全等三角形辅助线方法.docx
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全等三角形辅助线方法
全等三角形辅助线
常见辅助线的作法有以下几种：
1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形）
5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：
在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
1：
（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.
2：
如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
3：
如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：
AD平分∠BAE.
中考应用
（09崇文二模）以
的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt
和等腰Rt
，
连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：
AM与DE的位置关系及数量关系．
（1）如图①当
为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；
（2）将图①中的等腰Rt
绕点A沿逆时针方向旋转
（0<
<90）后，如图②所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？
并说明理由．
二、截长补短
1.如图，
中，AB=2AC，AD平分
，且AD=BD，求证：
CD⊥AC
2：
如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AC+BD
3：
如图，已知在
内，
，
，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是
，
的角平分线。
求证：
BQ+AQ=AB+BP
4：
如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分
，求证：
5:
如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
6．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，求∠B∶∠C的值．
中考应用：
（08海淀一模）
三.借助角平分线造全等
1：
如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交
于点O，求证：
OE=OD
2：
（06郑州市中考题）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=
，AC=
，求AE、BE的长.
中考应用:
（06北京中考）如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。
请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。
请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；
（第23题图）
O
P
A
M
N
E
B
C
D
F
A
C
E
F
B
D
图①
图②
图③
（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而
（1）中的其它条件不变，请问，你在
（1）中所得结论是否仍然成立？
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
四、平移变换
1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为
，△EBC周长记为
.求证
＞
.
2：
如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：
AB+AC>AD+AE.
五、旋转
1：
正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
2：
D为等腰
斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。
（1）当
绕点D转动时，求证DE=DF。
（2）若AB=2，求四边形DECF的面积。
3.如图，
是边长为3的等边三角形，
是等腰三角形，且
，以D为顶点做一个
角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则
的周长为；
中考应用：
（07佳木斯）已知四边形
中，
，
，
，：
，
，
绕
点旋转，它的两边分别交
（或它们的延长线）于
．
（1）当
绕
点旋转到
时（如图1），易证
．
（2）当
绕
点旋转到
时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？
若成立，请给予证明；若不成立，线段
，
又有怎样的数量关系？
请写出你的猜想，不需证明．
（09崇文一模）在等边
的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为
外一点，且
BD=DC.探究：
当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及
的周长Q与等边
的周长L的关系．
图1图2图3
（
）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时
；
（
）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DM
DN时，猜想（
）问的两个结论还成立吗？
写出你的猜想并加以证明；
（
）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=
，则Q=（用
、L表示）．
六、构造全等
例1：
已知：
如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，
AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．
求证：
∠ADC=∠BDF．
2．用有刻度的直尺能平分任意角吗？
下面是一种
方法：
如图9所示，先在∠AOB的两边上取OP=OQ，
再取PM=QN，连接PN、QM，得交点C，则射线OC
平分∠AOB．你能说明道理吗？
图9
3．如图10，△ABC中，AB=AC，过点A作
GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的
延长线分别交GE于点E、G．试在图10中找出3
对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．图10
4．已知△ABC，AB=AC，E、F分别
为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF
交BC于G．求证：
EG=GF．图15
5．已知：
△ABC中，BD=CD，∠1＝∠2．求证：
AD平分∠BAC．
说明：
遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．
（2）利用角的平分线构造全等三角形：
①过角平分线上一点作两边的垂线段
练习：
如图22，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分
别平分∠ABC、∠BCD．求证：
AE=ED．
②以角的平分线为对称轴构造对称图形
例6：
如图23，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=2∠B．求证：
AB=AC+CD．
分析：
由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB上截取AE=AC，连接DE，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB分成AE和BE两段，只需证明BE=CD就可以了．
③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线
例7：
如图24，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．
求证：
∠ACE=∠B+∠ECD．
分析：
注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．
（3）利用角的平分线构造等腰三角形
如图25，在△ABC中，AD平分∠BAC，过点D作
DE∥AB，DE交AC于点E．易证△AED是等腰三角形．
因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线，
构造等腰三角形．图25
例11如图26，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BD于D，交BC于点E．
求证：
CD=
BE．
练习：
1．如图27，在△ABC中，∠B=90o，
AD为∠BAC的平分线，DF⊥AC于F，DE=DC．
求证：
BE=CF．
2．已知：
如图28，AD是△ABC的中线，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE=CF．
求证：
（1）AD是∠BAC的平分线；
（2）AB=AC．图28
3．在△ABC中，∠BAC=60o，∠C=40o，
AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q．
求证：
AB+BP=BQ+AQ．图29
4．如图30，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB=AC+CD．
求证：
∠C=2∠B．图30
5．如图31，E为△ABC的∠A的平分线
AD上一点，AB＞AC．
求证：
AB-AC＞EB-EC．图31
6．如图32，在四边形ABCD中，BC＞BA，
AD=CD，BD平分∠ABC．求证：
∠A+∠C=180o．
7．如图33所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，
∠3=∠4，直线DC过点E作交AD于点D，交
BC于点C．
求证：
AD+BC=AB．
8．已知，如图34，△ABC中，∠ABC=90o，
AB=BC，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：
CD=
AE．
9．△ABC中，AB=AC，∠A=100o，
BD是∠B的平分线．求证：
AD+BD=BC．
10．如图36，∠B和∠C的平分线相交于点F，
过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点
E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）
A．9B．8C．7D．6图36
11．如图37，△ABC中，AD平分∠BAC，AD交BC于点D，且D是BC的中点．
求证：
AB=AC．图37
12．已知：
如图38，△ABC中，AD是∠BAC
的平分线，E是BC的中点，EF∥AD，交AB于M，
交CA的延长线于F．求证：
BM=CF．
1.（2010年河南中考模拟题3）如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=450，将△ADC绕点A顺时针旋转900后，得到△AFB，连接ＥＦ，下列结论：
（１）△ＡＥＤ≌△ＡＥＦ；（２）△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ；（３）ＢＥ＋ＤＣ＝ＤＥ；（４）ＢＥ２＋ＤＣ２＝ＤＥ２．其中正确的是（ ）
A．
（2）（4）B．
（1）（4）C．
（2）（3）D．
（1）（3）
2.（2010年浙江杭州）在△ABC中，AB＝6，AC＝8，
BC＝10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC
于F，M为EF中点，则AM的最小值为．
3.（2010年中考模拟2）如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P.
（1）求证：
AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论.
4.（2010年北京市中考模拟）已知：
如图，在△ABC中，∠ACB=
，
于点D,点E在AC上，CE=BC,过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F.求证：
AB=FC
5．（2010年赤峰市中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC、CF，求证：
CA是∠DCF的平分线.
6.（10年广州市中考六模）、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在
BC、CD上移动，但A到EF的距离AH始终保持与AB长相等，问在E、F
移动过程中：
（1）求证：
∠EAF=45o;
（2）△ECF的周长是否有变化？
请说明理由.
7.（2010年天水模拟）如图，△A
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