K12学习数列在日常经济生活中的应用学案.docx

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K12学习数列在日常经济生活中的应用学案

数列在日常经济生活中的应用学案

　　§4　数列在日常经济生活中的应用

　　知能目标解读

　　理解常见储蓄如零存整取、定期自动转存、分期付款及利息的计算方法，能够抽象出所对应的数列模型，并能用数列知识求解相关问题.

　　能够将现实生活中涉及到银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率等实际问题，抽象出数列模型，将实际问题解决.

　　重点难点点拨

　　重点：

用数列知识解决日常经济生活中的实际问题.

　　难点：

将现实生活中的问题抽象出数列模型，使问题得以解决.

　　学习方法指导

　　零存整取模型

　　银行有一种叫做零存整取的业务，即每月定时存入一笔数目相同的资金，这叫做零存；到约定日期，可以取出全部的本利和，这叫做整取.规定每次存入的钱按单利计算，单利的计算是指仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息.其计算公式为：

利息=本金×利率×存期.如果用符号P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和，则有S=P.

　　定期自动转存模型

　　银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如，储户某月存入一笔1年期定期存款，1年后，如果储户不取出本利和，则银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和，即定期自动转存按复利计算.

　　何谓复利？

　　所谓复利，就是把上期的本利和作为下一期的本金，在计算时，每一期的本金的数额是不同的，复利的计算公式为S=Pn.

　　一般地，一年期满后，借贷者收到的款额v1=v0，其中v0为初始贷款额，a为每年的利率；假若一年期满后，银行又把v1贷出，利率不变，银行在下一年期满后可收取的款额为v2=v1=v02;…依次类推，若v0贷出t年，利率每年为a，这批款额到期后就会增到vt=v0t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.

　　分期付款模型

　　分期付款是数列知识的一个重要的实际应用，在现实生活中是几乎涉及到每个人的问题，要在平时的学习中及时发现问题，学会用数学的方法去分析，解决问题，关于分期付款应注意以下问题：

　　分期付款分若干次付款，每次付款的款额相同，各次付款的时间间隔相同；

　　分期付款中双方的每月利息均按复利计算，即上月的利息要计入下月的本金；

　　分期付款中规定：

各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和，这在市场经济中是相对公平的.

　　分期付款总额要大于一次性付款总额，二者的差额与多少次付款有关，分期付款的次数越多，差额越大，即付款总额越多.

　　注意：

　　目前银行规定有两种付款方式：

等额本息还款法；等额本金还款法.等额本金还款法的特点是：

每期还款额递减，利息总支出比等额款法少，等额本金还款法还可以按月还款和按季还款，由于银行结息贯例的要求，一般采用按季还款方式.

　　本节的规律方法

　　银行存款中的单利是等差数列模型，本息和公式为S=P.

　　银行存款中的复利是等比数列模型，本利和公式为S=Pn.

　　产值模型：

原来产值的基础数为N，平均增长率为P，对于时间x的总产值为y=Nx.

　　分期付款模型：

a为贷款总额，r为年利率，b为等额还款数，则b=.

　　数列模型在实际问题中的应用

　　数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，在人口数量的研究中也要研究增长率问题，金融问题更要涉及利率问题等.

　　建立数学模型的过程

　　解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式或递推公式或前n项和公式求解问题.

　　基本步骤如下表所示：

　　知能自主梳理

　　单利：

单利的计算是仅在原有本金上计算利息，对本金所产生的利息，其公式为利息=.若以P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本金和利息和，则有.

　　复利：

把上期末的本利和作为下一期的，在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式是.

　　数列知识有着广泛的应用，特别是等差数列和等比数列.例如银行中的利息计算，计算单利时用数列，计算复利时用数列，分期付款要综合运用、数列的知识.

　　解决数列应用题的基本步骤为：

①仔细阅读题目，认真审题，将实际问题转化为

　　；②挖掘题目的条件，分析该数列是数列，还是

　　数列，分清所求的是的问题，还是问题.③检验结果，写出答案.

　　［答案］　1.不再计算利息　本金×利率×存期　S=P　本金　S=Pn

　　等差　等比　等差　等比　①数列模型　②等差　等比　项　求和

　　思路方法技巧

　　命题方向　单利计算问题

　　［例1］　有一种零存整取的储蓄项目，它是每月某日存入一笔相同的金额，这是零存；到一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取.它的本利和公式如下：

　　本利和=每期存入金额×［存期+存期××利率］.

　　试解释这个本利公式.

　　若每月初存入100元，月利率5.1‰，到第12月底的本利和是多少？

　　若每月初存入一笔金额，月利率是5.1‰，希望到第12个月底取得本利和XX元，那么每月应存入多少金额？

　　［分析］　存款储蓄是单利计息，若存入金额为A，月利率为P，则n个月后的利息是nAP.

　　［解析］　设每期存入金额A，每期利率P，存入期数为n，则各期利息之和为

　　AP+2AP+3AP+…+nAP=nAP.

　　连同本金，就得：

本利和=nA+nAP=A［n+nP］.

　　当A=100,P=5.1‰,n=12时，

　　本利和=100×=1239.78.

　　将中公式变形得

　　A==≈161.32.

　　即每月应存入161.32元.

　　［说明］　单利的计算问题，是等差数列模型的应用.

　　变式应用1　王先生为今年上高中的女儿办理了“教育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是2.7‰.

　　欲在3年后一次支取本息合计2万元，王先生每月大约存入多少元？

　　若“教育储蓄”存款总额不超过2万元，零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？

此时3年后本息合计约为多少元？

　　［解析］　设王先生每月存入A元，则有

　　A+A+…+A=XX0,利用等差数列前n项和公式，

　　得A=XX0,

　　解得A≈529元.

　　由于教育储蓄的存款总额不超过2万元，所以3年期教育储蓄每月至多存入≈555，这样，3年后的本息和为：

　　55+555+…+555=555

　　≈20978.

　　命题方向　复利计算问题

　　［例2］　某人参加工作后，计划参加养老保险.若年年末存入p元，第二年年末存入2p元，…，第n年年末存入np元，年利率为.问第n+1年年初他可一次性获得养老金多少元？

　　［分析］　分期存款，应利用“本利和本金×”分段计算.第1年年末存入的p元，到第n+1年年初，逐年获得的本利和构成公比为1+的等比数列，即年的本利和为pn-1；同理，第2年年末存入2p元，…第n年年末存入np元的本利和依次为2pn-2,…,np.

　　［解析］　设此人第n+1年年初一次性获得养老金为Sn元，则Sn=pn-1+2pn-2+…+p1+np,①

　　把等式两边同时乘以1+,得Sn=pn+2pn-1+…+p2+np.②

　　②-①，得Sn=pn+pn-1+…+p-np=-np.

　　所以Sn=.

　　故第n+1年年初他可一次性获得养老金为元.

　　［说明］　“复利计算”就是“利息生利息”，也就是在存款过程中，到约定期时，将上次存款的本利和全部转为下一次的本金.求所有n次的本利和，就转化为求等比数列的前n项和.复利计算是银行常用于定期自动转存业务的方法，在这里也是等比数列在实际问题中的具体应用，体现了数学的应用价值，更是学生对知识的应用能力的体现.复利计算问题不但应用于银行储蓄业务中，在其他经济领域也有应用.

　　变式应用2　某家庭打算在XX年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从XX年年初开始，每年年初存入一笔购房专用款，使这笔款到XX年年底连本带利共有40万元.如果每年的存款数额相同，依年利率2.50％并按复利计算，问每年年初应该存入多少钱？

　　［解析］　设每年年初应存入x万元，那么XX～XX年年底本利和依次为：

　　a1=1.025x,

　　a2=x,

　　a3=x,

　　…

　　a7=x.

　　若这笔款到XX年年底连本带利共有40万元，则有a7=x=40,

　　运用等比数列的前n项和公式，化简得x=≈5.171，

　　所以每年年初大约应存入5.171万元.

　　命题方向　数列在分期付款中的应用

　　［例3］　小陆计划年初向银行贷款10万元用于买房，他选择10年期贷款，偿还贷款的方式为：

分10次等额归还，每年一次，并从贷后次年年初开始归还，若10年期贷款的年利率为4%，且年利息均按复利计算，问每年应还多少元？

　　［分析］　本题属于分期付款模型，如果注意到按照贷款的规定，在贷款全部还清时，10万元贷款的价值与还款的价值总额应该相等，则可以考虑把所有的款项都转化为同一时间来计算.10万元在10年后的价值为10510元.

　　［解析］　设每年还款x元，则第1次偿还x元，在贷款全部付清时的价值为x9;第2次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x8;第10次偿还的x元，在贷款全部付清时的价值为x元，于是有10510=x9+x8+x7+…+x.

　　由等比数列求和公式，得

　　05×1.0410=•x,

　　0410=10≈1.4802.

　　∴x≈≈12330.

　　答：

每年约应还12330元.

　　［说明］　解决分期付款问题的数学方法是等比数列求和，用到的等量关系即分期所付的款连同到最后一次所付款时的利息之和，等于商品售价与从购物到最后一次付款时的利息之和.

　　变式应用3　某工厂为提高产品质量，扩大生产需要大量资金，其中征地需40万元，建新厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及干部工作培训需15万元，流动资金需40万元，该厂现有资金125万元，厂内干部30人，工人180人，干部每人投资4000元，工人每人投资1000元，尚缺少资金，准备今年年底向银行贷款，按年利率9%的复利计算，若从明年年底开始分5年等额分期付款，还清贷款及全部利息，问该厂每年还款多少万元？

　　［解析］　因扩大生产急需的资金共有40+100+60+15+40=255.已知筹集到资金为125+0.4×30+0.1×180=155，资金缺口为255-155=100.设每次向银行还款x万元，则贷款100万元，五年一共还清本金和利息共计1005万元.次还款到第五年年底的本利和为x4万元；第二次还款到第五年年底的本利和为x3万元；第三次还款到第五年年底的本利和为x2万元；第四次还款到第五年年底的本利和为x万元；第五次还款为x万元.由题意得x+x+x2+x3+

　　x4=100×5.即=100×1.095,所以x≈25.7.故该厂每年还款25.7万元.

　　探索延拓创新

　　命题方向　数列在日常生活中其他方面的应用

　　［例4］　甲、乙两人连续6年对某农村养鸡业的规模进行调查，提供了两条不同信息，如图所示.

　　甲调查表明：

由第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.

　　乙调查表明：

由第1年30个养鸡场减少到第6年10个养鸡场.请您根据提供的信息回答：

　　第2年养鸡场的个数及全村出产鸡的总只数；

　　到第6年这个村养鸡业的规模比第1年扩大了还是缩小了？

请说明理由.

　　哪一年的规模最大？

请说明理由.

　　［分析］　审清题意，弄清图甲表示每个养鸡场平均出产鸡的只数，图乙表示该村所拥有的养鸡场的个数.

　　［解析］　由图可知：

第2年养鸡场的个数是26个，每个养鸡场平均出产1.2万只鸡，那么全村出产鸡的总只数是S2=26×1.2=31.2.

　　第1年总共出产鸡的只数是S1=30×1=30；第6年总共出产鸡的只数是S6=2×10=20，由此得出S60,

　　又∵==1+0.

　　∴仅当n≥4时，Bn>An.

　　答：

至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.

　　银行按规定每经过一定时间结算存款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利.现在某企业进行技术改造，有两种方案.甲方案：

一次性贷款10万元，年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：

每年贷款1万元，年便可获利1万元，以后每年比前年多获利5千元，两种方案，使用期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两种方案，哪个获利更多？

　　［解析］　方案甲：

十年获利中，每年获利数构成等比数列，首项为1，公比为1+30%，前10项和为S10=1++2+…+9.

　　所以S10=≈42.62.

　　甲方案净获利42.62-25.94≈16.7.

　　乙方案获利构成等差数列，首项为1，公差为，前10项和为

　　T10=1+++…+

　　==32.50,

　　而贷款本息总数为

　　1+［1++…+9］=1.1+≈17.04,

　　乙方案净获利32.50-17.04≈15.5万元.

　　比较两方案可得甲方案获利较多.