322 复数代数形式的乘除运算 学案人教A版选修12.docx

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322复数代数形式的乘除运算学案人教A版选修12

3.2.2　复数代数形式的乘除运算

课标解读

1.掌握复数代数形式的乘、除运算．（重点）

2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．（难点）

3．理解共轭复数的概念．（易错点）

复数的乘法

【问题导思】　

1．如何规定两个复数相乘？

【提示】　两个复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

2．复数乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律吗？

【提示】　满足．

（1）设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则

z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i.

（2）对于任意z1，z2，z3∈C，有

交换律

z1·z2＝z2·z1

结合律

（z1·z2）·z3＝z1·（z2·z3）

乘法对加法的分配律

z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3

复数的除法与共轭复数

【问题导思】　

　如何规定两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R，c＋di≠0）相除？

【提示】　

＝

＝

＝

.

（1）z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d为实数，c＋di≠0），z1，z2进行除法运算时，通常先把（a＋bi）÷（c＋di）写成

的形式再把分子与分母都乘以c－di化简后可得结果：

＋

i.

（2）共轭复数

如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z的共轭复数用

表示．即z＝a＋bi，则

＝a－bi.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数.

复数代数形式的乘除法运算

（1）（2013·课标全国卷Ⅱ）设复数z满足（1－i）·z＝2i，则z＝（　　）

A．－1＋i　　B．－1－i　　C．1＋i　　D．1－i

（2）（2013·大纲全国卷）（1＋

i）3＝（　　）

A．－8B．8C．－8iD．8i

（3）计算（

）6＋

＝________.

【思路探究】　

（1）先设出复数z＝a＋bi，然后运用复数相等的充要条件求出a，b的值．

（2）直接利用复数的乘法运算法则计算．

（3）先计算

再乘方，且将

的分母实数化后再合并．

【自主解答】　

（1）设z＝a＋bi，则（1－i）（a＋bi）＝2i，即（a＋b）＋（b－a）i＝2i.

根据复数相等的充要条件得

解得

∴z＝－1＋i.故选A.

（2）原式＝（1＋

i）（1＋

i）2＝（1＋

i）（－2＋2

i）＝－2＋6i2＝－8.

（3）法一　原式＝

6＋

＝i6＋

＝－1＋i.

法二　原式＝

6＋

＝i6＋

＝－1＋i.

【答案】　

（1）A　

（2）A　（3）－1＋i

1．复数的乘法类比多项式相乘进行运算，复数除法要先写成分式形式后，再将分母实数化，注意最后结果要写成a＋bi（a，b∈R）的形式．

2．记住以下结论可以提高运算速度

（1）（1＋i）2＝2i，（1－i）2＝－2i；

（2）

＝－i，

＝i；

（3）

＝－i.

计算：

（1）（1－i）2；

（2）（－

＋

i）（

＋

i）（1＋i）；

（3）

.

【解】　

（1）（1－i）2＝1－2i＋i2＝－2i.

（2）（－

＋

i）（

＋

i）（1＋i）

＝（－

－

i＋

i＋

i2）（1＋i）

＝（－

＋

i－

）（1＋i）

＝（－

＋

i）（1＋i）

＝－

－

i＋

i－

＝－

＋

i.

（3）

＝

＝

＝

＋

i.

虚数单位i的幂的周期性及其应用

（1）计算：

＋（

）2013；

（2）若复数z＝

，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值．

【思路探究】　将式子进行适当的化简、变形，使之出现in的形式，然后再根据in的值的特点计算求解．

【自主解答】　

（1）原式＝

＋[（

）2]1006·（

）

＝i＋（

）1006·

＝i＋i1006·

＝－

＋

i

（2）1＋z＋z2＋…＋z2013＝

，

而z＝

＝

＝

＝i，

所以1＋z＋z2＋…＋z2013＝

＝

＝1＋i.

1．要熟记in的取值的周期性，要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．

2．如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．

在本例

（2）中若z＝i，求1＋z＋z2＋…＋z2013的值．

【解】　由题意知

1＋z＋z2＋…＋z2013＝1＋i＋i2＋…＋i2013

＝

＝

＝

＝1＋i.

∴原式＝1＋i.

共轭复数的应用

　设z1，z2∈C，A＝z1·

＋z2·

，B＝z1·

＋z2·

，问A与B是否可以比较大小？

为什么？

【思路探究】　设出z1，z2的代数形式→化简A，B→判断A，B是否同为实数→结论

【自主解答】　设z1＝a＋bi，

z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

则

＝a－bi，

＝c－di，

∴A＝z1·

＋z2·

＝（a＋bi）（c－di）＋（c＋di）（a－bi）

＝ac－adi＋bci－bdi2＋ac－bci＋adi－bdi2

＝2ac＋2bd∈R，

B＝z1·

＋z2·

＝|z1|2＋|z2|2

＝a2＋b2＋c2＋d2∈R，

∴A与B可以比较大小．

1．z·

＝|z|2＝|

|2是共轭复数的常用性质．

2．实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝

，利用此性质可以证明一个复数是实数．

3．若z≠0且z＋

＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．

已知z∈C，

为z的共轭复数，若z·

－3i

＝1＋3i，求z.

【解】　设z＝a＋bi（a，b∈R），则

＝a－bi（a，b∈R），

由题意得（a＋bi）（a－bi）－3i（a－bi）＝1＋3i，

即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，

则有

，

解得

或

，

所以z＝－1或z＝－1＋3i.

记错i2值而致误

　设复数z满足

＝i，则z＝（　　）

A．－2＋i　　　　　　　B．－2－i

C．2－iD．2＋i

【错解】　设复数z＝a＋bi（a，b∈R）满足

＝i，

所以1＋2i＝ai＋b.

解得

所以z＝2＋i，故选D项．

【答案】　D

【错因分析】　将i2＝－1当成i2＝1来运算漏掉负号．

【防范措施】　在进行乘除法运算时，灵活运用i的性质，并注意一些重要结论的灵活应用．

【正解】　设复数z＝a＋bi（a，b∈R）满足

＝i，

所以1＋2i＝ai－b.

解得

所以z＝2－i，故选C项．

【答案】　C

1．复数代数形式的乘除运算

（1）复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

（2）在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化．

2．共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题．

3．复数问题实数化思想．

复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数z＝a＋bi（a，b∈R），利用复数相等的充要条件转化.

1．（2012·北京高考）在复平面内，复数

对应的点的坐标为（　　）

A．（1,3）　　　　　　　B．（3,1）

C．（－1,3）D．（3，－1）

【解析】　

＝

＝

＝1＋3i，

∴其对应点的坐标为（1,3），选A.

【答案】　A

2．（2013·安徽高考）设i是虚数单位，若复数a－

（a∈R）是纯虚数，则a的值为（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

【解析】　因为a－

＝a－

＝a－

＝（a－3）－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.

【答案】　D

3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝________，y＝________.

【解析】　由题意得：

∴

【答案】　－1　1

4．计算：

（1）（1－i）（－

＋

i）（1＋i）；

（2）

；

（3）（2－i）2.

【解】　

（1）法一　（1－i）（－

＋

i）（1＋i）

＝（－

＋

i＋

i－

i2）（1＋i）

＝（

＋

i）（1＋i）

＝

＋

i＋

i＋

i2

＝－1＋

i.

法二　原式＝（1－i）（1＋i）（－

＋

i）

＝（1－i2）（－

＋

i）

＝2（－

＋

i）

＝－1＋

i.

（2）

＝

＝

＝

＝

＝i.

（3）（2－i）2＝（2－i）（2－i）

＝4－4i＋i2

＝3－4i.

一、选择题

1．复数（2＋i）2等于（　　）

A．3＋4i　　　　　　　B．5＋4i

C．3＋2iD．5＋2i

【解析】　（2＋i）2＝4＋4i＋i2＝4＋4i－1＝3＋4i.故选A.

【答案】　A

2．i是虚数单位，复数

＝（　　）

A．1－iB．－1＋i

C．1＋iD．－1－i

【解析】　

＝

＝

＝1＋i.

【答案】　C

3．（2013·课标全国卷Ⅰ）若复数z满足（3－4i）z＝|4＋3i|，则z的虚部为（　　）

A．－4B．－

C．4D．

【解析】　∵（3－4i）z＝|4＋3i|，∴z＝

＝

＝

＝

＋

i，∴z的虚部为

.

【答案】　D

4．若z＋

＝6，z·

＝10，则z＝（　　）

A．1±3iB．3±i

C．3＋iD．3－i

【解析】　设z＝a＋bi（a，b∈R），则

＝a－bi，

∴

，解得a＝3，b＝±1，则z＝3±i.

【答案】　B

5．（2013·湖北高考）在复平面内，复数z＝

（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（　　）

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

【解析】　z＝

＝

＝1＋i，所以

＝1－i，故复数z的共轭复数对应的点位于第四象限．

【答案】　D

二、填空题

6．（2013·江苏高考）设z＝（2－i）2（i为虚数单位），则复数z的模为________．

【解析】　z＝（2－i）2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝

＝5.

【答案】　5

7．若

＝a＋bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a＋b＝________.

【解析】　

＝

＝

[（3－b）＋（3＋b）i]＝

＋

i.

∴

解得

∴a＋b＝3.

【答案】　3

8．当z＝－

时，z2012＋z2014＝________.

【解析】　z＝－

，∴z2＝

＝－i，

∴z2012＝（－i）2012＝1，

z2014＝（－i）2014＝－1，

∴z2012＋z2014＝1－1＝0.

【答案】　0

三、解答题

9．计算下列各题：

（1）

＋

－

；

（2）

（

＋

i）5＋（

）4＋（

）7；

（3）（－

－

i）12＋（

）8.

【解】　

（1）原式＝[（1＋i）2]3

＋[（1－i）2]3·

－

＝（2i）3·i＋（－2i）3·（－i）－

＝8＋8－16－16i＝－16i.

（2）

（

＋

i）5＋（

）4＋（

）7

＝－i·（

）5·[（1＋i）2]2·（1＋i）＋[

]2＋i7

＝16

（－1＋i）－

－i

＝－（16

＋

）＋（16

－1）i.

（3）（－

－

i）