四年级奥数教程第6讲利用等差规律计算.docx
《四年级奥数教程第6讲利用等差规律计算.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《四年级奥数教程第6讲利用等差规律计算.docx(10页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
四年级奥数教程第6讲利用等差规律计算
四年级奥数教程第6讲:
利用等差规律计算
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到三个非常重要的公式:
“通项公式”和“项数公式”跟求总和公式。
求总和公式:
总和=(首项+末项)×项数÷2
第几项公式:
第几项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:
项数=(末项-首项)÷公差+1
【例题1】有一个数列:
4,10,16,22,…,52.这个数列共有多少项?
项数=(末项-首项)÷公差+1
=(52-4)÷6+1
=48÷6+1
=9
【思路】容易看出这是一个等差数列,公差为6,首项是4,末项是52.要求项数,可直接带入项数公式进行计算。
项数=(52-4)÷6+1=9,即这个数列共有9项。
【练习1】
1.等差数列中,首项=1.末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项?
项数=(末项-首项)÷公差+1
=(39-1)÷2+1
=38÷2+1
=20
2.有一个等差数列:
2.5,8,11.…,101.这个等差数列共有多少项?
项数=(末项-首项)÷公差+1
=(101-2)÷3+1
=99÷3+1
=34
3.已知等差数列11.16,21.26,…,1001.这个等差数列共有多少项?
项数=(末项-首项)÷公差+1
=(1001-11)÷5+1
=990÷5+1
=199
【例题2】有一等差数列:
3,7,11,15,……,这个等差数列的第100项是多少?
第几项=首项+(项数-1)×公差
=3+(100-1)×4
=3+99×4
=399
【思路】这个等差数列的首项是3.公差是4,项数是100。
要求第100项,可根据“末项=首项+公差×(项数-1)”进行计算。
第100项=3+4×(100-1)=399.
【练习2】
1.一个等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少?
第几项=首项+(项数-1)×公差
=3+(10-1)×2
=3+9×2
=21
2.求1.4,7,10……这个等差数列的第30项。
第几项=首项+(项数-1)×公差
=1+(30-1)×3
=1+29×3
=88
3.求等差数列2,6,10,14……的第100项。
第几项=首项+(项数-1)×公差
=2+(100-1)×4
=2+99×4
=398
作业:
①熟背公式;②P33页,随堂练习1三题;P36页填空题1~5.作业写在练习本上!
书本不用带!
【例题3】有这样一个数列:
1.2.3.4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路】如果我们把1.2.3.4,…,99,100与列100,99,…,3.2.1相加,则得到(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(99+2)+(100+1),其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加,所得的和就是所求数列的和的2倍,再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=(1+100)×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列,经研究发现,所有的等差数列都可以用下面的公式求和:
等差数列总和=(首项+末项)×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
【练习3】计算下面各题。
(1)1+2+3+…+49+50
(2)6+7+8+…+74+75
(3)100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
【思路】这个数列是等差数列,我们可以用公式计算。
要求这一数列的和,首先要求出项数是多少:
项数=(末项-首项)÷公差+1=(50-2)÷2+1=25
首项=2.末项=50,项数=25
等差数列的和=(2+50)×25÷2=650.
【练习4】计算下面各题。
(1)2+6+10+14+18+22
(2)5+10+15+20+…+195+200
(3)9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
【思路】容易发现,被减数与减数都是等差数列的和,因此,可以先分别求出它们各自的和,然后相减。
进一步分析还可以发现,这两个数列其实是把1~100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列,每个数列都有50个项。
因此,我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减,可得到50个差,再求出所有差的和。
(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
=(2-1)+(4-3)+(6-5)+…+(100-99)
=1+1+1+…+1
=50
【练习5】用简便方法计算下面各题。
(1)(2001+1999+1997+1995)-(2000+1998+1996+1994)
(2)(2+4+6+…+2000)-(1+3+5+…+1999)
(3)(1+3+5+…+1999)-(2+4+6+…+1998)
【例2】计算:
1+11+21+…+1991+2001+2011=
第九届“希望杯”初赛第2题)
分析根据题意可知:
要求本题的和必须先求项数,根据项数
(末项一首项)÷公差+1,可求得项数再根据和=(首项+末项)×项数÷2,可求得和
解项数=(2011-1)÷10+1=201+1=202
1+11+21+…+1991+2001+2011能OE的
=(1+2011)×202÷2
=2012×202÷2
=203212
随堂练习1
计算
(1)1+3+5+…+197+199=
项数=(末项-首项)÷公差+1=(199-1)÷2+1=100
总和=(首项+末项)×项数÷2=(1+199)×100÷2=10000
(2)81+79+…+13+11=
项数=(首项-末项)÷公差+1=(81-11)÷2+1=36
总和=(首项+末项)×项数÷2=(11+81)×36÷2=1656
(3)1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11-12+…+2007-2008+2009-2010+2011=(1+3+5+7+9+……+2011)-(2+4+6+8+10+……+2010)
(1+3+5+7+9+……+2011)=1012036-1011030=1006
项数:
(末项-首项)÷公差+1=(2011-1)÷2+1=1006
总和=(首项+末项)×项数÷2=(1+2011)×1006÷2=1012036
(2+4+6+8+10+……+2010)=1011030
项数:
(末项-首项)÷公差+1=(2010-2)÷2+1=1005
总和=(首项+末项)×项数÷2=(2+2010)×1005÷2=1011030
【例3】编号是1,2,3,…,36的36名同学按编号顺序面向里站成一圈.第1次,编号是1的同学向后转;第2次,编号是2、3的同学向后转;第3次,编号是4、5、6的同学向后转……第36次,全体同学向后转,这时,面向里的同学还有几名?
1+2+3+4+5+……+36=(首项+末项)×项数÷2=(1+36)×36÷2=666(次)
666÷36=18(次)……18
36-18=18人
分析根据题意可知:
第1次向后转1个人,第2次向后转2个人,第3次向后转3个人……第35次向后转35个人.这时,向后转的同学总数为:
1+2+3+…+35=(1+35)×35÷2=630(名)
可是,学生只有36名,所以630÷36=17………18.这说明每个学生向后转了17次后,各有18名同学面向里、面向外
解1+2+3+…+35=(1+35)×35÷2=630(名)
630÷36=17(次)…。
·…18(名)
这时,面向里的同学还有18名.
第36次,全体同学向后转,这时,面向里的同学仍然是18名.了
【例4】某体育馆西侧看台有30排座位,后面一排都比前面一排多2个座位,最后一排有132个座位,体育馆西侧看台共有多少个座位?
项数:
30;末项:
132;公差:
2
第几项:
末项=首项+(项数-1)×公差
132=首项+(30-1)×2,首项=132-58=74
总和=(首项+末项)×项数÷2=(74+132)×30÷2=3090
分析要求这30个数的和,必须知道第一排的座位数,而最后一
排座位数是由第一排座位数加上(30+1)×2得出来的,这样就可
以求出第一排的座位数.“
解第一排座位数为子限的年:
意原得
(30-1)
12-58-74(个),÷(首一页末)
所以
(74+132)×30÷2=206×30÷2=3090(个
答西侧看台共有3090个座位.
随堂练习2
(1)按一定规律排列的算式:
4+2,5+8,6+14,7+20,8+26…,那么第100个算式是什么?
第几项:
末项=首项+(项数-1)×公差
作业:
P35页:
随堂练习3:
1,2两题;P37页:
选择题7,8,9,10全写,简答题:
11,12,14,15
【例5】学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他
选手赛1场
(1)若有20人参赛,那么一共要进行多少场选拔赛?
19+18+17+16+……+1=(首项+末项)×项数÷2=(19+1)×19÷2=190(场)
(2)若一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78
12+1=13人
分析设20个选手分别是
A1,A2,A
顺序分析比赛场次
A20,我们从选手A1开始按
A1必须和A2,A3,A4,…,A20这19人各赛1场,共计19场;诗
得A2已和A1赛过,他只需和A3,A4,A5,…,A2这18名选手各赛1场,共计18场;
A3已和A1,A2赛过,他只需与A4,A5,A6,…,A20这17名选手各赛1场,共计17场
依次类推,最后,A只能和A20赛1场
然后对各参赛选手的场次求和即可.
解
(1)这20名选手一共需赛
19+18+17+…+2+1=(19+1)×19÷2=190(场)
(2)设参赛选手有n人,则比赛场次是
平,
平是
去1+2+3+…+(n-1),长一民不
根据题意有
平1的不
1+2+3+…+(n-1)=78
经过试验可知
1+2+3+….羊12=78,
(“:
于是
n-1=12,n2=13
所以,一共有13人参赛
说明
(1)也可这样想:
20人每人都要赛19场,但“甲与乙”、“乙与甲”只
能算一场,因此,共进行20×19÷2=190(场)比赛.曾5所次:
米资
(2)采用了试验法,这是一种很实用的方法,希望同学们能熟练掌握.
随堂练习3
(1)有12个同学聚会,如果见面时每个人都和其余的人握手1次,那么一共握手多少次?
1+2+3+4+5+……+10+11=66次
项数:
(末项-首项)÷公差+1=(11-1)÷1+1=11
总和=(首项+末项)×项数÷2=(1+11)×11÷2=66
(2)聚会结束时,统计出一共握手36次,如果参加聚会的每个人都和其他人握手1次,问:
有多少人参加聚会?
36=1+2+3+4+5+6+7+8
8+1=9人
填空题
1、0+1+2+……+100+101=
项数=(末项-首项)÷公差+1=(101-1)÷2+1=51
总和=(首项+末项)×项数÷2=(1+101)×51÷2=5151
2、2+5+8+……+299=
项数=(末项-首项)÷公差+1=(299-2)÷3+1=100
总和=(首项+末项)×项数÷2=(2+299)×100÷2=15050
3、(7+9+11+…+23+25)-(5+7+9+11+…+23)=160-140=20
(7+9+11+…+25)=160
项数=(末项-首项)÷公差+1=(25-7)÷2+1=10
总和=(首项+末项)×项数÷2=(7+25)×10÷2=160
(5+7+9+…+23)=140
项数=(末项-首项)÷公差+1=(23-5)÷2+1=10
总和=(首项+末项)×项数÷2=(5+23)×10÷2=140
4、在1~100这100个自然数中,能被3整除的数的和是:
3+6+9+12+……+99=1683
项数=(末项-首项)÷公差+1=
总和=(首项+末项)×项数÷2=
5、1-2-3+4+5-6-7+8+9-10-11+12+…+1997-1998-1999+2000=0
6、现有10个盒子,用下面方法往盒中装小球儿:
第1个盒装1个,第2个盒装4个,第3个盒装7个………照这样的装法,则将10个盒都装完,共需几个小球.
三、选择题
(⑦)将下面两个式子的结果进行比较,得到的结论是(A)
(1)(2+4+6+…+100)-(1+2+3+…·+48+49+50);
(2)(1+3+5+…+99)-(50+49+48+…+3+2+1)
(A)
(1)式比
(2)式多50
(B)
(2)式比
(1)式多50
(C)
(1)式等于
(2)式
(D)以上答案都不对
(8如果1,a2,a3,a4,25组成等差数列,那么a3是(B)
(A)11
(B)13
(C)15
(D)175
第几项:
末项=首项+(项数-1)×公差
25=1+(5-1)×公差公差=6
(9有一本书共169页,小明第一天看了1页,以后每天都比前一天多看2页,则看完这本书需用()试数法
(A)12天
(B)13天
(C)14天
(D)29天
1+3+5+7+9+11+13+15+17+19+21+23+25=169
(25-1)÷2+1=13
10某班共买来66本课外书,把它们分别放在书架上,每次摆放都是下面层比上面一层多放1本书,则至多要放的层数为(C)
(A)9
(B)10
(C)11
D)12
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66
简答题
1计算:
880-3-6-9-…-57
=880-(3+6+9+12+15+……+57)
=880-570=310
3+6+9+12+15+……+57=(3+57)×19÷2=570
项数:
(57-3)÷3+1=19
2
(1)所有两位偶数的和是多少?
10+12+14+16+18+……+96+98=(10+98)×45÷2=2430
项数:
(98-10)÷2+1=45
(2)所有除以3余2的两位数的和是多少?
11+14+17+20+23……+95+98=(11+98)×30÷2=1635
项数:
(98-11)÷3+1=30
13已知数列5,7,1117,,按照前几项的规律,写出该数列的第
项
14小青蛙沿着台阶往上跳,每跳一次都比上一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳,这一处称为小青蛙的第一个落脚点,如果它的第100个落脚点正好在台阶尽头的亭子内,那么这个亭子距地面多少厘米?
末项:
10+(100-1)×4=406厘米
15时钟一点敲1下,两点敲2下,依次类推,十二点时敲12下,半点时敲1下。
(1)从1点到5点共敲多少下?
1点:
1;2点:
2;3点:
3;4点:
4;5点:
5;
1点半:
1;2点半:
1;3点半:
1;4点半:
1;
15+4=19下
(2)一昼夜共敲多少下?
整点:
1点:
1;2点:
2;3点:
3;4点:
4;5点:
5;……12点,12;1+2+3+4……+12=78次
半点:
0点半:
1;1点半:
1;2点半:
1;3点半:
1;4点半:
1;……11点半,1;一共12次
78+12=90次
一昼夜共敲:
90×2=180次
作业:
P40:
随堂练习1
(1),
(2),P41随堂练习2:
1题;P45页练习题:
1,2,3,4,11