函数概念与基本初等函数.docx
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函数概念与基本初等函数
函数概念与基本初等函数
函数概念与基本初等函数Ⅰ
（一）函数
1．了解构成函数的要素，了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域
2．理解函数的三种表示法：
解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。
3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。
4．理解函数的单调性，会讨论和证明一些简单的函数的单调性；理解函数奇偶性的含义，会判断简单的函数奇偶性。
5．理解函数的最大（小）值及其几何意义，并能求出一些简单的函数的最大（小）值
6．会运用函数图像理解和研究函数的性质
（二）指数函数
1．了解指数函数模型的实际背景。
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
3．理解指数函数的概念，会求与指数函数性质有关的问题。
4．知道指数函数是一类重要的函数模型。
（三）对数函数
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。
2．理解对数函数的概念；会求与对数函数性质有关的问题
3．知道对数函数是一类重要的函数模型
4．了解指数函数与对数函数互为反函数（）。
（四）幂函数
1．了解幂函数的概念。
2．结合函数的图像，了解它们的变化情况。
（五）函数与方程
1．了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。
2．理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。
能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数
（六）函数模型及其应用
1．了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。
知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。
3．能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。
根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：
一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现
函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势.
考试热点：
①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.
第1课时函数及其表示
一、映射
1．映射：
设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的元素，在集合B中都有元素和它对应，这样的对应叫做到的映射，记作.
2．象与原象：
如果f:
A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素a对应的叫做象，叫做原象。
二、函数
1．定义：
设A、B是，f:
A→B是从A到B的一个映射，则映射f:
A→B叫做A到B的，记作.
2．函数的三要素为、、，两个函数当且仅当分别相同时，二者才能称为同一函数。
3．函数的表示法有、、。
例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（）.
A.B.
C.D.
解：
C
变式训练1：
下列函数中，与函数y=x相同的函数是（）
A.y=B.y=（）2C.y=lg10xD.y=
解：
C
例2.给出下列两个条件：
（1）f（+1）=x+2;
（2）f（x）为二次函数且f（0）=3,f（x+2）-f（x）=4x+2.试分别求出f（x）的解析式.
解：
（1）令t=+1,∴t≥1，x=（t-1）2.
则f（t）=（t-1）2+2（t-1）=t2-1,即f（x）=x2-1,x∈［1，+∞）.
（2）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）,
∴f（x+2）=a（x+2）2+b（x+2）+c,则f（x+2）-f（x）=4ax+4a+2b=4x+2.
∴，∴，又f（0）=3c=3,∴f（x）=x2-x+3.
变式训练2：
（1）已知f（）=lgx，求f（x）；
（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x）；
（3）已知f（x）满足2f（x）+f（）=3x，求f（x）.
解：
（1）令+1=t，则x=，
∴f（t）=lg，∴f（x）=lg,x∈（1,+∞）.
（2）设f（x）=ax+b，则
3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17，
∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.
（3）2f（x）+f（）=3x，①
把①中的x换成，得2f（）+f（x）=②
①×2-②得3f（x）=6x-，∴f（x）=2x-.
例3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.
解：
作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G为垂足，
依题意，则有AH=，AG=a.
（1）当M位于点H的左侧时，N∈AB，
由于AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=x2（0≤x≤）.
（2）当M位于HG之间时，由于AM=x，∴MN=，BN=x-.
∴y=SAMNB=［x+（x-）］=ax-
（3）当M位于点G的右侧时，由于AM=x，MN=MD=2a-x.
∴y=SABCD-S△MDN=
综上：
y=
变式训练3：
已知函数f（x）=
（1）画出函数的图象；
（2）求f
（1），f（-1）,f的值.
解：
（1）分别作出f（x）在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略.
（2）f
（1）=12=1,f（-1）=-f=f
（1）=1.
1．了解映射的概念，应紧扣定义，抓住任意性和唯一性．
2．函数的解析式常用求法有：
待定系数法、换元法（或凑配法）、解方程组法．使用换元法时，要注意研究定义域的变化．
3．在简单实际问题中建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．
第2课时函数的定义域和值域
一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
①已知函数的解析式，就是.
②复合函数fg（x）]的有关定义域，就要保证内函数g（x）的域是外函数f（x）的域.
③实际应用问题的定义域，就是要使得有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
1．函数y＝f（x）中，与自变量x的值的集合.
2．常见函数的值域求法，就是优先考虑，取决于，常用的方法有：
①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为法和法）
例如：
①形如y＝，可采用法；②y＝，可采用法或法；③y＝af（x）]2＋bf（x）＋c，可采用法；④y＝x－，可采用法；⑤y＝x－，可采用法；⑥y＝可采用法等.
例1.求下列函数的定义域：
（1）y=;
（2）y=;（3）y=.
解：
（1）由题意得化简得
即故函数的定义域为{x|x＜0且x≠-1}.
（2）由题意可得解得
故函数的定义域为{x|-≤x≤且x≠±}.
（3）要使函数有意义，必须有
即∴x≥1,故函数的定义域为［1，+∞）.
变式训练1：
求下列函数的定义域：
（1）y=+（x-1）0;
（2）y=+（5x-4）0;（3）y=+lgcosx;
解：
（1）由得所以-3＜x＜2且x≠1.
故所求函数的定义域为（-3，1）∪（1,2）.
（2）由得∴函数的定义域为
（3）由,得
借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为
例2.设函数y=f（x）的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.
（1）y=f（3x）;
（2）y=f（）;
（3）y=f（;（4）y=f（x+a）+f（x-a）.
解：
（1）0≤3x≤1,故0≤x≤,y=f（3x）的定义域为［0,］.
（2）仿
（1）解得定义域为［1，+∞）.
（3）由条件，y的定义域是f与定义域的交集.
列出不等式组
故y=f的定义域为.
（４）由条件得讨论：
①当即0≤a≤时，定义域为［a,1-a］;
②当即-≤a≤0时，定义域为［-a,1+a］.
综上所述：
当0≤a≤时，定义域为［a，1-a］；当-≤a≤0时，定义域为［-a，1+a］.
变式训练2：
若函数f（x）的定义域是［0，1］，则f（x+a）•f（x-a）（0＜a＜）的定义域是（）A.B.［a，1-a］C.［-a，1+a］D.［0，1］
解：
B
例3.求下列函数的值域：
（1）y=
（2）y=x-;（3）y=.
解：
（1）方法一（配方法）
∵y=1-而
∴0＜∴∴值域为.
方法二（判别式法）
由y=得（y-1）
∵y=1时,1.又∵R，∴必须=（1-y）2-4y（y-1）≥0.
∴∵∴函数的值域为.
（2）方法一（单调性法）
定义域，函数y=x,y=-均在上递增，
故y≤
∴函数的值域为.
方法二（换元法）
令=t,则t≥0，且x=∴y=-（t+1）2+1≤（t≥0）,
∴y∈（-∞，］.
（3）由y=得,ex=∵ex＞0,即＞0,解得-1＜y＜1.
∴函数的值域为{y|-1＜y＜1}.
变式训练3：
求下列函数的值域：
（1）y=;
（2）y=|x|.
解：
（1）（分离常数法）y=-，∵≠0,
∴y≠-.故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
（2）方法一（换元法）
∵1-x2≥0,令x=sin,则有y=|sincos|=|sin2|,
故函数值域为［0，］.
方法二y=|x|•
∴0≤y≤即函数的值域为.
例4．若函数f（x）=x2-x+a的定义域和值域均为［1，b］（b＞1），求a、b的值.
解：
∵f（x）=（x-1）2+a-.
∴其对称轴为x=1，即［1，b］为f（x）的单调递增区间.
∴f（x）min=f
（1）=a-=1①
f（x）max=f（b）=b2-b+a=b②
由①②解得
变式训练4：
已知函数f（x）=x2-4ax+2a+6（x∈R）.
（1）求函数的值域为［0，+∞）时的a的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数f（a）=2-a|a+3|的值域.
解：
（1）∵函数的值域为［0，+∞）,
∴Δ=16a2-4（2a+6）=02a2-a-3=0∴a=-1或a=.
（2）对一切x∈R，函数值均非负,∴Δ=8（2a2-a-3）≤0-1≤a≤,∴a+3＞0,
∴f（a）=2-a（a+3）=-a2-3a+2=-（a+）2+（a）.
∵二次函数f（a）在上单调递减，∴f（a）min=f=-，f（a）max=f（-1）=4，
∴f（a）的值域为.
1．求函数的定义域一般有三类问题：
一是给出解释式（如例1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.
2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
第3课时函数的单调性
一、单调性
1．定义：
如果函数y＝f（x）对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、、x2，当x1、若函数f（x）在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间，则f（x）称为.
2．判断单调性的方法：
（1）定义法，其步骤为：
①；②；③.
（2）导数法，若函数y＝f（x）在定义域内的某个区间上可导，①若，则f（x）在这个区间上是增函数；②若，则f（x）在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若f（x）,g（x）均为增（减）函数，则f（x）＋g（x）函数；
2．若f（x）为增（减）函数，则－f（x）为；
3．互为反函数的两个函数有的单调性；
4．复合函数y＝fg（x）]是定义在M上的函数，若f（x）与g（x）的单调相同，则fg（x）]为，若f（x）,g（x）的单调性相反，则fg（x）]为.
5．奇函数在其对称区间上的单调性，偶函数在其对称区间上的单调性.
例1.已知函数f（x）=ax+（a＞1），证明：
函数f（x）在（-1,+∞）上为增函数.
证明方法一任取x1,x2∈（-1,+∞）,
不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,＞1且＞0,
∴，又∵x1+1＞0,x2+1＞0,
∴＞0,
于是f（x2）-f（x1）=+＞0,
故函数f（x）在（-1,+∞）上为增函数.
方法二f（x）=ax+1-（a＞1）,
求导数得=axlna+,∵a＞1,∴当x＞-1时，axlna＞0,＞0,
＞0在（-1，+∞）上恒成立，则f（x）在（-1,+∞）上为增函数.
方法三∵a＞1,∴y=ax为增函数，
又y=，在（-1，+∞）上也是增函数.
∴y=ax+在（-1，+∞）上为增函数.
变式训练1：
讨论函数f（x）=x+（a＞0）的单调性.
解：
方法一显然f（x）为奇函数，所以先讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，
设x1＞x2＞0,则
f（x1）-f（x2）=（x1+）-（x2+）=（x1-x2）•（1-）.
∴当0＜x2＜x1≤时，＞1,
则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）,故f（x）在（0，］上是减函数.
当x1＞x2≥时，0＜＜1，则f（x1）-f（x2）＞0,即f（x1）＞f（x2）,
故f（x）在［，+∞）上是增函数.∵f（x）是奇函数，
∴f（x）分别在（-∞，-］、［，+∞）上为增函数；
f（x）分别在［-，0）、（0，］上为减函数.
方法二由=1-=0可得x=±
当x＞或x＜-时，＞0∴f（x）分别在（，+∞）、（-∞，-］上是增函数.
同理0＜x＜或-＜x＜0时，＜0
即f（x）分别在（0，］、［-，0）上是减函数.
例2.判断函数f（x）=在定义域上的单调性.
解：
函数的定义域为{x|x≤-1或x≥1},
则f（x）=,
可分解成两个简单函数.
f（x）==x2-1的形式.当x≥1时，u（x）为增函数，为增函数.
∴f（x）=在［1，+∞）上为增函数.当x≤-1时，u（x）为减函数，为减函数，
∴f（x）=在（-∞,-1］上为减函数.
变式训练2：
求函数y=（4x-x2）的单调区间.
解：
由4x-x2＞0，得函数的定义域是（0，4）.令t=4x-x2，则y=t.
∵t=4x-x2=-（x-2）2+4，∴t=4x-x2的单调减区间是［2，4），增区间是（0，2］.
又y=t在（0，+∞）上是减函数，
∴函数y=（4x-x2）的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4）.
例3.求下列函数的最值与值域：
（1）y=4-;
（2）y=x+;（3）y=.
解：
（1）由3+2x-x2≥0得函数定义域为［-1，3］，又t=3+2x-x2=4-（x-1）2.
∴t∈［0，4］，∈［0，2］，
从而，当x=1时，ymin=2，当x=-1或x=3时，ymax=4.故值域为［2，4］.
（2）方法一函数y=x+是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论
x＞0时,即可知x＜0时的最值.
∴当x＞0时,y=x+≥2=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,
等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.
方法二任取x1,x2,且x1＜x2,
因为f（x1）-f（x2）=x1+-（x2+）=
所以当x≤-2或x≥2时，f（x）递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f（x）递减.
故x=-2时，f（x）最大值=f（-2）=-4,x=2时，f（x）最小值=f
（2）=4,
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.
（3）将函数式变形为y=,
可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.
ymin=|AB|=，可求得x=时，ymin=.
显然无最大值.故值域为［，+∞）.
变式训练3：
在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3000x-20x2（单位：
元），其成本函数为C（x）=500x+4000（单位：
元），利润是收入与成本之差.
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？
解：
（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x2）-（500x+4000）=-20x2+2500x-4000
（x∈［1，100］且x∈N,）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2500（x+1）-4000-（-20x2+2500x-4000）
=2480-40x（x∈［1，100］且x∈N）.
（2）P（x）=-20（x-2+74125，当x=62或63时，P（x）max=74120（元）.
因为MP（x）=2480-40x是减函数，所以当x=1时，MP（x）max=2440（元）.
因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.
例4．（2009•广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（=f（x1）-f（x2），且当x＞1时，f（x）＜0.
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的单调性；
（3）若f（3）=-1,解不等式f（|x|）＜-2.
解：
（1）令x1=x2＞0,代入得f
（1）=f（x1）-f（x1）=0,故f
（1）=0.
（2）任取x1,x2∈（0,+∞），且x1＞x2,则＞1,由于当x＞1时，f（x）＜0,
所以f＜0,即f（x1）-f（x2）＜0,因此f（x1）＜f（x2）,
所以函数f（x）在区间（0,+∞）上是单调递减函数.
（3）由f（）=f（x1）-f（x2）得f（=f（9）-f（3）,而f（3）=-1,所以f（9）=-2.
由于函数f（x）在区间（0,+∞）上是单调递减函数，
由f（|x|）＜f（9）,得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.
变式训练4：
函数f（x）对任意的a、b∈R,都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1,并且当x＞0时，f（x）＞1.
（1）求证：
f（x）是R上的增函数；
（2）若f（4）=5,解不等式f（3m2-m-2）＜3.
解：
（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,
则x2-x1＞0,∴f（x2-x1）＞1.
f（x2）-f（x1）=f（（x2-x1）+x1）-f（x1）=f（x2-x1）+f（x1）-1-f（x1）=f（x2-x1）-1＞0.
∴f（x2）＞f（x1）.
即f（x）是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f
（2）+f
（2）-1=5，
∴f
（2）=3，
∴原不等式可化为f（3m2-m-2）＜f
（2）,
∵f（x）是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2,
解得-1＜m＜,故解集为（-1,）.
1．证明一个函数在区间D上是增（减）函数的方法有：
（1）定义法.其过程是：
作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；
（2）求导法.其过程是：
求导——判断导函数的符号——下结论.
2．确定函数单调区间的常用方法有：
（1）观察法；
（2）图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；（3）定义法；（4）求导法.注意：
单调区间一定要在定义域内.
3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：
一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.
第4课时函数的奇偶性
1．奇偶性：
①定义：
如果对于函数f（x）定义域内的任意x都有，则称f（x）为奇函数；若，则称f（x）为偶函数.如果函数f（x）不具有上述性质，则f（x）不具有.如果函数同时具有上述两条性质，则f（x）.
②简单性质：
1）图象的对称性质：
一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于对称.
2）函数f（x）具有奇偶性的必要条件是其定义域关于对称.
2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现、或（、均为非零常数，），都可以得出的周期为；
②的图象关于点中心对称或的图象关于直线轴对称，均可以得到周期
例1.判断下列函数的奇偶性.
（1）f（x）=;
（2）f（x）=log2（x+）（x∈R）;
（3）f（x）=lg|x-2|.
解：
（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f（x）的定义域是{-1，1}.
∵f
（1）=0，f（-1）=0,∴f
（1）=f（-1）,f（-1）=-f
（1）,
故f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）方法一易知f（x）的定义域为R，
又∵f（-x）=log2［-x+］=log2=-log2（x+）=-f（x）,
∴f（x）是奇函数.
方法二易知f（x）的定义域为R，
又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+］+log2（x+）=log21=0,即f（-x）=-f（x）,
∴f（x）为奇函数.
（3）由|x-2|＞0，得x≠2.
∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.
变式训练1：
判断下列各函数的奇偶性：
（1）f（x）=（x-2）；
（2）f（x）=；
（3）f（x）=
解：
（1）由≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.
（2）由得定义域为（-1，0）∪（0，1）.
这时f（x）=.
∵f（-x）=-∴f（x）为偶函数.
（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.
x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f（-x）=x+2=f（x）.
-1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.
∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.
例2已知函数f（x）,当x,y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）.
（1）求证：
f（x）是奇函数；
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f
（1）=-,试求f（x）在区间［-2，6］上的最值.
（1）证明：
∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）=f（x）+f
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