运筹学案例研究报告讲解.docx
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运筹学案例研究报告讲解
课程名称:
《管理运筹学》
小组案例研究报告
大气污染问题的研究（修改版）
小组成员：
提交日期:
2013年6月29日
一、问题回顾
控制大气污染问题
N&L公司是一家全球著名的钢铁制造商，位于钢铁之城。
该公司目前雇用了50，000名员工，是当地的主要劳动力雇用者，因此整个城市都因这家公司而繁荣与发展起来，这里人们也一直都认为凡是对公司有利的必然对整个城市有利。
但是现在人们的观点发生了一定的变化：
公司锅炉中排放出的气体因未加治理，正破坏着城市的风貌并日益危及着城市居民的身体健康。
最近的一次股民选举产生了一个较为英明的新董事会，其中的董事成员正与城市官员和居民讨论如何处理空气污染的问题，他们一起制定出了很严格的大气排放质量标准。
所排放的污染气体中，三种主要的成分是：
大气微尘、氧化硫和碳氢化合物。
新制定的排放气体质量标准要求公司降低这些污染气体的排放量，具体要求如下表所示。
污染气体
要求每年排放减少量（百万磅）
大气微尘
氧化硫
碳氢化合物
60
150
125
董事会已经指示公司的管理人员召集工程人员，用最经济的方法降低污染气体的排放量。
公司的污染气体主要来自于两个方面，一是铸生铁的鼓风炉，一是炼钢的敞口式反射炉。
在这两方面，工程师都认为最有效的降低污染的方法是
（1）增加烟囱的高度①，
（2）在烟囱中加入过滤装置，（3）在燃料中加入清洁的高级燃料。
三种方法都有其技术限制（例如，烟囱可增加的高度是有限的），但可以考虑在各自的技术限制内，采取一定程度的措施。
下表显示了在技术允许的范围内，最大限度的使用各种方法可以降低两个炉子污染气体的排放量。
运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量
增加烟囱高度
加入过滤装置
加入高级燃料
污染气体
鼓风炉
反射炉
鼓风炉
反射炉
鼓风炉
反射炉
大气微尘
氧化硫
碳氢化合物
12
35
37
9
42
53
25
18
28
20
31
24
17
56
29
13
49
20
为了方便分析，假设各种方法也可以在技术允许的范围内，采取一部分程度的实施，从而达到一定程度的减少污染气体的效果。
此外，各种方法在两个炉子上的实施比例可以不同，且在效果上也是互不影响的。
在分析了上面的数据之后，可以发现，没有一种方法可以实现全部的降污要求，而另一方面，在两个炉子上都同时最大限度的使用各种方法的组合，会超额完成降污任务，但这样做的费用是昂贵的，不利于公司的产品保持竞争力。
因此，工程师认为，应该在考虑各种方法的成本与效益的基础上，合理的组合各种方法。
此外，因为两个炉子的情况并不相同，所以针对两个炉子的治理方法也将不同。
实施分析每种方法的一年总成本，该成本包括运营和维护费用，以及因为使用降污方法而致使生产效率降低，进而减少了的收入。
此外，最大的成本是安装设备的启动成本。
为了使一开始的启动成本与今后的年成本可以相互比较，必须考虑货币的时间价值，．将年成本折现。
这样可以生成下面的数据表，该表表示的是最大限度的使用各种方法估计的年成本。
并且，各种方法的使用成本与可获得的降污能力是成比例的，也就是说，要取得一定比例的降污效果，所实施方法的成本在总成本中占同样的比例。
最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）
污染气体
鼓风炉
反射炉
大气微尘
氧化硫
碳氢化合物
8
7
11
lO
6
9
现在，可以制定出降污规划大致的框架了，即这一规划必须确定在两个炉子上，使用哪几种方法，每种方法的实施程度。
假设，你被任命为管理科学小组的组长，管理层要求你以最小的成本实现降低各种污染气体的年排放量要求。
a．描述该线性规划问题的各个组成部分。
b．在电子表格上建模。
c．求得最优解并产生灵敏度报告。
现在，管理层希望能在你的帮助之下，进行一些what—if分析。
因为管理层对这几种治理方法都没有经验。
所以各种方法的成本只是一个大致的估计，实际值可能在10％的范围内。
此外，第二个表格的数据也还存在一些不确定性，尽管这些不确定性或许比第三个表格中的要小一些。
第一个表格中的数据是政策标准，但是，这些数据是在不知道成本的情况下确定的一些暂时性的数值，公司与政府的官员都认为，应该在成本与收益分析的基础上来确定最终的决策。
政府官员估算出如果将每一张表中的政策标准增加10％，对整个城市的价值是$3，500万。
因此，政府决定，公司每提高10％的降污标准（表中的所有数据，直到50％），将可获得$3，500，000的降税。
最后，对政策标准中各种污染气体的相对值还存在一点分歧，如表一所示，要求减少的大气微尘的数量还不到其他两种的一半，因此，有些人提出，是否减少这一差距。
而另一些认为应该增大差距，因为氧化硫和碳氢化合物的危害比大气微尘大得多。
最后，人们同意在获得最优的成本收益平衡解之后，再对这一点探讨一下，增加一种污染气体的数量同时减少另一种，看看会有怎样的影响。
d．判断线性规划模型中哪些系数是敏感系数，并说明哪些系数，如果可能的话，应该作进一步精确的估计。
e．分析第三张表中的成本参数如果不准确的话，会造成怎样的影响，如果实际值比计值少10％，是否会影响最优解?
实际值比估计值多10％，又将如何?
为进一步的参数估计工作提出建议。
f．对于每一种污染气体，求出所要求排放减少量的微小变动会引起的成本的变化量排放减少量在多大的范围内变动，成本变化量会保持不变?
g．在保持总成本不变的前提下，政策中大气微尘标准的每一单位的变动，可能会引起氧化硫排放标准多大的变动，又或者会引起碳氢化合物排放标准多大的变动?
如果氧化硫和碳氢化合物同时因此而变动，且两者变动的幅度相同，该变动的幅度又是多少?
h．假设以θ表示每一张表中标准的增加百分比，θ=10，20，30，40，50，分别求出该修正的线性规划问题的最优解。
考虑税收上的优惠，管理者将会选择那一个θ？
i．根据上面计算出的θ，生成灵敏度报告，并重复f和g的分析，为污染标准中三种气体的相对量作出最终的决策。
--------------------------------------------
①在本次研究之后，这一方法引起了人们的争议。
因为，增加烟囱的高度，只不过是通过将污染的范围扩大而减少近距离的污染。
环境专家认为，硫化物长久的留在大气中极易引起酸雨。
最后，美国的环境保护协会制定新的规则，规定不许使用增加烟囱高度的方法来减少污染。
二、模型建立
2.1问题分析
此问题是在满足政策要求的降污标准的情况下寻找成本最小的线性规划问题，经过对案例的分析，从中提取为建立模型的有用数据如下：
降污排放量具体要求：
污染气体
要求每年排放减少量（百万磅）
大气微尘
氧化硫
碳氢化合物
60
150
125
运用各种降污方法最大限度可减少的每种污染气体的年排放量：
污染气体
增加烟囱高度
加入过滤装置
加入高级燃料
鼓风炉
反射炉
鼓风炉
反射炉
鼓风炉
反射炉
大气微尘
12
9
25
20
17
13
氧化硫
35
42
18
31
56
49
碳氢化合物
37
53
28
24
29
20
最大限度的使用各种方法估计的年成本（百万美元）：
污染气体
鼓风炉
反射炉
大气微尘
氧化硫
碳氢化合物
8
7
11
lO
6
9
2.2变量设定
设六个决策变量
（j=1.2
6），每一决策变量分别表示三种除污方法对应鼓风炉和反射炉的使用程度，即降污方法的应用比例（0
1）
降污方法
鼓风炉
反射炉
增加烟囱高度
X1
X2
加入过滤装置
X3
X4
加入高级燃料
X5
X6
2.3目标函数的设立
经过分析可知，为降低大气微尘，在鼓风炉上所需花费为（百万美元）：
8/（12+25+17）*（12X1+25X3+17X5），其中8为充分使用各种方法所需花费，12、25、17分别为完全使用三种方法使得大气微尘减少的排放量。
同理可得，为减少氧化硫，在鼓风炉上的花费为：
7/（35+18+56）*（35X1+18X3+56X5）
为减少碳氢化合物，在鼓风炉上的花费为：
11/（37+28+29）*（37X1+28X3+29X5）
同样，为减少大气微尘，在反射炉上的花费为：
10/（9+20+13）*（9X2+20X4+13X6）
为减少氧化硫，在反射炉上的花费为：
6/（42+31+49）*（42X2+31X4+49X6）
为减少碳氢化合物，在反射炉上的花费为：
9/（53+24+20）*（53X2+24X4+20X6）
综上，令总成本为Z（百万美元），为使成本最小化，建立的模型为：
MinZ=8/（12+25+17）*（12X1+25X3+17X5）+10/（9+20+13）*（9X2+20X4+13X6）+7/（35+18+56）*（35X1+18X3+56X5）+6/（42+31+49）*（42X2+31X4+49X6）+11/（37+28+29）*（37X1+28X3+29X5）+9/（53+24+20）*（53X2+24X4+20X6）
2.4约束条件的确立
排放减少量的政策约束:
技术约束:
1，j=1,2，
，6
非负约束:
0，j=1,2，
，6
三模型求解及分析
3.1求解过程
将模型化简后，利用EXCEL对该线性规划问题进行求解，过程如下：
求解结果如下：
当X1=0.057329353X2=1X3=0.991296868X4=0X5=1X6=0.656125082时求得最优解MinZ=31.82143068
灵敏度报告为：
3.2问题的进一步分析
d、判断线性规划模型中哪些系数是敏感系数，并说明哪些系数，如果可能的话，应该作进一步精确的估计。
为了测试敏感度，我们将右端常数值分别增加5%和减少5%，考察右端常数变化后对最终结果是否有显著的影响，计算结果如下表：
增加5%
最小费用值
减少5%
最少费用值
大气微尘
63
32.73992
57
31.37458
氧化硫
157.5
32.29302
142.5
31.59341
碳氢化合物
131.25
32.55373
118.75
31.23213
综合上述结果可以发现，碳氢化合物的变动对最优解的影响最大，所以碳氢化合物的约束系数是相对敏感的系数。
e．分析第三张表中的成本参数如果不准确的话，会造成怎样的影响，如果实际值比估计值少10％，是否会影响最优解?
实际值比估计值多10％，又将如何?
为进一步的参数估计工作提出建议。
针对第三张表中的成本参数，我们逐个重新进行核算，假设某个参数存在10%的估计误差而其他成本参数都估计准确，分析此时对最优解的影响。
在此我们分别针对实际值比估计值多10%和少10%的情况分别计算，结果如下表：
实际值比估计值多10%的情况：
成本改变量（单个增加10%）
新最优解
原最优解
变化值
8改为8.8
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.079081633
1
1
0
0.890306122
0.762755102
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.2175228
0
0.008703132
0
-0.109693878
0.10663002
影响：
降污方法使用不变，比例有所微调，鼓风炉烟囱高度增加0.22，反射炉的不变，过滤装置增加0.0087，反射炉的不变，高级燃料鼓风炉的减少0.1097，反射炉的增加0.1066.
10改为11
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0
0
0
0
0
0
影响：
不改变
7改为7.7
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.079081633
1
1
0
0.890306122
0.762755102
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.02175228
0
0.008703132
0
-0.109693878
0.106633002
影响：
降污方法使用不变，比例有所微调，鼓风炉烟囱高度增加0.22，反射炉的不变，过滤装置增加0.0087，反射炉的不变，高级燃料鼓风炉的减少0.1097，反射炉的增加0.1066.
6改为6.6
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0
0
0
0
0
0
影响：
不改变
11改为12.1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.079081633
1
1
0
0.890306122
0.762755102
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.02175228
0
0.008703132
0
-0.109693878
0.106633002
影响：
降污方法使用不变，比例有所微调，鼓风炉烟囱高度增加0.22，反射炉的不变，过滤装置增加0.0087，反射炉的不变，高级燃料鼓风炉的减少0.1097，反射炉的增加0.1066.
9改为9.9
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0
0
0
0
0
0
影响：
不改变
实际值比估计值少10%的情况：
成本改变量（单个减少10%）
新最优解
原最优解
变化值
8改为7.2
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0
0
0
0
0
0
影响：
不改变。
10改为9
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.131840091
1
1
0.035157358
0.630280692
1
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.074510738
0
0.008703132
0.035157358
-0.369719308
0.343874918
影响：
降污方法有所改变，比例有所微调。
鼓风炉烟囱高度增加0.07，反射炉的不变，过滤装置增加0.009，反射炉的增加0.04，高级燃料鼓风炉的减少0.3697，反射炉的增加0.344。
7改为6.3
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0
0
0
0
0
0
影响：
不改变。
6改为5.4
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.131840091
1
1
0.035157358
0.630280692
1
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.074510738
0
0.008703132
0.035157358
-0.369719308
0.343874918
影响：
降污方法有所改变，比例有所微调。
鼓风炉烟囱高度增加0.07，反射炉的不变，过滤装置增加0.009，反射炉的增加0.04，高级燃料鼓风炉的减少0.3697，反射炉的增加0.344。
11改为9.9
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0
0
0
0
0
0
影响：
不改变。
9改为8.1
X1
X2
X3
X4
X5
X6
0.131840091
1
1
0.035157358
0.630280692
1
0.057329353
1
0.991296868
0
1
0.656125082
0.074510738
0
0.008703132
0.035157358
-0.369719308
0.343874918
影响：
降污方法有所改变，比例有所微调。
鼓风炉烟囱高度增加0.07，反射炉的不变，过滤装置增加0.009，反射炉的增加0.04，高级燃料鼓风炉的减少0.3697，反射炉的增加0.344。
所以对于影响较大的参数应做进一步精确的估计。
f.对于每一种污染气体，求出所要求排放减少量的微小变动会引起的成本的变化量。
排放减少量在多大范围内变动，成本变化量会保持不变？
单位：
百万美元
污染气体
成本变化量
允许的增量
允许的减量
大气微尘
0.149
0.155
17.602
氧化硫
0.063
8.331
0.714
碳氢化合物
0.117
18.799
1.143
g.在保持总成本不变的前提下，政策中大气微尘标准的每一单位变动，可能会引起氧化硫排放标准多大的变动，又或者会引起碳氢化合物排放标准多大的变动？
如果氧化硫和碳氢化合物同时因此而变动，且两者变动的幅度相同，该变动的幅度又是多少？
1）大气微尘和氧化硫
每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.149百万美元。
每增加一单位氧化硫的减排量，成本将增加0.063百万美元。
所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘的减排量，氧化硫的减排量会减少0.149/0.063=2.365单位。
2）大气微尘和碳氢化合物
每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.149百万美元。
每增加一单位氧化硫的减排量，成本将增加0.117百万美元。
所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘的减排量，碳氢化合物的减排量会减少0.149/0.117=1.274单位。
3）大气微尘和氧化硫与碳氢化合物
每增加一单位大气微尘的减排量，成本将增加0.149百万美元。
每同时增加一单位的氧化硫和大气微尘的减排量，成本会增加0.063+0.117=0.18百万美元。
所以，在总成本不变的前提下，每增加一单位大气微尘减排量，氧化硫和碳氢化合物每个减少0.149/0.18=0.828单位。
h.假设以θ表示每一张表中标准的增加百分比，θ=10，20，30，40，50，分别求出该修正的线性规划问题的最优解。
考虑税收上的优惠，管理者将会选择那一个θ？
利用EXCEL对原始数据进行求解所得结果如下：
当θ=10时，利用EXCEL对更改后数据进行求解所得结果如下：
当θ=20时，利用EXCEL对更改后数据进行求解所得结果如下：
当θ=30时，利用EXCEL对更改后数据进行求解所得结果如下：
当θ=40时，利用EXCEL对更改后数据进行求解所得结果如下：
当θ=50时，利用EXCEL对更改后数据进行求解所得结果如下：
将结果汇总对比得：
θ
0
10
20
30
40
50
0.057329
0.601272
1
1
1
1
1
0.828277
0.733787
0.850623
0.967460
1
0.991296
1
1
1
1
1
0
0
0.062474
0.255312
0.448151
0.854166
1
1
1
1
1
1
0.656125
0.717710
0.780494
0.864471
0.948448
1
31.82143
35.30586
38.8207
42.34557
45.87045
50.42196
税收优惠
0
3.5
7.0
10.5
14
17.5
31.82143
31.80586
31.8207
31.84557
31.87045
32.92196
通过上表可以看出，当政策标准的排放减少量的增加百分比为θ=10时，同时考虑到税收上的优惠，企业可以实现最小的实际总成本，Z’=31.80586百万美元。
i．根据上面计算出的θ，生成灵敏度报告，并重复f和g的分析，为污染标准中三种气体的相对量作出最终的决策。
当政策标准的排放减少量的增加百分比为θ=10时，灵敏度报告为：
对于每一种污染气体，影子价格：
大气微尘为0.314699976，氧化硫为0.026988062，碳氢化合物为0.097361478，即排放减少量的微小变动会引起的成本的变化量。
使得成本变化量保持不变的排放减少量变化范围：
见下表，例如x1从可以减少0.558450147到可以增加0.025129671；x2可以减少0.047451923到可以增加1.065387133。
变量值
允许的增量
允许的减量
X1
0.025149671
0.558450147
X2
1.065387133
0.047451923
X3
2.943143123
1E+30
X4
1E+30
0.076921994
X5
0.361433267
1E+30
X6
2.859601508
0.405917361
影子价格：
大气微尘为0.314699976，氧化硫为0.026988062，因此大气微尘每一单位的变动，氧化硫排放标准变化0.026988062/0.314699976=0.085758单位；
影子价格：
大气微尘为0.314699976，，碳氢化合物为0.097361478，因此大气微尘每一单位的变动，碳氢化合物排放标准变化0.097361478/0.314699976=0.309379单位；
如果氧化硫和碳氢化合物同时变且幅度相同，则变动的幅度为：
（0.026988062+0.097361478）/0.314699976=0.395137单位。
因为求得的最优解为：
名字
终值
大气微尘减少的排放量
66
氧化硫减少的排放量
165
碳氢化合物减少的排放量
137.5
而大气微尘增加一单位，在总成本不变的前提下，氧化硫和碳氢化合物同时变且幅度相同为减少0.
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