数学教案 4升514 搭配问题.docx

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数学教案4升514搭配问题

教案

教材版本：

精英版.学校：

.

教师

年级

四升五

授课时间

课时

2课时

课题

第14讲—搭配问题

教材分析

本讲是在学习加法原理，乘法原理的基础上进行学习的。

通过本讲学习，使学生掌握“单循环赛”和“淘汰赛”赛制，会计算比赛场次；能正确选择加法原理、乘法原理解决生活中的搭配问题。

为以后进一步学习计数原理奠定基础。

本讲例1难度不大，教师引导学生掌握赛制后，可由学生尝试独立解答，例2难度不大，可通过例2使学生掌握加法原理、乘法原理的适用情况；例3、例4、例5有一定难度，可在教师引导下生生合作完成。

拓展问题难度不大，教师根据课堂情况选讲。

教学目标

知识技能

1.了解“单循环赛”和“淘汰赛”两种赛制，会计算比赛场次；

2.正确理解分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）；

3.能根据具体的问题，准确利用两个原理进行分析和解决。

数学思考

会独立思考，能全面考虑问题，能进行有条理的思考，能比较清楚的表达自己的思考过程与结果。

问题解决

经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验搭配问题解题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

情感态度

培养学生解决实际生活中的数学问题，规范应用题的答题格式。

教学重点、难点

教学重点：

分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）。

教学难点：

分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）的准确理解与运用。

教学准备

动画多媒体语言课件。

第一课时

复备内容及讨论记录

教学过程

说明：

留给备课教师在备课时填写自己上课所需内容.

一、导入

师：

大家昨晚睡得好吗？

有没有做到有意思的梦？

生：

…

师：

本书的主人公小佳也做了一个美梦，他都梦到什么了？

我们一起来看看：

（播放导入）

二、呈现问题

（一）教学例1

例1：

“我们要举行篮球单循环赛，有6个队参加，一共要进行多少场比赛？

”

1.学生读题，师生共同理解题意。

师：

什么叫“单循环赛”？

比赛规则是怎样的？

（学生思考回答，教师引导学生理解“单循环赛”比赛规则）

师：

单循环赛，是所有参加比赛的队均能相遇一次。

什么意思呢？

我们以3个队为例，用①、②、③表示，怎么才能使每两个队都相遇一次，又不重不漏？

生：

①和②，①和③，②和③。

师：

还有没有两队没相遇的？

生：

没有了。

师：

对了，这就是单循环赛。

2.师生共同分析。

师：

刚才同学们用枚举的方法找到了3个队比赛的场次，那么如果比赛的队伍数较多，假如6个队，用什么方法能又快又对的使每两个队都相遇一次，又不重不漏？

生：

…

师：

能不能用画图的方法，像这样：

师：

谁能画一下②队还和哪些队相遇？

（引导学生找出“单循环比赛”的场次。

）

师：

列算式计算，应该怎么列？

生：

5＋4＋3＋2＋1＝15。

师：

你有什么发现？

生：

第1队和后面的4个队都比一场，第2个队和第1队已经算过了，那么它和第2队后面的3个队都比一场，…

3.学生独立完成。

答案：

5＋4＋3＋2＋1＝15（场）

答：

一共要进行15场比赛。

4.总结规律。

师：

计算单循环赛比赛场次，算式有什么规律？

（为方便表示用字母n,教师根据学生情况可用汉字代替）

生：

有n队，就从（n－1）开始加起，每次加的数比前面少1，…，加到1为止。

生：

n队单循环赛比赛场次：

（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1。

5.拓展提高（选讲）。

师：

除了画图，还有没有其他方法？

师引导：

6个队，每个队都要除出自己之外的其他各队赛一场。

这样一个队赛5场，6个队赛了30场。

但这样1队与2队的比赛在1队的时候被算了一次，1队与2队的比赛在2队的时候又被算了一次，每场比赛都会被算两次，所以应该是：

5×6÷2＝15（场）

师小结：

n队单循环赛比赛场次：

（n－1）n÷2。

（二）教学例2

例2：

瓦尔迪所在的羽毛球队有10个不同的夏季奥运会吉祥物和8个不同的冬季奥运会吉祥物。

（1）现从中任选一个吉祥物参加羽毛球比赛，共有多少种选法？

1.学生读题，获取信息。

师：

吉祥物被分成了几类？

按什么标准分的？

生：

吉祥物按夏季和冬季分成了2类。

师：

选一个吉祥物按类别分几种方法？

每一类都能独立完成这件事吗？

生：

有2类，可以在夏季奥运会吉祥物中选，也可以在冬季奥运会吉祥物中选。

每一类都能独立完成这件事。

2.学生独立完成。

答案：

10＋8＝18（种）

答：

共有18种选法。

3.小结。

分类加法原理：

两种选法互相独立，任何一种选法都可以完成这件事。

例2：

瓦尔迪所在的羽毛球队有10个不同的夏季奥运会吉祥物和8个不同的冬季奥运会吉祥物。

（2）如果从中任选一个夏季奥运会吉祥物和一个冬季奥运会吉祥物，参加羽毛球比赛，共有多少种选法？

1.学生读题，获取信息。

师：

本题与第

（1）问有什么不同？

生：

上一题只选1个奥运吉祥物。

本题选两个，要选一个夏季奥运会吉祥物和一个冬季奥运会吉祥物。

师：

你怎么选？

生：

先选一个夏季奥运会吉祥物，再选一个冬季奥运会吉祥物。

师：

完成这件事分成几步？

每步有几种方法？

生：

2步，第1步，选一个夏季奥运会吉祥物，有10种选法，第2步，选一个冬季奥运会吉祥物，有8种选法。

师：

那一共有多少种不同的方法呢？

2.学生独立完成，然后讲解。

答案：

10×8＝80（种）

答：

共有80种选法。

师：

你是怎么想的？

生：

第一步，选定1个夏季奥运会吉祥物，搭配任意1个冬季奥运吉祥物有8种搭配方法；另选1个夏季奥运会吉祥物，搭配任意1个冬季奥运吉祥物又有8种搭配方法；…所以共有10×8＝80（种）不同的方法。

3.小结。

乘法原理：

针对分步问题，各步骤互相依存，各步骤都完成，才算完成这件事。

（三）例3

例3：

网球比赛获奖选手如下：

米莎、山姆、虎多力、伊奇、奥利和悉德，他们6个吉祥物站成一排合影留念。

现要求虎多力和伊奇分别站在两端，共有多少种不同的站法？

1.学生读题，获取信息。

2.师生共同分析。

师：

我们出示6个□表示6个位置，虎多力和伊奇分别站在两端，怎么站呢？

生1：

可以这样站：

。

师：

还有其他站法吗？

生2：

。

师：

剩下的4个人怎么站？

是分步计数还是分类计数问题？

为什么？

生：

分步计数，因为各步骤互相依存，各步骤都完成，才能完成整个事情。

师：

那么有多少种不同站法呢？

3.学生小组讨论，然后集体汇报交流。

生：

当虎多力和伊奇这样站时，，我们分别来看其他4位选手，第1个选手可以选这4个位置中的任意一个，有4种选法，第2个选手可以选剩下3个位置中的任意一个，有3种选法，…，所以这种情况有4×3×2×1＝24（种）排法。

师：

另一种情况，虎多力和伊奇这样站时，有多少种排法呢？

共有多少种排法呢？

4.学生独立完成解答。

答案：

4×3×2×1＝24（种）

24×2＝48（种）

答：

共有48种不同的站法。

5.同桌之间互相讲解，巩固所学。

6.教师小结：

像这样的站队排列问题，我们一般先考虑对位置有特殊要求的人员，确定好他们的位置之后，再考虑其他人员。

（四）例4

例4：

有10个队参加排球赛，比赛分成2个组，每组5个队，各组内进行单循环赛，然后由各组的前两名共4个队进行淘汰赛决定冠亚军，共需多少场比赛？

1.学生读题，获取信息。

师：

比赛规则怎样的？

（找2～3位同学说一说比赛规则，确保学生理解题意）

师：

题中关键词有哪些？

你完全理解题意吗？

生：

我认为“单循环赛”和“淘汰赛”是关键词，因为赛制就决定了比赛场次。

刚才例1已经理解了“单循环赛”，不太理解“淘汰赛”的比赛规则。

师：

举一个例子，比如有甲、乙、丙、丁4个队参加比赛，什么是淘汰赛呢？

两两组合比赛：

甲对乙、丙对丁，不考虑平局的话，那么谁输谁淘汰。

那么在淘汰赛中，比赛场次和淘汰队伍数有什么关系？

生：

淘汰几队就比赛几场。

师：

大家真是善于思考，这么快就发现了淘汰赛比赛场次和淘汰队伍数之间的关系。

淘汰赛中，想要淘汰几队就比赛几场。

2.师生共同分析问题。

师：

熟悉了赛制，要求共需多少场比赛，你有什么想法？

生：

可以先求出单循环赛一共比赛了几场，淘汰赛中，一共比赛了几场，然后就得到了共需多少场比赛。

3.学生独立完成解答，然后集体汇报交流。

答案：

4＋3＋2＋1＝10（场）

10×2＝20（场）

4－1＝3（场）

20＋3＝23（场）

答：

共需23场比赛。

生：

单循环赛有2组，每个组5个队，每个组需要比赛4＋3＋2＋1＝10（场），2个组就20场。

这时通过比较积分可以得到各组前两名共4个队，参加淘汰赛，4个队要决出冠军需要淘汰3个队，所以比赛3场。

所以共比赛3＋20＝23（场）。

4.小结：

比赛问题熟悉赛制是解决问题的关键，再来回顾一下，单循环赛怎么求比赛场次？

淘汰赛呢？

（五）例5

例5：

用5种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色。

若允许同一种颜色多次使用，则共有多少种不同的涂色方法？

1.学生读题，理解题意。

师：

涂色有什么要求？

生：

相邻区域必须涂不同颜色。

允许同一种颜色多次使用。

师：

大家已经注意到了问题的细节，仔细审题，清楚题目要求是解决问题的基础。

2.师生共通过分析，教师适时出示解析。

师：

给A、B、C、D这四个区域涂色，你打算怎么涂？

（学生随意说出涂色顺序，教师根据学生的顺序进行分析。

此处我们按A、B、D、C这种顺序讲解）

生：

按A、B、D、C这种顺序涂色。

师：

好，那么给A涂色有几种方法？

生：

5种。

师：

给B涂色有几种方法？

生：

因为B与A相邻，而题目要求相邻区域必须涂不同颜色，所以B涂色有4种方法。

师：

接下来考虑与B与A相邻的D，有几种？

生：

因为D与A、B相邻，而题目要求相邻区域必须涂不同颜色，所以D涂色有3种方法。

师：

最后考虑C，有几种颜色可选择？

生：

因为C与D、B相邻，而题目要求相邻区域必须涂不同颜色，所以D涂色有3种方法。

3.学生独立完成解答。

答案：

5×4×3×3＝180（种）

答：

有180种不同的涂色方法。

4.拓展提高。

师：

刚才我们是按照什么顺序涂色的？

生：

A、B、D、C这种顺序涂色。

师：

如果我们改变一下涂色顺序，按照A、B、C、D的顺序，结果会有影响吗？

一起分析一下。

还是先给A涂色有5种方法，给B涂色有4种方法，接下来考虑C，有几种涂色方法呢？

生：

3种。

师：

哪3种？

C能不能与A同色呢？

生：

可以。

师：

那我们就需要对C分别考虑了。

当C与A同色时，D有几种涂法？

当C与A不同色时，D有几种涂法？

（师可板书如下，从思维导图中可清楚看出思考过程）

答案：

5×4×1×3＝60（种）

5×4×3×2＝120（种）

60＋120＝180（种）

答：

共有180种不同的摆法。

师：

我们看到，不同的涂色顺序并不影响结果，所以大家只要不重不漏的考虑问题，用对乘法原理和加法原理就能用多种方法解决问题。

有兴趣的同学还可以试试其他的涂色顺序。

四、课堂小结

师：

本节课你有哪些收获？

还有哪些问题？

生：

…

第二课时

复备内容及讨论记录

教学过程

一、过渡语

师：

上节课我们学习了例题，大家掌握的怎么样？

接下来我们一起看一下挑战拓展问题，比一比，看谁做的又快又好。

二、拓展问题

（一）拓展问题1

1.在一次羽毛球赛中，8个队进行单循环赛，需要比赛多少场？

（本题是例1的变式题，难度较小，学生独立完成后指定学生讲解）

答案：

7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝28（场）

答：

需要比赛28场。

（二）拓展问题2

2.在一次乒乓球赛中，参加比赛的队进行单循环赛，一共赛了15场。

问有几个队参加比赛？

（本题是例1的变式题，难度较小，学生独立完成后指定学生讲解。

如有疑问，教师可按下面步骤引导）

师：

计算单循环赛的算式有什么规律？

生：

n队单循环赛比赛场次：

（n－1）＋（n－2）＋（n－3）＋…＋2＋1。

师：

如果倒过来看，就是1＋2＋…＋（n－1）。

那么15是从1加到几呢？

你知道有几个队参加比赛了吗？

答案：

15＝1＋2＋3＋4＋5

5＋1＝6（个）

答：

有6个队参加比赛。

（三）拓展问题3

3.某学区举行“苗苗杯”小学生足球赛，共有12所学校的足球队参赛，比赛采用循环制，每个队都要和其他各队赛一场。

根据得分排名次，选出前四名参加淘汰赛，决出冠亚军。

这些比赛分别安排在3个学校的球场上进行，平均每个学校要安排几场比赛？

（本题是例4的变式题，难度不大，学生独立完成后指定学生讲解。

如有疑问，教师可按下面步骤引导）

师：

12所学校的足球队参赛，比赛采用循环制，要赛多少场？

生：

1＋2＋3＋…＋11＝66（场）

师：

淘汰赛比赛几场？

生：

4－1＝3（场）。

师：

一共比赛多少场？

3个场地，平均每个场地进行多少场比赛？

答案：

12×（12－1）÷2＝66（场）

4－1＝3（场）

66＋3＝69（场）

69÷3＝23（场）

答：

平均每个学校要安排23场比赛。

（四）拓展问题4

4.学校运动队有15名男生，12名女生。

现要从中选2名男生和1名女生参加市运动会，共有多少种选法？

1.学生读题，获取信息。

2.师生共同分析。

师：

怎么做才能完成这件事？

生：

先从15名男生中选2名男生，再从12名女生中选1名女生。

师：

完成这两步这件事才能完成，我们用分步原理。

那么大家考虑一下第一步，从15名男生中选2名男生，有多少种选法？

（学生小组讨论，教师适时出示解析）

生：

通过画图，可得到从15名男生中选2名男生，有14＋13＋12＋11＋…＋2＋1＝105（种）选法。

师：

这是本题的难点，当大家遇到计数问题想不清楚的时候，可以画图或枚举，帮助我们解决问题。

剩下的大家独立完成，看看谁做的又快又好！

3.学生独立完成解答。

答案

14＋13＋12＋11＋…＋2＋1＝105（种）

105×12＝1260（种）

答：

共有1260种选法。

（五）拓展问题5

5.4个不同的奥运吉祥物站成两排照相，每排站两个，共有多少种不同的站法？

（本题难度较小，学生独立完成后指定学生讲解。

如有疑问，教师可按下面步骤引导）

师：

我们画出四个位置，如下图：

考虑这4个人，第1个人有几个位置可供选择？

第2人呢？

…

答案：

4×3×2×1＝24（种）

答：

共有24种不同的站法。

（六）拓展问题6

6.市中心有一个圆形花坛，共分为五个区域。

现要用5种不同颜色的花来区分这五个区域，要求相邻区域不能摆同色花，共有多少种不同的摆法？

（在讲解过程中注意：

为方便表示，各区域命名如图所示。

）

1.学生读题，理解题意。

师：

涂色有什么要求？

生：

相邻区域必须涂不同颜色。

允许同一种颜色多次使用。

2.师生共通过分析，教师适时出示解析。

（此处我们按照E→A→B→C→D的顺序摆放不同颜色的花）

师：

因为E与其它4个区域都相邻，所以先填E区域，有几种颜色可选？

生：

5种。

师：

接下来考虑A区域，有几种颜色可选？

生：

4种。

师：

接下来考虑B区域，有几种颜色可选？

生：

3种。

师：

C呢？

生：

C可以与A相同，也可以与A不同，……

师：

我们先来考虑C与A相同的情况，这时D有几种颜色可选？

C与A摆放颜色不同的情况，这时D有几种颜色可选？

3.学生独立完成解答，然后集体交流。

答案：

5×4×3×1×3＝180（种）

5×4×3×2×2＝240（种）

180＋240＝420（种）

答：

共有420种不同的摆法。

三、拓展视野

有5人报名参加3项不同的培训，每人都只报一项，不同的报名方法有多少种？

师引导：

怎样才能完成这件事？

生：

5个人都报完名这件事才能完成，所以分为5个步骤完成。

师：

那么第1个人报名有几种选择？

第2个人报名有几种选择？

…

答案：

3×3×3×3×3＝243（种）

答：

不同的报名方法有243种。

四、总结

师：

我们一起回顾一下本节课学习的问题。

单循环

1.赛制

淘汰赛

2.加法原理：

各种选法互相独立，任何一种选法都可以完成这件事。

3.乘法原理：

各步骤互相依存，各步骤都完成，才算完成这件事。

例题答案：

例1：

15场

例2：

（1）18种

（2）80种

例3：

48种

例4：

23场

例5：

180种

拓展问题答案：

1.28场

2.6个

3.23场

4.1260种

5.24种

6.420种