得P，Q，

所以k1＝＝，

k2＝＝，

所以k1·k2＝＝－.

（2）证明　设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l：

y＝kx＋m代入椭圆C：

＋＝1的方程，

并整理得到（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－4＝0，

则Δ＞0，且x1＋x2＝－，x1·x2＝.

由k1·k2＝－1知·＝－1.即y1y2－（y1＋y2）＋2＋x1x2＝0，

（kx1＋m）（kx2＋m）－（kx1＋m＋kx2＋m）＋x1x2＋2＝0，

k2x1x2＋mk（x1＋x2）＋m2－k（x1＋x2）－2m＋x1x2＋2＝0，（k2＋1）＋k（m－）＋m2－2m＋2＝0，

（k2＋1）（2m2－4）＋k（m－）（－4km）＋（m2－2m＋2）（1＋2k2）＝0，

所以3m2－2m－2＝0，解得m＝（舍）或m＝－，

所以直线l过定点.

[题目5]　解　

（1）因为Sn＋Sn＋1＝n2，

所以当n≥2时，Sn－1＋Sn＝（n－1）2，

两式相减得an＋an＋1＝2n－1，

又a2＋a1＝1也适合上式，

所以an＋an＋1＝2n－1对一切n∈N*成立，

所以当n≥2时，an－1＋an＝2n－3，

再相减得an＋1－an－1＝2，

所以数列{an}的奇数项成公差为2的等差数列、偶数项也成公差为2的等差数列，

又a1＝0，a2＝1，可解得an＝n－1.

因为2Tn＋2＝3Tn＋1－Tn，所以2Tn＋2－2Tn＋1＝Tn＋1－Tn，即2bn＋2＝bn＋1，

又2b2＝b1，所以对一切n∈N*均有2bn＋1＝bn，

所以数列{bn}成公比为的等比数列，所以bn＝.

（2）因为bn＝，所以Tn＝＝2，

由＞1＋bm＋2得＞1＋，

即＞1＋，1＋＞1＋，＞，因为2m＋1＞0，所以（2－m）2n－2＞0，且（2－m）2n－2＜2m＋1，即（2－m）2n＜2＋2m＋1且（2－m）2n＞2.

即m＜2且m∈N*，故m＝1，此时2n＜2＋22＝6，（2－1）2n＞2，

故n＝2，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对（m，n）为（1，2）．

[题目6]　

（1）解　因为f′（x）＝2xlnx＋x－2ax，

所以在点（x0，f（x0））处的切线方程为y＝－x＋xlnx0－ax＋x0＋b，

其中解得x0＝1，a＝1.

（2）证明　因为函数f（x）＝x2lnx－x2＋b（x＞0），

所以f′（x）＝2xlnx－x，令f′（x）＝2xlnx－x＝0，得x＝，

且当x∈（0，）时，f′（x）＜0，即f（x）＝x2lnx－x2＋b在x∈（0，）上单调递减；

当x∈（，＋∞）时，f′（x）＞0，即f（x）＝x2lnx－x2＋b在x∈（，＋∞）上单调递增；

所以f（x）有最小值f（）＝b－＜0.又f（e）＝e2－e2＋b＞0，

所以f（x）＝x2lnx－x2＋b在（，e）上一定有一解，

下面证明存在x1∈（0，）使f（x1）＞0，

令h（x）＝xlnx－x＋1，h′（x）＝lnx，

所以当x∈（0，1）时，h（x）＝xlnx－x＋1在（0，1）上单调递减，

所以当x∈（0，1）时，h（x）＝xlnx－x＋1＞h

（1）＞0，

所以当x∈（0，1）时，f（x）＝x2lnx－x2＋b＞b－x，

取x1＝min{1，b}，则f（x1）＞b－x1＞0，

所以f（x）＝x2lnx－x2＋b在（x1，）上一定有一解，

综上所述，函数f（x）在（0，＋∞）上有且仅有两个零点．

[题目7]　

（1）证明　∵cosB＝＝＝≥0，又B∈（0，π）．∴B≤（当且仅当a＝c时取得等号）．

（2）解　∵·＝－2，∴accosB＝2，

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝12，∴a2＋c2＝16，

又a＋c＝b＝2，∴ac＝4，∴cosB＝，又∵B∈，

∴sinB＝.∴S△ABC＝acsinB＝.

[题目8]　证明　

（1）连接BC1，设BC1∩B1C＝F，连接OF.

因为O，F分别是B1D与B1C的中点，

所以OF∥DC，且OF＝DC，

又E为AB中点，所以EB∥DC，且EB＝DC，

从而OF∥EB，OF＝EB，即四边形OEBF是平行四边形，

所以OE∥BF，又OE⊄平面BCC1B1，BF⊂平面BCC1B1，

所以OE∥平面BCC1B1.

（2）因为DC⊥平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

所以BC1⊥DC.又BC1⊥B1C，且DC，B1C⊂平面B1DC，DC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1DC，BC1∥OE，所以OE⊥平面B1DC，

又OE⊂平面B1DE，所以平面B1DC⊥平面B1DE.

[题目9]　解　

（1）依题意有又因为a2＝b2＋c2，所以故椭圆M的方程为＋y2＝1.

（2）设直线AC：

y＝k1x，直线BD：

y＝k2x，A（xA，yA），C（xC，yC）．

联立得方程（2k＋1）x2－2＝0，

x＝x＝，故OA＝OC＝·.

同理，OB＝OD＝·.

又因为AC⊥BD，所以OB＝OD＝·，

其中k1≠0.从而菱形ABCD的面积S＝2OA·OB＝

2···，

整理得S＝4，其中k1≠0.

故当k1＝1或－1时，菱形ABCD的面积最小，该最小值为.

[题目10]　解　

（1）如图，以A为坐标原点O，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则C点坐标为（2，4）．

设边缘线AC所在抛物线的方程为y＝ax2（a＞0），

把（2，4）代入，得4＝a·22，解得a＝1，

所以抛物线的方程为y＝x2.因为y′＝2x.

所以过P（t，t2）的切线EF方程为y＝2tx－t2.

令y＝0，得E；令x＝2，得F（2，4t－t2），

所以S＝（4t－t2），所以S＝（t3－8t2＋16t），定义域为（0，2]．

（2）S′＝（3t2－16t＋16）＝（t－4），

由S′（t）＞0得0＜t＜（t＞4舍去）．

所以S′（t）在上是增函数，在上是减函数，

所以S在（0，2]上有最大值S＝.又因为＝3－＜3，

所以不存在点P，使隔离出的△BEF面积S超过3km2.

[题目11]　解　

（1）由f′（x）＝kex－2x可知，当k＜0时，由于x∈（0，＋∞），f′（x）＝kex－2x＜0，故函数f（x）在区间（0，＋∞）上是单调递减函数．

（2）当k＝2时，f（x）＝2ex－x2，则f′（x）＝2ex－2x，令h（x）＝2ex－2x，

h′（x）＝2ex－2，由于x∈（0，＋∞），故h′（x）＝2ex－2＞0，于是h（x）＝2ex－2x在（0，＋∞）上为增函数，所以h（x）＝2ex－2x＞h（0）＝2＞0，

即f′（x）＝2ex－2x＞0在（0，＋∞）上