推荐对数平均数的不等式链的几何解释及应用.docx
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推荐对数平均数的不等式链的几何解释及应用
对数平均数的不等式链的几何解释及应用
中学数学教育专家安振平先生在剖析2014年陕西高考数学试题时指出,其压轴题的理论背景是:
设则,其中被称之为对数平均数.
童永奇老师构造函数,借助于导数证明了对数平均数的上述不等式,难度较大,为此,我作了深入地探讨,给出对数平均数的不等关系的几何解释,形象直观,易于理解.
1对数平均数的不等关系的几何解释
反比例函数的图象,如图所示,,轴,,作在点处的切线分别与交于,根据左图可知,
因为,
所以①
又,
,
,
根据右图可知,,所以,②
另外,,可得:
③
综上,结合重要不等式可知:
,
即.④
2不等式链的应用
对数平均数的不等式链,提供了多种巧妙放缩的途径,可以用来证明含自然对数的不等式问题.对数平均数的不等式链包含多个不等式,我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的.
2.1的应用
例1(2014年陕西)设函数,,其中是的导函数.
(1)
(2)(略)
(3)设,比较与的大小,并加以证明.
解析(3)因为,
所以,
而,因此,比较与的大小,即只需比较与的大小即可.
根据时,,即
令则
所以,,,
将以上各不等式左右两边相加得:
,
故.
评注本题是高考试题的压轴题,难度较大,为了降低试题的难度采取多步设问,层层递进,上问结论,用于下问,其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”,尽管如此,步骤依然繁琐,求解过程复杂,但我们这里应用对数平均数不等式链来证明,思路简捷,别具新意,易于学生理解、掌握.
当时,,即令
则可得:
.
例2(2012年天津)已知函数的最小值为0.
(1)
(2)(略)(3)证明:
解析(3)易求,待证不等式等价于.
根据时,,即
令则
将以上各不等式左右两边分别相加得:
,
.得证.
2.2的应用
例3设数列的通项,其前项的和为,证明:
.
解析根据时,,即,
令则
,易证.
2.3的应用
例4设数列的通项,证明:
.
解析根据时,,即,
令则,易证.
2.4的应用
例5(2010年湖北)已知函数的图象在点处的切线方程为.
(1)用表示出;
(2)(略)
(3)证明:
解析
(1);
(3)当时,,即,
令则
所以,
将以上各不等式左右两边分别相加得:
即
故
例6(2013年新课标Ⅰ)已知函数.
(1)若时,求的最小值;
(2)设数列的通项,证明:
.
解析
(1)易得.
令则
若,则当时,是增函数,不符合题意;若,则当时,是增函数,不符合题意;若,则当时,是减函数,符合题意;
综上,的最小值是.
(2)当时,,即,
令则
所以
将以上各不等式左右两边分别相加得:
即
故.
评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时,加以赋值,并进行变形,令,有,亦即达到放缩的目的.两者相比较,自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.
2.5的应用
例7(2014福建预赛)已知.
(1)(略)
(2)求证:
对一切正整数均成立.
解析
(2)根据时,,即
令则
变形可得:
则
将以上各不等式左右两边相加得:
对一切正整数均成立.
评注本题提供标准答案是借助于第一问的的最小值时,,即,结合待证不等式的特征,
令,得,
整理得:
,即,借此作为放缩的途径达到证明的目的.你能注意到两种方法的区别吗?
对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景,正如罗增儒教授指出:
通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解,而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘,水有源,题有根,茫茫题海,寻觅其根源,领悟其通性通法方是提升数学素养的途径.