中考数学三种基础函数题型集锦.docx
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中考数学三种基础函数题型集锦
2022年中考数学三种基础函数题型集锦
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：
BC＝3：
2，点A（﹣3，0），B（0，6），反比例函数
的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为 ．
2．在平面直角坐标系中，已知点A（1，4），B（﹣1，0），C（0，2），抛物线y＝ax2+bx+3经过A，B，C三点中的两点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M（m，n）为
（1）中所求抛物线上一点，且0＜m＜4，求n的取值范围；
（3）一次函数y＝（k﹣1）x﹣3k+3（其中k≠1）与
（1）中所求抛物线交点的横坐标分别是x1和x2，且x1＜﹣1＜x2，请直接写出k的取值范围．
3．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象过（﹣2，0），（4，0）．
（1）求二次函数解析式；
（2）求当﹣1≤x≤5时函数值的取值范围；
（3）一次函数y＝（3+m）x+6+2m的图象与y＝x2+bx+c的交点的横坐标分别是x1，x2，且x1＜5＜x2，求m的取值范围．
4．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过A（﹣4，0），C（2，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，点B是抛物线与y轴交点．判断有几个位置能够使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
5．已知二次函数y＝ax2+4ax+b与x轴交于A，B两点（其中A在B的左侧），且AB＝2．
（1）抛物线的对称轴是 ；
（2）求点A和点B坐标；
（3）点C坐标为（﹣2.5，﹣4），D（0，﹣4）．若抛物线y＝ax2+4ax+b与线段CD恰有一个交点，求a的取值范围．
6．如图，已知抛物线y＝
x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且OA＝1，OC＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是抛物线在第一象限内的一点，且tan∠EOB＝1，求点E的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得△PBE为等腰三角形？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
7．已知抛物线y＝mx2+2mx+m2﹣2．
（1）求此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线的顶点在直线y＝2x+6上，求抛物线的解析式；
（3）若点A（a，yA）与点B（3，yB）在此抛物线上，且yA＜yB，求a的取值范围．
8．如图，直线l和抛物线y＝ax2+bx+c相交于A、B两点，已知A（2，0）、B（0，﹣2），且该抛物线的对称轴是直线x＝
，点C是第四象限内抛物线上的一个动点，点C的横坐标为m．
（1）分别求直线l和抛物线的函数表达式；
（2）过点D作CD⊥l，垂足为D，求出当m为何值时，线段CD有最大值，最大值是多少？
9．某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后，对函数y＝﹣x3+3x的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
x
…
﹣2
﹣
﹣1
﹣
0
1
2
…
y
…
2
m
﹣2
﹣
0
n
﹣2
…
表中m＝ ；n＝ ．
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中补全该函数图象，并写出该函数的一条性质．
（3）若函数y＝﹣x3+3x的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三个点，且﹣1＜x1＜x2＜x3＜1，则y1，y2，y3之间的大小关系为 （用“＜”连接）
（4）若方程﹣x3+3x＝k至少有两个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．
10．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣4|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数xy的几组对应值列表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
其中，m＝ ．
（2）根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了该函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣4|x|＝0有 个实数根；
②方程x2﹣4|x|＝2有 个实数根；
③关于x的方程x2﹣4|x|＝α有4个实数根时，a的取值范围是 ．
11．一次数学课上，某同学根据学习函数的经验，对函数y＝
的图象及其性质进行了探究．下面是其探究过程，请补充完整，并利用图象解决问题．
（1）列表如下：
x
…
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
0.6
1.5
n
1.5
0.6
0.3
…
其中m＝ ，n＝ ．
（2）在表中各对x与y的对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并画出该函数的大致图象．
（3）结合函数图象，求y的最大值为 ．
（4）若关于x的方程
＝3a﹣2无解，请写出a的取值范围．
12．某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣2.5
﹣2
﹣1
0
1
2
2.5
3
…
y
…
3
1.25
m
﹣1
0
﹣1
0
1.25
3
…
其中，m＝ ．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出1条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|＝0有 个实数根；
②方程x2﹣2|x|＝2有 个实数根．
③函数y＝x2﹣2|x|的图象与y＝a有至少有3个交点时，a的取值范围是 ．
13．如图，抛物线y＝x2+2x+c与x轴的正半轴交于点B，与x轴的负半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点C，且OA＝2OB．
（1）抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）将其图象在A，C之间的部分（含A，C两点）记为G，若二次函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象与G只有一个公共点，求m的取值范围．
14．小亮在学习完一次函数，反比例函数，二次函数后，从中心对称的角度思考函数图象上的点，发现所有的反比例函数图象上都存在不同的两点关于原点对称，经过探究，小亮发现一些一次函数、二次函数图象上也存在不同的两点关于原点对称
（1）下列给出的一次函数中，其图象上存在不同的两点关于原点对称的是 ；
①y＝﹣2x；②y＝x﹣3；③y＝2x；④y＝﹣2x+3．
（2）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4a（a＞0）的图象上存在不同的两点A（m，﹣m）与B关于原点对称，其中m＞0．
①求m及b的值；
②点C是该二次函数图象上点A，B之间的一个动点（含端点A，B），若点C的纵坐标t最小值为﹣5a，求此二次函数解析式．
15．已知如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A和点C（2，0），与y轴交于点D，将△DOC绕点O逆时针旋转90°后，点D恰好与点A重合，点C与点B重合，
（1）直接写出点A和点B的坐标；
（2）求a和b的值；
（3）已知点E是该抛物线的顶点，求证：
AB⊥EB
16．已知：
如图，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点B（6，0），C（﹣2，0），与y轴交于点A，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）如图，连接PA、PB．设△PAB的面积为S，点P的横坐标为m．请说明当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？
若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式及对称轴．
（2）在抛物线上任取一点M，过点M作MN∥x轴，且四边形ABMN为平行四边形，在线段MN上任取一点P，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，记点Q的纵坐标为yQ.当点M到抛物线对称轴的距离不超过1个单位长度时，求yQ的取值范围．
18．小明学习了函数有关知识后，利用学到的方法对函数y＝
进行了如下的研究：
列表：
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
n
0
﹣1
…
其中m＝ ，n＝ ．
描点：
在平面直角坐标系中，以自变量x的值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示；
1．描点并补全函数的图象；
2．结合函数图象回答下列问题：
（1）该函数存在最 值（填“大”或“小”），最值是 ；
（2）观察函数图象，写出y随x的增大而变化的情况：
；
（3）若直线y＝kx+b经过点（2，0），且与y＝
的图象围成封闭的图形，当封闭图形内整点（点的横、纵坐标都为整数）只有4个时（不包括边界），直接写出b的取值范围．
19．在函数的学习中，我们经历“确定函数表达式﹣﹣画函数图象﹣﹣利用函数图象研究函数性质﹣﹣利用图象解决问题”的学习过程，画函数图象时，我们常通过描点或平移或翻折的方法画函数图象，请根据你学到的函数知识探究函数y1＝
的图象与性质并利用图象解决如下问题：
列出y1与x的几组对应的值如表：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
m
0
1
2
1
0
n
…
（1）根据表格中x、y的对应关系可得m＝ ，n＝ ；
（2）用你喜欢的方式画出该函数图象：
根据函数图象，写出该函数的一条性质：
；
（3）直接写出当函数y1的图象与直线y2＝kx+1有三个交点时，k的取值范围是 ．
20．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣2+3a2．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）当a＞0时，若A（m﹣1，y1）、B（1，y2）、C（m+2，y3）为该抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，请结合图象直接写出m的取值范围．
21．已知抛物线y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．
（1）该抛物线的对称轴为 ；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
（3）设点M（m，y1），N（2，y2）在该抛物线上，若y1＞y2，求m的取值范围．
22．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；
（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．
23．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）该抛物线有一点D（x，y），使得S△ABC＝S△DBC，求点D的坐标．
24．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧．
（1）请求出抛物线对称轴和点A、B的坐标；
（2）已知点M（﹣1，1）、N（4，6a﹣2），且抛物线与线段MN只有一个公共点，请求出a的取值范围．
25．已知抛物线y＝ax2+bx+3a与y轴交于点P，将点P向右平移4个单位得到点Q，点Q也在抛物线上．
（1）抛物线的对称轴是直线x＝ ；
（2）用含a的代数式表示b；
（3）已知点M（1，1），N（4，4a﹣1），抛物线与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围．
26．已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3．
（1）若该抛物线与x轴交于A，B两点，点B在点A的右侧，且有OB＝3OA，求该抛物线的解析式；
（2）若点P（p，y1），Q（5，y2）在抛物线上，且y1＜y2，求P的取值范围．
27．已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（3，2），且过点（0，11）．
（Ⅰ）求抛物线的解析式；
（Ⅱ）将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移m（m＞0）个单位长度后得到新抛物线．
①若新抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且OB＝3OA，求m的值；
②若P（x1，y1），Q（x2，y2）是新抛物线上的两点，当n≤x1≤n+1，x2≥4时，均有y1≤y2，求n的取值范围．
28．有这样一个问题：
探究函数
的图象与性质并解决问题．
小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）函数
的自变量x的取值范围是x≠2；
（2）取几组y与x的对应值，填写在下表中．
x
…
﹣4
﹣2
﹣1
0
1
1.2
1.25
2.75
2.8
3
4
5
6
8
…
y
…
1
1.5
2
3
6
7.5
8
8
7.5
6
3
m
1.5
1
…
m的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象；
（4）获得性质，解决问题：
①通过观察、分析、证明，可知函数
的图象是轴对称图形，它的对称轴是 ；
②过点P（﹣1，n）（0＜n＜2）作直线l∥x轴，与函数
的图象交于点M，N（点M在点N的左侧），则PN﹣PM的值为 ．
29．数学学习小组根据函数学习的经验，对一个新函数
的图象和性质进行了如下探究：
（1）列表，下表是函数y与自变量x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
3
4
…
y
…
﹣4
﹣6
﹣10
6
2
0
m
…
请直接写出自变量x的取值范围 ，a＝ ，m＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出上表中各对对应值为坐标的点（其中x为横坐标，y为纵坐标），并根据描出的点画出函数的图象；
（3）观察所画出的函数图象，写出该函数的性质 ．（写出一条性质即可）
30．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
31．在平面直角坐标系xOy中，A（1，m）和B（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．
（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的解析式；
（2）若A、B两点关于对称轴对称，点（﹣1，y1），（1，y2），（4，y3）在该抛物线上，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．
（3）若该抛物线的对称轴为x＝﹣1，求m，n满足的等量关系．
32．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）被x轴截得的线段长度为4．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）求c的值（用含a的式子表示）；
（3）若点M（x1，3），N（x2，3）为抛物线上不重合两点（其中x1＜x2），且满足x1（x2﹣5）≤0，求a的取值范围．
33．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣2，1），（2，﹣3）两点．
（1）求b的值；
（2）当c＞﹣1时，该函数的图象的顶点的纵坐标的最小值是 ．
（3）设（m，0）是该函数的图象与x轴的一个公共点．当﹣1＜m＜3时，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．
34．已知二次函数y＝x2+bx+2b（b是常数）．
（1）若函数图象过（1，4），求函数解析式；
（2）设函数图象顶点坐标为（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数关系式；
（3）若函数图象不经过第三象限时，当﹣5≤x≤3时，函数的最大值和最小值之差是20，求b的值．
35．已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．
36．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）．
（1）抛物线的对称轴为 ，抛物线与y轴的交点坐标为 ；
（2）试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1（a＜0）一定存在两个交点；
（3）若当﹣2≤x≤2时，y的最大值是1，求当﹣2≤x≤2时，y的最小值是多少？
37．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣4ax+4．
（1）抛物线的对称轴是直线x＝ ；
（2）若抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的解析式；
（3）若a＞0，对于抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥4时，均满足y1≤y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．
38．已知抛物线y＝ax2﹣6ax+1（a＞0）．
（1）若抛物线顶点在x轴上，求该抛物线的表达式．
（2）若点A（m，y1），B（m+4，y2）在抛物线上，且y1＜y2，求m的取值范围．
39．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A（4，
），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝ ，点C的坐标为 ；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．
40．如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A（4，3），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）求m的值和点C的坐标；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，交x轴于点F．求当△ODE面积为6时，点E的坐标．
41．如图，已知反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（3，3），过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F，一次函数y＝mx+n的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC＝
OD，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在
（1）的条件下，连接BE，求△ABE的面积；
（3）若BC∥AE，请直接写出BC的长．
42．如图，已知函数y＝
（x＞0）的图象经过点A、B，点B的坐标为（2，2）．过点A作AC⊥x轴，垂足为C，过点B作BD⊥y轴，垂足为D，AC与BD交于点F．一次函数y＝ax+b的图象经过点A、D，与x轴的负半轴交于点E．
（1）若AC＝2OD时，
①直接写出点A坐标 ，四边形ADCB是 形
②求a、b的值；
（2）若EC＝3DB，求a的值．
43．已知如图：
点（1，3）在函数y＝
（x＞0）的图象上，矩形ABCD的边BC在x轴上，E是对角线BD的中点，函数y＝
（x＞0）的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为m，解答下列问题：
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标；（用含m代数式表示）
（3）当∠ABD＝45°时，求m的值．
44．如图，直线y＝2x+2与坐标轴分别交于点A，B，与双曲线y＝
在第一象限内交于点C（a，4a），过点C作CD⊥y轴于点D．
（1）双曲线的解析式为 ．
（2）在y轴上是否存在点M，使△MAB与△BCD相似？
若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）直接写出一个一次函数，使其图象过点（0，﹣3），且与双曲线y＝
没有交点．
45．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，四边形ABCD是正方形，双曲线y＝
（x＞0）在第一象限经过点D．
（1）求点D的坐标及双曲线的解析式；
（2）将正方形ABCD沿x轴向左平移多少个单位长度时，点C的对应点恰好落在
（1）中的双曲线上？
（3）设
（2）中C点对应点为C′，设直线C′D的解析式为y1，双曲线的解析式为y2，当x＞0时，直接写出当y2＞y1时x的取值范围．
46．如图，直线y＝kx﹣2与x轴、y轴分别交于C、D两点，与双曲线y＝
在第一象限内交于点P，过点P作PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，已知B（0，4）且S△DBP＝27
（1）直接写出直线的解析式 ，双曲线的解析式 ；
（2）设点Q是直线y＝kx﹣2上的一点，且满足△DOQ的面积是△COD面积的2倍，请求出点Q的坐标．
47．如图，正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝
（x＞0）的图象交于点A（1，a），在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点C坐标为（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）求AB所在直线的解析式．
48．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝
图象的一个交点为P（1，m）．
（1）求m的值；
（2）若PA＝2AB，求k的值．
49．如图，反比例函数y＝
的图象与一次函数y＝mx+n的图象相交于A（a，﹣1），B（﹣1，3）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点C，点N（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝
的图象于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，求t的取值范围．
50．如图，△AOB中，∠ABO＝90°，边OB在x轴上，反比例函数y＝
（x＞0）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，S△AOB＝12，AN＝
．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的解析式．
51．为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：
甲商店：
所有商品按标价8折出售；
乙商店：
一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折．
设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买应付y甲元，去乙商店购买应付y乙元，其函数图象如图所示．
（1）分别求y甲、y乙与x的关系式；
（2）两
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