第二讲 函数的极限典型例题编辑版.docx

第二讲 函数的极限典型例题编辑版.docx

《第二讲 函数的极限典型例题编辑版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二讲 函数的极限典型例题编辑版.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第二讲函数的极限典型例题编辑版

第二讲函数的极限

一内容提要

1.函数在一点处的定义

使得，有.

右极限

使得，有.

左极限

使得，有.

注1同数列极限一样，函数极限中的同样具有双重性．

注2　的存在性（以为例）：

在数列的“”定义中，我们曾经提到过，的存在性重在“存在”，而对于如何去找以及是否能找到最小的无关紧要；对也是如此，只要对给定的，能找到某一个，能使时，有即可．

注3　讨论函数在某点的极限，重在局部，即在此点的某个空心邻域内研究是否无限趋近于．

注4　．

注５　，有，称为归结原则――海涅（Heine）定理．它是沟通数列极限与函数极限之间的桥梁．说明在一定条件下函数极限与数列极限可以相互转化．因此，利用定理必要性的逆否命题，可以方便地验证某些函数极限不存在；而利用定理的充分性，又可以借用数列极限的现成结果来论证函数极限问题．（会叙述，证明，特别充分性的证明．）

注6　，，有．

2　函数在无穷处的极限

设在上有定义，则

使得，有．

使得，有．

使得，有．

注１　．

注２　，有．

３　函数的有界

设在上有定义，若存在一常数，使得，有，则称在上有界．

４　无穷大量

使得，有．

使得，有．

类似地，可定义，，，等．

注　若，且和，使得，有，则．

　　特别的，若，，则．

５　无穷小量

若，则称当时为无穷量．

注1可将改为其它逼近过程．

注2，其中．由于有这种可以互逆的表达关系，所以极限方法与无穷小分析方法在许多场合中可以相互取代．

注3，在的某空心邻域内有界，则．

注4，且当足够大时，有界，则．

注5在某一极限过程中，无穷大量的倒数是无穷小量，非零的无穷小量的倒数是无穷大量．

6函数极限的性质

以下以为例，其他极限过程类似．

（1），则极限唯一．

（2），则，使得，有．

（3），，且，则，使得，有

注这条性质称为函数的“局部保号性”．在理论分析论证及判定函数的性态中应用极普遍．

（4），，且当时，则．

（5），，则

（）

要求：

①进行运算的项数为有限项；②极限为有限数．

7夹逼定理

若使得，有，且

，则．

8Cauchy收敛准则

函数在的空心邻域内极限存在使得，当，时，有．

9无穷小量的比较

设，，且，则

（1）当时，称为的高阶无穷小量，记作；

（2）当时，称为的低阶无穷小量；

（3）当且时，称为的同阶无穷小量．

特别的，当时，称和为等价的无穷小量，记作～．

注1上述定义中，自变量的变化过程也可用，，，，之一代替．

注2当时，常见的等价无穷小有：

～，～，～，～，～，～

注3在用等价无穷小替换计算极限时，一般都要强调限定对“乘积因式”的等价替换．因为：

若～（），则

或（为某逼近过程）．

而对于非乘积因式，这样的替换可能会导致错误的结果．

注4在某一极限过程中，若为无穷小量，则在此极限过程，有

～．

10两个重要极限

（1）；

（2）．

二、典型例题

例用定义证明下列极限：

（1）；

（2）．

例　，证明：

（1）若，则有；

（2）．

例　设是上的严格严格单调函数，又若对（），有，试证明：

．

例　函数在点的某邻域内有定义，且对（），且

（），有，证明：

．

例设函数，，满足（），且

（）

则（）

问：

在题设条件下，是否有？

答：

否．如．

例设函数在上满足议程，且，则

（）．

例求下列函数极限

（1）（）；

（2）（）；

（3）．

例求下列极限

（1）；

（2）；

（3）．

例求下列极限：

（1）；

（2）．

例求下列极限：

（1）；

（2）．

例求下列极限：

（1）；

（2）；

（3）设（），求．

例

（1）已知，求常数；

（2）已知，求．