所以－k·360°<－α<－k·360°＋90°，
则－k·360°＋180°<180°－α<－k·360°＋90°＋180°，k∈Z，
当k＝0时，180°<180°－α<270°，
故180°－α为第三象限角．
（2）∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°.
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°，k∈Z，
∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y轴的非正半轴上的角．
同理45°＋
·360°<
<90°＋
·360°.
当k为偶数时，
不妨令k＝2n，n∈Z，
则45°＋n·360°<
<90°＋n·360°.
此时，
为第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1，n∈Z，
则225°＋n·360°<
<270°＋n·360°，
此时，
为第三象限角．
∴
为第一或第三象限角．
小结
1．解决此类问题，要先确定α的范围，进一步确定出nα或
的范围，再根据k与n的关系进行讨论．
2．一般地，要确定
所在的象限，可以作出n等分各个象限的从原点出发的射线，它们与坐标轴把圆周等分成4n个区域，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把4n个区域依次标上号码1、2、3、4，则标号是n的区域就是α为第几象限时，
的终边也可能落在区域．
[再练一题]
3．本例
（2）中条件不变，试判断
是第几象限角？
解：
∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，
∴30°＋k·120°<
<60°＋k·120°，k∈Z.
当k＝3n，n∈Z时，
30°＋n·360°<
<60°＋n·360°，n∈Z此时
为第一象限角，
当k＝3n＋1，n∈Z时，
150°＋n·360°<
<180°＋n·360°，n∈Z，此时
为第二象限角，
当k＝3n＋2，n∈Z时，
270°＋n·360°<
<300°＋n·360°，n∈Z，此时
为第四象限角．
∴
为第一、第二或第四象限角．
[构建·体系]
练习
1．若α是第一象限角，则－
是（ ）
A．第一象限角B．第一、四象限角
C．第二象限角D．第二、四象限角
解：
因为α是第一象限角，所以
为第一、三象限角，所以－
是第二、四象限角．答案：
D
2．与－457°角终边相同的角的集合是（ ）
A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}
B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}
D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}
解：
当选项C的集合中k＝－2时，α＝－457°.答案：
C
3．下列各角中，与角330°的终边相同的角是（ ）
A．510°B．150°C．－150°D．－390°
解：
与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，
当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D．答案：
D
4．若角α与角β终边相同，则α－β＝________．
解：
根据终边相同角的定义可知：
α－β＝k·360°（k∈Z）．
答案：
k·360°（k∈Z）
5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：
（1）－120°；
（2）640°.
解：
（1）与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，
∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．
（2）与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，
∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．
基础练习
一、选择题
1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A．B＝A∩CB．B∪C＝CC．A∪C=BD．A＝B＝C
解：
钝角大于90°，小于180°，故C
B，选项B正确．答案：
B
2．下列是第三象限角的是（ ）
A．－110°B．－210°C．80°D．－13°
解：
－110°是第三象限角，－210°是第二象限角，80°是第一象限角，－13°是第四象限角．故选A．答案：
A
3．终边与坐标轴重合的角α的集合是（ ）
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
解：
终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D．答案：
D
4．若α是第一象限的角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）
A．90°－αB．90°＋αC．360°－αD．180°＋α
解：
因为α是第一象限角，所以－α为第四象限角，所以360°－α为第四象限角．答案：
C
5．在平面直角坐标系中，若角α与角β的终边互为反向延长线，则必有（ ）
A．α＝－βB．α＝k·180°＋β（k∈Z）
C．α＝180°＋βD．α＝2k·180°＋180°＋β（k∈Z）
解：
因为角α与角β的终边互为反向延长线，所以角α与角β的终边关于原点对称，所以α＝2k·180°＋180°＋β（k∈Z）．答案：
D
二、填空题
6．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________.
解：
根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°（k∈Z），当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.故填120°，300°.
答案：
120°，300°
7．设集合A＝{x|k·360°＋60°解：
A∩B＝{x|k·360°＋60°答案：
{x|k·360°＋150°三、解答题
8．在与530°终边相同的角中，求满足下列条件的角．
（1）最大的负角；
（2）最小的正角；（3）－720°到－360°的角．
解：
与530°终边相同的角为k·360°＋530°，k∈Z.
（1）由－360°＜k·360°＋530°＜0°，且k∈Z可得k＝－2，故所求的最大负角为－190°.
（2）由0°＜k·360°＋530°＜360°且k∈Z可得k＝－1，故所求的最小正角为170°.
（3）由－720°≤k·360°＋530°≤－360°且k∈Z得k＝－3，故所求的角为－550°.
9．若角β的终边落在直线y＝－
x上，写出角β的集合；当－360°＜β＜360°时，求角β.
解：
∵角β的终边落在直线y＝－
x上，
∴在0°到360°范围内的角为150°和330°.
∴角β的集合为{x|x＝k·180°＋150°，k∈Z}，
当－360°＜β＜360°时，角β为－210°，－30°，150°，330°.
能力提升
1．如图1－1－5，终边落在直线y＝±x上的角α的集合是（ ）
图1－1－5
A．{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}
解：
终边落在直线y＝±x在[0°，360°）内角有45°，135°，225°和315°共四个角，相邻2角之间均相差90°，故终边落在直线y＝±x上的角的集合为{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}．答案：
D
2．已知，如图1－1－6所示．
图1－1－6
（1）分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合．
解：
（1）终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．
（2）由图可知，阴影部分角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．
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