最新鲁教版五四制九年级数学上册《抛物线对称性复习》教学设计评奖教案.docx
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最新鲁教版五四制九年级数学上册《抛物线对称性复习》教学设计评奖教案
鲁教版数学九年级上册第三章《二次函数》
抛物线对称性专题复习
一、课标要求
会画出二次函数的图象，找出它的对称轴，并利用二次函数的对称性解决实际问题.
二、学习目标
1.结合二次函数的图象，回顾二次函数对称性的基本性质，会借助对称轴求出对称点的坐标；结合与一元二次方程的关系，灵活运用对称性，由对称点求出对称轴.经历这一学习过程，体会“数形结合”思想在数学学习过程中的重要性.
2.在掌握二次函数对称性基本性质的基础上，能够利用该性质解决一些复杂的数学问题——分析函数值的大小以及求线段和差最值的问题.将复杂的数学问题转化为用基本的数学知识来解决问题，学会用“类比”“转化”的思想来分析问题，以提高解决问题的能力.
三、教材分析
二次函数这一章，是继一次函数、反比例函数之后对函数知识的进一步学习.它是初中阶段函数学习的难点，也是中考数学中的重点。
这一章的知识点很杂、很多，在中考数学中占有举足轻重的地位。
所以，在复习阶段，教师需要将这些杂而多的知识点串成一个个紧密联系的“小体系”，进行必要的专题复习，便于学生掌握各个知识的联系，提高解决综合问题的能力。
“二次函数的对称性”是这一章的关键所在.它是研究二次函数图象性质中的重要性质，是后面确定二次函数表达式、解决二次函数应用问题的“金钥匙”.所以，我将本节课的学习重点定为：
掌握并能灵活应用二次函数的对称性解决相应的数学问题.
四、学情分析
对于抛物线的对称性这一基本性质学生比较熟悉，运用抛物线对称性解决对称点坐标的问题是比较轻松的.但复习时，不能简单的局限于抛物线对称性的单一运用，需要链接中考，对这一知识点与其他知识相结合，进行综合运用。
而学生缺少的就是综合分析问题、解决问题的能力.所以我将本节课的学习难点定为：
通过运用抛物线的对称性,解决复杂的数学问题.
五、评价设计
1.通过环节一、二实现目标一的达成.
2.通过环节二、三实现目标二的达成.
六、教学过程
（一）复习对称性温故而知新
【自主练习回顾旧知】
（1）抛物线的对称轴为x=1，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（
，0），则A点坐标是.
（2）抛物线顶点坐标为（0,4），与x轴的一个交点是M（—2,0），则与x轴的另一个交点是.
（3）抛物线
经过点A（—2，7），B（6,7），C（3，—8），该抛物线上纵坐标为—8的另一个点坐标为.
（4）抛物线
对称轴x=2，且过点A（3,0），则
=.
【处理方式】这4道题给学生5分钟的时间自主练习，然后小组交流答案，互助解决问题.
师：
从这组练习中，你都采用什么方法来解决问题？
你有没有发现它们有什么共性？
引导学生通过画出二次函数图象，分析出对称轴与对称点的关系.初步归纳抛物线对称性的基本性质：
由对称轴可以求出对称点；由对称点可以求出对称轴.体会抛物线对称性在实际问题中的简单应用.
2.全班交流引申总结
（1）抛物线
与x轴交于A（
，0），B（
0），则对称轴是.
（2）抛物线
上有两个不同的点（
，
），（
）.若
=
，则对称轴是.
【处理方式】
给学生独立思考的时间，自主完成.然后全班交流，其他同学可以给予补充.教师可以适时的进行问题引领：
可以运用前面的“图象法”来解题吗？
你是怎么分析的？
你还有别的方法吗？
给学生2分钟的时间整理思路，补充解题过程.
【设计意图】：
这个环节的练习比较基础，但包含的类型比较全面.第一题已知二次函数的对称轴求出对称点；第二题已知二次函数顶点坐标求出对称点；第三题先由一组对称点找到对称轴，然后再由对称性求出另对对称点；第四题由对称轴找到对称点，然后求出代数式的值.让学生既复习了抛物线对称性的基本性质，又对其进行了灵活的应用.为后面归纳出由对称点横坐标求出对称轴的公式做好铺垫.在总结归纳公式的过程中，引导学生“从形入手”，结合图象分析问题，体会数形结合思想“从数入手”，将函数问题转化为方程问题，体会二次函数与一元二次方程间的联系.
【问题应对】这组练习题是二次函数对称性基本性质的一个综合运用.每道题都有不同的考点，但都可以用共同的解题方法.引导学生通过画草图的形式，数形结合，达到直观的分析解决问题的目的.第一题中，点的坐标带有根号可能会给学生带来困难，首先通过画草图找到对称轴以及已知点的坐标，然后利用对称点到对称轴的距离相等，找到另一个对应点.在这里给学生渗透“对称点到对称轴的距离相等”，为“引申总结”做好铺垫.
第2题的这两个练习是对上面一组习题的归纳总结，所以有了上面四道题的铺垫，学生应该会想到用图象法来分析问题，但可能想不到用二次函数与一元二次方程的关系来思考问题.如果学生在解决问题的过程中遇到困难，就从第一题入手，引导学生将y=0带入解析式中，借助方程来分析问题，然后将方法迁移到第二题，从而归纳出由对称点横坐标求出对称轴的公式.
（二）巧用对称性，分析函数值
1.运用对称性解决下列问题
（1）抛物线
，与x轴交于A（
，0），B（3,0）线段AB的长度为.
抛物线,若y＞0，则x取值范围.
若y＜1，则x取值范围.
（2）二次函数
的图象上有三个点，（-1，
），（
，
），（
，
），则
，
，
的大小关系是.
（3）抛物线
部分点的横坐标x，纵坐标y的的对应如下，从表可知：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
下列说法：
抛物线与x轴的另一个交点（3,0），
函数的最大值为6，
抛物线的对称轴是直线
，
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，正确的有.
【处理方式】这个环节给学生充足的时间自主练习，教师巡视指导，收集信息。
做的快的学生鼓励他们尝试解决快手园地的问题。
然后全班交流答案，发现问题，解决问题.
快手园地1：
直线
与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，抛物线
（a≠0）过A、B、C三点
（1）求抛物线的表达式.
（2）求
.
（3）抛物线上是否存在点P使△ABP为直角三角形.
（4）抛物线上是否存在点M，使
=
.
2.全班交流，总结对称性在解决这一类问题中的作用.
【处理方式】
教师提出问题：
对与刚才同学的答案你有没有什么不同意见？
你还不同的方法吗？
通过这部分练习，在今后的做题过程中需要注意哪些问题？
【设计意图】将抛物线的对称性与函数值的分析相结合，让学生初步感受到对称性在解题问题过程中的作用，灵活应用抛物线的对称性，将复杂的数学问题转化为简单的对称点的问题，以达到解决问题的目的.为下个环节的综合应用做好铺垫.
【问题应对】这组习题是对抛物线对称性的进一步应用，其实更是二次函数图象的巩固应用.特别是第二题，不少学生可能会将三个点的横坐标带入求出对应的纵坐标，从而比较函数值y的大小.如果遇到这种情况我会将抛物线表达式中的c的数值换成字母，这样学生们刚才代入求值的做法就行不通了，引导学生画出抛物线的草图，利用抛物线的对称性，寻找所需的对称点，找到对应的函数值，从而达到分析解决问题的目的.
（三）巧用对称性，求线段和与差
1.典例分析
抛物线
与x轴分别交于A、B两点（A在B左侧），点Q（2，m）是抛物线上一点，点P是对称轴上一点，求线段PQ+PB的最小值及此时P点坐标.
【处理方式】
先给学生5分钟左右的时间独立思考，教师巡视，收集信息.然后小组交流，针对个别学生进行辅导，最后全班交流，找学生到大屏幕前画图讲解他的思考及解题方法.
教师提出问题：
为什么要找B（Q）点关于对称轴的对称点呢？
能不能找Q（B）的对称点呢？
为什么要做关于对称轴的对称点呢？
如果点P在y轴上又该怎样做？
【设计意图】其实求两条线段的和最小这一数学问题，学生在初二学习轴对称图形时已经涉猎过了.基本的思考方向学生已经了解.在这里再一次出现，并且和二次函数的对称性结合在一起，需要利用抛物线的对称性找到对称点，解决问题.初步感知数学知识的内在联系.
【问题应对】在全班交流方法之后教师进行总结提升，鼓励学生大胆尝试，可以在对称轴上先任取一点P，连接PQ和PB，然后分析满足什么条件下PQ+PB的值最小，思考这与抛物线的对称性有何联系？
引导学生利用对称性找到对称点，将“折线”转化成“线段”，结合“两点之间线段最短”这一公理，从而解决这道问题.
师:
刚才我们用抛物线对称性解决了如何求两线段和最小的问题，那么我把问题变一下，求两条线段差最大，还可以用对称性来解决吗？
2.变式训练
（1）抛物线
与x轴分别交于A、B两点（A在B左侧），对称轴上是否存在一点P，使|PB-PC|值最大，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.
【处理方式】
学生独立思考之后，小组交流，互助解决问题.必要的时候教师适当的讲解引领.
教师问题引领：
求两条线段的差与求两条线段的和，这两个问题之间有什么区别？
又有什么联系？
上一道题的解题方法在这道题中好使吗？
二次函数的对称性在解决这个问题中有什么作用？
【设计意图】将例题进行第一次变式，将求两条线段“和”的问题变成求两条线段“差”的问题.将这两道题进行数学知识和方法的类比，从而更深的体会到“二次函数的对称性”在解决问题中的作用.
【问题应对】有了上一题的分析方法，这道题学生应该会有思考的方向，能够尝试找到点P，可是什么时候|PB-PC|值最大，需要学生小组合作交流解决。
这道题相比“和”的问题来说有些难度，集体交流时，引导学生思考对称性在这道题中的作业，尝试用对称性将线段PB转化为线段PA，即求|PB-PC|的值就是求|PA-PC|的值，然后在△PAC中运用三角形的三边关系进行解题.
师:
运用抛物线的对称性可以解决两条线段的和差最值的问题,那如果变成求三条线段的和的最小值,可以解决吗?
（2）抛物线
与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A、C两点的坐标分别是（—1,0），（—4,3）,
（1）求抛物线表达式.
（2）点D是
（1）中的抛物线的对称轴上一动点，若△BCD的周长最小，求点D的坐标.
快手园地3：
若点E是
（1）中的抛物线上一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及点E的坐标.
【处理方式】
学生先独立思考，争取独立解决问题.教师根据学生掌握情况，可以找几个具有代表性的学生讲解自己的做法，帮助无法解决问题的学生找到突破口.
给学生3到5分钟，对前面做的题进行梳理，反思、总结解决这类题的方法，整理好做题步骤.
【设计意图】在例题的基础上再一次变式，把求两条线段和的问题变成求三条线段的和.目的是让学生在一系列的变式中感受各个题目之间的联系与区别，学会用“类比”“转化”的数学思想分析问题，从而达到灵活的应用“二次函数的对称性”解决问题的目的.
【问题应对】有了前两题的分析做基础，这道题学生做起来难度不是很大。
不过仍然要为学生点明，在运动或变化问题的分析中，注意始终不变的量，这样就把三条线段的和转化为两条线段的和的问题来解决，感受到如何将所求的复杂问题转化为其他简单的问题来分析，以达到解决问题的目的.
（四）盘点收获归纳方法
小结如何用抛物线的对称性解决综合问题：
1、找到满足条件的部分点.
2、通过对称性写出满足条件的全部点.
3、根据具体问题，借助对称性的分析结果，优化解题过程.
【设计意图】通过师生、生生的再一次交流，引导学生反思.谈谈自己在本节课的收获与体会.同时让其他同学或教师及时有效的给予补充．这样既培养学生的归纳能力和语言表达能力，养成善于反思的好习惯，又能便于将本节课所学到的解决问题的思想方法内化吸收，从提高数学的分析能力和思维能力.
（五）课后延伸巩固成果
1.二次函数
，与x轴、y轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点C关于对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴和y轴上，四边形EDFG周长的最小值是多少？
2.抛物线与y轴交于点A（0，-3），与x轴交于点B（-1,0），C（3,0）两点，动点P自（0，-1）出发，先到x轴上某点（设为点E），再到抛物线对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求最短路径的长.
【设计意图】：
求“最值”是二次函数应用的重点，而求“几条线段的和或差”的最值是其中的一种类型.解决这类问题需要用抛物线的对称性，找到对称点，连接相应的点，将所求的两条或三条或四条线段转化为“一条线段”的长度.在转化的过程中，需要将“线”的问题转化为“点”的问题，用对称性将复杂的问题转化为简单的问题，从而找到解决问题的突破口.通过这组作业，继续深化本节课的知识与方法，灵活应用抛物线对称性，提高分析问题和解决问题的能力.
【板书设计】
二次函数的对称性
一般式：
对称轴：
顶点横坐标分析函数值
直线
对称点线段和与差
图象一元二次方程
（形）（数）
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