最优化单纯形法例题讲解.doc
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例1用单纯形法解下列问题：
解：
将原问题化成标准形：
x4与添加的松弛变量x5，x6在约束方程组中其系数列正好构成一个3阶单位阵，它们可以作为初始基变量，初始基可行解为X=（0,0,0,10,8,4）T
列出初始单纯形表，见表1。
表1
cj→
-1
2
-1
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
10
1
1
-2
1
0
0
0
x5
8
2
-1
4
0
1
0
0
x6
4
-1
[2]
-4
0
0
1
cj-zj
0
-1
2
-1
0
0
0
由于只有σ2>0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x2为换入非基变量；以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
因此确定2为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x2去置换基变量x6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x2的系数列（1,-1,2）T变换成x6的系数列（0,0,1）T，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
表2
cj→
-1
2
-1
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
8
3/2
0
0
1
0
-1/2
0
x5
10
3/2
0
[2]
0
1
1/2
2
x2
2
-1/2
1
-2
0
0
1/2
cj-zj
4
0
0
3
0
0
-1
检验数σ3=3>0，当前基可行解仍然不是最优解。
继续“换基”，确定2为主元素，即以非基变量x3置换基变量x5。
变换结果见表3。
表3
cj→
-1
2
-1
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
0
x4
8
3/2
0
0
1
0
-1/2
-1
x3
5
3/4
0
1
0
1/2
1/4
2
x2
12
1
1
0
0
1
1
cj-zj
19
-9/4
0
0
0
-3/2
-7/4
此时，3个非基变量的检验数都小于0，σ1=-9/4，σ5=-3/2，σ5=-7/4，表明已求得最优解：
。
去除添加的松弛变量，原问题的最优解为：
最小值为-19
例2用大法求解下列问题：
解引进松弛变量x4、、剩余变量x5和人工变量x6、x7，解下列问题：
用单纯形法计算如下：
表1
cj→
1
1
-3
0
0
M
M
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
11
1
-2
1
1
0
0
0
M
x6
3
2
1
-4
0
-1
1
0
M
x7
1
[1]
0
-2
0
0
0
1
cj-zj
4M
1-3M
1-M
-3+6M
0
M
0
0
由于σ1<σ2<0，说明表中基可行解不是最优解，所以确定x1为换入非基变量；以x1的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
因此确定1为主元素（表1中以防括号[]括起），意味着将以非基变量x1去置换基变量x7，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x1的系数列（1,2,1）T变换成x7的系数列（0,0,1）T，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表2。
表2
cj→
1
1
-3
0
0
M
M
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
10
0
-2
3
1
0
0
-1
M
x6
1
0
[1]
0
0
-1
1
-2
1
x1
1
1
0
-2
0
0
0
1
cj-zj
M+1
0
1-M
-1
0
M
0
3M-1
由于σ2<σ3<0，说明表中当前基可行解仍不是最优解，所以确定x2为换入非基变量；以x2的系数列的正分量对应去除常数列，最小比值所在行对应的基变量作为换出的基变量。
因此确定1为主元素，意味着将以非基变量x2去置换基变量x6，采取的做法是对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x2的系数列（-2,1,0）T变换成x6的系数列（0,1,0）T，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表3。
表3
cj→
1
1
-3
0
0
M
M
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
0
x4
12
0
0
[3]
1
-2
2
-5
1
x2
1
0
1
0
0
-1
1
-2
1
x1
1
1
0
-2
0
0
0
1
cj-zj
2
0
0
-1
0
1
M-1
M+1
由于只有σ3<0，表中当前基可行解仍不是最优解，所以确定x3为换入非基变量；又由于x3的系数列的正分量只有3，所以确定3为主元素，意味着将以非基变量x3去置换基变量x4，对约束方程组的系数增广矩阵实施初等行变换，将x3的系数列（3,0,-2）T变换成x4的系数列（1,0,0）T，变换之后重新计算检验数。
变换结果见表4。
表4
cj→
1
1
-3
0
0
M
M
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
-3
x3
4
0
0
1
1/3
-2/3
2/3
-5/3
1
x2
1
0
1
0
0
-1
1
-2
1
x1
9
1
0
0
2/3
-4/3
4/3
-7/3
cj-zj
-2
0
0
0
1/3
1/3
M-1/3
M-2/3
至此，无负的检验数且基变量中不含人工变量（即人工变量在基可行解中取0值），求得原问题的最优解：
，，，最小目标函数值为-2。
例3用两阶段法求解下列问题：
解将原问题化成标准形为：
第一阶段用单纯形法求解第一阶段的线性规划问题：
求解过程见表1。
表1
cj→
0
0
0
0
0
1
1
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7
1
x6
2
1
1
-1
0
0
1
0
1
x7
1
[1]
-1
0
-1
0
0
1
0
x5
3
1
0
0
0
1
0
0
cj-zj
3
-2
0
1
1
0
0
0
1
x6
1
0
[2]
-1
1
0
1
-1
0
x1
1
1
-1
0
-1
0
0
1
0
x5
2
0
1
0
1
1
0
-1
cj-zj
1
0
-2
1
-1
0
1
2
0
x2
1/2
0
1
-1/2
1/2
0
1/2
-1/2
0
x1
3/2
1
0
-1/2
-1/2
0
1/2
1/2
0
x5
3/2
0
0
1/2
1/2
1
-1/2
-1/2
cj-zj
0
0
0
0
0
0
2
1
因此，第一阶段求得最优解为，基变量为x1、x2和x5，不包含人工变量。
第二阶段以第一阶段的最终单纯形表为基础，除去人工变量x6、x7及其系数列，恢复目标价值向量为C=（2,-1,0,0,0）T，重新计算检验数，继续迭代，见表2。
表2
cj→
2
-1
0
0
0
CB
基
b
x1
x2
x3
x4
x5
-1
x2
1/2
0
1
-1/2
[1/2]
0
2
x1
3/2
1
0
-1/2
-1/2
0
0
x5
3/2
0
0
1/2
1/2
1
cj-zj
5/2
0
0
1/2
3/2
0
0
x4
1
0
2
-1
1
0
2
x1
2
1
0
-1
0
0
0
x3
1
0
-1
[1]
0
1
cj-zj
2
0
-3
2
0
0
0
x4
2
0
1
0
1
1
2
x1
3
1
-1
0
0
1
0
x3
1
0
-1
1
0
1
cj-zj
6
0
-1
0
0
-2
因此，求得原问题的最优解为，最大目标函数值为6。
例4用K—T条件求下列问题
解该问题的Lagrange函数是
由于
故该问题的K—T条件是
作为K—T点，除满足上述条件，自然还应满足可行性条件
为使求解易于进行，从互补松紧条件入手讨论：
1°设，，
由互补松紧条件知，由K—T条件知
再由可行性条件得到，但是显然不满足可行性，故此解舍弃。
2°设
由互补松紧条件知，再加上可行性条件知，从而由互补松紧条件知，将已知值代入易得=1，，易知这时K—T条件和可行性条件满足，因而为K—T点。
易见为凸函数，且为线性函数，由定理3.1.12知为全局最优解。
（正定，半正定）
例5用0.618法求解问题的近似最优解，已知的单峰区间为，要求最后区间精度。
解，，；
，；
因为，所以向左搜索，则
，；
，；
因为，所以向左搜索，则
，；
，；
因为，所以向右搜索，则
，；
，；
因为，所以向右搜索，则
，；
，；
因为，所以算法停止，得到
。
例6用FR共轭梯度法求解问题，要求选取初始点。
解，，，
，
令，则，于是；
则，，，，
，
令，则，于是；
则，，故为所求。
例7用外罚函数法求解：
解
即
于是
令
得：
最优值：
当时，，
例8用内罚函数法求解：
解定义障碍函数，
用解析法求，
令，
，
解得：
。
当时，，
故是原问题的最优解。
例9用内罚函数法求解：
解定义障碍函数，
用解析法求，
令，
解得：
。
当时，，故是原问题
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