14、该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为万元，一年的总运费与总存储费用之和为万元，≥160，当即20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小。
15、证明：
（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（a5-a3b2）+（b5-a2b3）
=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）
=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）
∵a,b都是正数，∴a+b,a2+ab+b2>0
又∵a≠b，∴（a-b）2>0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）>0
即：
a5+b5>a2b3+a3b2
16、分析:
本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法.关键是对前系数分类讨论.
解:
（1）当时，原不等式化为8<0，显然符合题意。
（2）当时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足：
解得
综合
（1）
（2）得的取值范围为。
17、解：
错误.
∵①等号当且仅当时成立，又∵②
等号当且仅当时成立，而①②的等号同时成立是不可能的.
正确解法：
∵且.
∴
，
当且仅当，即，又，∴这时
∴．
18、解：
设分别向甲、乙两项目投资万元，y万元，由题意知
（0,18）
x
O
（6,0）
（10,0）
M（4,6）
（0,10）
目标函数
作出可行域，作直线，并作平行于直线的一组直线，
，与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和0.3x+0.1y=1.8的交点，解方程组
解得x=4,y=6，此时z=1×4+0.5×6=7（万元）∵7>0∴当x=4、y=6时z取得最大值。
答：
投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。
19、解：
（1）先作出符合条件下函数的大致图象，如图所示，
根据图象列出关于函数解析式的参数a，b的关系式。
∵
又∈（－2，6），＞0；∈（－∞，－2）∪（6，+∞），＜0。
∴－2和6是方程的两根。
故
解得
此时，
∴欲使＜0恒成立，只要使恒成立，则须要满足：
①当时，原不等式化为，显然不合题意，舍去。
②当时,要使二次不等式的解集为，则必须满足：
解得
综合①②得的取值范围为。
20、解：
入世改革后经过n个月的纯收入为万元
不改革时的纯收入为
又
由题意建立不等式
即
故取
答：
经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入．
＝
2019-2020年高二数学必修5教案苏教版
一：
教学目标：
1、知道数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列。
2、理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。
二：
教学重点：
1、数列的概念及数列与集合的区别
2、数列与函数的关系
3、归纳数列的通项公式
三：
教学过程：
一、问题情境
（1）填数：
2，4，6，，10；
（2）：
-1，1，-1，1，……
（3）细胞分裂：
1，2，4，8，16，……，（象棋中放米粒）
（4）斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，……
（5）奥运会金牌数：
（1984-xx）15，5，16，16，28，32
问：
上面这些例子有什么共同的特点？
二、学生活动:
通过观察发现：
1、每一个问题里都有一系列的数
2、这些数有一定的次序，前后位置不能颠倒，并且有些数可以相同，但表示不同的意义。
通过讨论，得到这些情景的共同特点是都有一组按照一定次序排列的数。
三：
数学建构
1、数列：
按照一定次序排列的一列数
与集合比较：
（1）有序；
（2）不互异
2、数列的项：
数列中的每个数
用小写的英文字母：
简记为
第1项（首项），第n项
3、数列与函数的关系：
（1）定义域：
（或它的有限子集）
（2）自变量由小到大依次取值
（3）函数值
4、数列的通项公式：
数列的第n项与序号n之间的关系可用一个公式来表示
（1）作用：
给出一个数列
（1）数列简记为所有奇数前5项
（2）
（3）
（2）①不是每个数列都能写出它的通项公式；
②有的数列虽然有通项公式，但形式不唯一；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的
四：
数学运用
例1：
根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式.
摆动数列练：
（）
练：
（）
解：
练：
5．数列的表示方法：
函数、列表法、图象法，解析法
通项公式
例2：
数列的通项公式是：
，
做出图象；
数列中有多少项是负数？
为何值时，有最小值？
并求出最小值.
6．数列的分类：
恒成立
例3：
已知数列的通项公式为，其中均为正数，比较与的大小.
解：
增
练：
最大项是，最小项是.
五：
回顾小结
1、数列的概念及分类，数列和函数的关系
2、数列的通项公式
六：
课外作业
1、课后练习5，6
2、习题1，2，3，4，5，6
§2.2.1等差数列
教学目标
1．明确等差数列的定义．
2．能用定义判断一个数列是否为等差数列.
3．掌握等差数列的通项公式，了解等差数列通项公式的推导过程及思想，并能在解题中加以利用.
教学重点
1．等差数列的概念；
2．等差数列通项公式的推导及应用.
教学难点
理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义.
教学方法
启发式数学
教具准备
多媒体ppt（内容见下面）
教学过程
上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点.
一、问题情境
（1）影院双号的座位号为：
2，4，6，8，10，12；
（2）小明觉得自己的英语很好，单词量3000，今天起不背单词，每天忘掉5个，依次为：
3000，2995，2990，2985，2980；
（3）1986年，人类在地球上观测到哈雷慧星第5次出现，最早在1682年，每隔76年观测到一次，依次为：
1682，1758，1834，1910，1986，2062.
二、学生活动
请大家观察以上三个数列，看看这三个数列有什么共同特点？
生：
这些数列后一项与前一项之差是常数，分别是2、5、76.
三、建构数学
等差数列：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.
是等差数列（常数）
练习1下列数列是否是等差数列：
（1）3,7,11,15,19,23
（2）1,2,4,6,8,10,12
（3）3,3,3,3,3,3,3
（4）5,0,5,0,5,0,5
（5）8,6,5,2,0,-2,-4
归纳：
（Ⅰ）公差是由后项减前项所得，而不仅仅是前后两项的差；
（Ⅱ）对数列，若，则是等差数列，其中为公差.
练习2求证数列：
是等差数列.
分析：
要证一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只要证是一个与无关的常数.
证明：
由题可知：
∴
∴数列是等差数列
推导：
等差数列的通项公式
法一：
累加法
等差数列的首项是，公差是
∴
当时，左式＝，右式＝，即时，等式也成立
∴（）
法二：
递推法（不完全归纳法）
上式对亦成立∴
口答：
求引例的通项公式（学生）
根据等差数列的通项公式，再这四个量中，只要知道其中任意三个量，就可求出另一个量.（知三求一）
四：
数学运用
例1
（1）求等差数列的第20项
解：
∴
（2）是不是等差数列的项？
分析：
要判断是不是该数列的项，关键式求出数列的通项公式，看是否存在正整数，使得成立
解：
令得
即是该数列得第项
练习2.在等差数列中，已知，，求
解：
∴
∴
∴
思考：
能否不求，而利用等差数列项与项之间的关系求解？
猜想：
证明：
故
∴
五、回顾小结：
1.等差数列的概念；
2．用定义法判断数列是否为等差数列；
3．等差数列通项公式的推导及应用.
六、课外作业
1、课后练习及数学之友
§2.2.2等差数列的通项公式
教学目的：
1．理解等差中项的概念，会求两个数的等差中项；
2．初步掌握从等差数列中项的序号关系推断序号对应的项的关系；
3．会用等差中项等性质解决简单问题。
教学重点：
等差数列的性质
教学过程：
一、问题情境：
1、等差数列的定义
2、等差数列的通项公式
3、推导公式
例：
已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d：
（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新数列，
（2）取出数列中的所有奇数项，
（3）取出数列中所有项数为7的倍数的各项，这3个新数列是等差数列吗？
如果是，首项和公差分别是多少？
am+1,am+2,……am+n……首项是am+1，公差为d
a1,a3,a5……a2n+1……首项是a1，公差为2d
a7,a14,a21……a7n……首项是a7，公差为7d
二、学生活动
问题：
如果在a与b中间插入一个数A，
使a，A，b成等差数列，
那么A应满足什么条件？
证：
由a,A,b成等差数列，可得：
A-a=b-A
2A=a+b
即A-a=b-A
可以考虑一下反过来是否也成立？
2A=a+b
A-a=b-A
亦即a,A,b成等差数列
三、建构数学
1、定义:
如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。
不难发现：
在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。
符号化：
{an}为等差数列→2an=an-1+an+1（n≥2）
证：
在等差数列{an}中
若2an=an-1+an+1（n≥2）
则an－an-1＝an+1－an（n≥2）
由于n≥2且n∈N﹡
则a2－a1＝a3－a2=
a4-a3……＝an+1－an
=……=常数
所以{an}为等差数列
{an}为等差数列←→2an=an－1+an+1（n≥2）
证：
{an}为等差数列
设首项为a1,公差为d，
则通项公式为an=a1+（n-1）d
任取一项an=a1+（n-1）d（n≥2）
前一项为an-1=a1+（n-2）d=an-d
后一项为an+1=a1+nd=an+d
an-1+an+1=an-d+an+d=2an
例如：
数列1、3、5、7、9、11、13、……
有3是1和5的等差中项
5是3和7的等差中项
也是1和9的等差中项
即：
2×5=3+7=1+9
亦即：
2a3=a2+a4=a1+a5
7是5和9的等差中项
也是3和11
还是1和13的等差中项
即：
2×7=5+9=3+11=1+13
亦即：
2a4=a3+a5=a2+a6=a1+a7
进一步观察发现：
•引申：
an是它的前后“等距离”的项的等差中项。
·由于：
a3＋a3=a2+a4=a1+a5
3＋3＝2＋4＝1＋5
a4＋a4=a3+a5=a2+a6=a1+a7
4＋4＝3＋5＝2＋6＝1＋7
•猜测：
在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则
am+an=ap+aq
2、性质
在等差数列{an}中，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
证明：
由等差数列的通项公式得
am=a1+（m-1）d,an=a1+（n-1）d
ap=a1+（p-1）d,aq=a1+（q-1）d
则am+an=2a1+（m+n-2）d
ap+aq=2a1+（p+q-2）d
因为m+n=p+q
所以am+an=ap+aq
四、数学运用
例题1
在-1和8之间插入两个数a和b，使这四个数成等差数列，则a、b的值各是多少？
解：
这四个数分别为-1,a,b,8
则a为-1和b的等差中项
b为a和8的等差中项，
得：
故a,b的值分别是2和5。
例题2
在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,
求a2+a8的值。
解：
由a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5
得：
5a5=450
故：
a5=90
所以：
a2+a8=2a5=2×90=180
例题3已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数且p≠0，那么这个数列是否一定是等差数列？
如果是，其首项与公差是什么？
分析：
由等差数列的定义，要判定{an}是不是等差数列，只要看an-an-1（n≥2）是不是一个与n无关的常数就行了。
证明：
取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an（n≥2），
由已知条件：
an=pn+q得：
an=pn+q,an-1=p（n-1）+q
an-an-1=（pn+q）-[p（n-1）+q]
=pn+q–pn+p–q
=p
同样，我们反过来考虑一下：
若{an}为等差数列，
则an=a1+（n-1）d
即an=nd+a1-d
亦即an=pn+q（p，q为常数）
结论：
若{an}为等差数列，
当p≠0时，它是关于n的一次式。
如：
an=2n-1（首项为1，公差为2）
该数列的图象是直线y=2x-1上，均匀排开的无穷多个孤立点
当p＝0时，它是一常数数列。
如：
an=2
该数列的图象是在直线y=2上均匀排开的无穷多个孤立点。
问：
给定一个数列，如何判定它是一个等差数列？
（1）据定义，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数
即an-an-1=d（n≥2）
（2）据等差中项，每一项都是它前一项与后一项的等差中项
即2an=an-1+an+1（n≥1）
（3）据通项公式形式，它可以表示成关于n的一次式
即an=kn+b（k,b为常数）
例4（思考）四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求这四个数。
分析：
本题关键：
如何设未知量？
三个数成等差数列，可设三个数为a-d,a,a+d
四个数成等差数列，可设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d
这样设具有对称性，给解题带来方便。
法1：
设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d，依题意有
或
或或
法2：
设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d，依题意有
∴a=±,d=±
所以这四个数为－8，－5，－2，1或－1，2，5，8
或1，－2，－5，－8或8，5，2，－1
课堂练习:
1、求下列各题中两个数的等差中项
（1）100与180
（2）-2与6
2、在等差数列{an}中，若a3+a9+a15+a21=8,求a12。
3、由下列等差数列的通项公式，求首项和公差。
（1）an=3n+6
（2）an=-2n+7
五：
回顾小结
首先，需掌握等差中项的概念及等差数列通项公式的图形特征和有关性质
其次，在设元求数列的时候一定要注意对称性
另外，还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活运用。
六、课外作业
数学之友
§2.2.3等差数列的前n项和
教学目的：
（1）掌握等差数列前n项和的公式及推导该公式的数学思想方法，并能用公式解决一些简单的问题
（2）探素活动中培养学生观察、分析的能力，培养学生由特殊到一般的归纳能力
教学重点：
等差数列的前n项和；
教学难点：
前n项和的求法及实际应用，等差数列与函数性质；
教学过程：
一、问题情境
1.复习引入
（1）
（2）
（2）
（3）
（4）是的等差中项
2.思考：
1+2+3+4+…+100=？
二、学生活动
思考：
一堆钢管共有9层，它的每层钢管数成等差数列分布，求钢管总数；
三、建构数学
一般地，设有等差数列{an}，它的前n项和是sn，即
sn=；
根据等差数列通项公式，上式可以写成：
sn=a1+（a1+d）+（a1+2d）+…+[a1+（n-1）d]；
又可以写成：
sn=an+（an-d）+（an-2d）+…+[an-（n-1）d]；
两式相加即得（公式说明知道首项和第n项及项数就可以求前n项和）
因为an=a1+（n-1）d，所以公式还可以写成：
；
公式说明知道首项和项数及公差就可以求前n项和
四、数学运用
例题分析
（1）若等差数列-10，-6，-2，…中，前n项和=54，求n及通项公式；
（2）等差数列中，，求
（3）已知一个等差数列的前10项和是310，前20项和是220，求前n项和；
（4）等差数列中，，求
（5）某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50米，最远一根电线杆距离电站1550米，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工，若汽车往返运输总行程为17500米，试求：
（1）共竖立多少根电线杆？
（2）第一根电线杆距离电站多少米？
解：
由题意汽车逐趟往返运输行程组成一个等差数列，记为，则
n取10，
3.补充：
等差数列{an}中，
（1）a2=18，a10+a12=0，求a1，d和Sn的最大值（20，-2，110）
（2）d=2，an=11，Sn=35，求a1；（3或-1）
（3）d=，S100=145，求a1+a3+a5+…+a99的值；（60）
（4）Sn=3n2+2n，求d（=6）
（5）a1=13，S3=S11，求Sn的最大值；（S7=49）
4.设等差数列中的前n项和为，已知
（1）求公差d的取值范围；
（2）指出中哪个值最大？
最大
5.等差数列前12项和为84，前20项和为460，求前28项和；
6.一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和；
五、回顾小结
1、掌握等差数列前n项和的公式及推导方法
2、熟练运用数列前n项和的公式解决一些简单的
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