高二数学必修5 不等式 上学期.docx

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高二数学必修5不等式上学期

2019-2020年高二数学必修5不等式上学期

一、选择题:

1、若,且,则下列不等式一定成立的是  ()

A.B.C.D.

2、函数

的定义域为()

A.B.C.D.

3、已知,则()

A.B.

C.D.

4、不等式的解集为()

A.B.C.D.

5、已知等比数列的各项均为正数,公比,设,,则P与Q的大小关系是()

A.P>QB.P

6、已知正数x、y满足,则的最小值是()

A.18    B.16    C.8  D.10

7、下列命题中正确的是()

A.当

B.当,

C.当,的最小值为D.当无最大值

8、设直角三角形两直角边的长分别为a和b,斜边长为c,斜边上的高为h,则和

的大小关系是()

A.    B.   

C.   D.不能确定

9、在约束条件

下,当时,目标函数

的最大值的变化范围是()

A.B.C.D.

10、若关于的不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是()

A.B.C.D.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

二、填空题

11、设满足且则的最大值是。

12、已知变量满足约束条件1≤≤4,-2≤≤2。

若目标函数仅在点(3,1)处取得最大值,则a的取值范围为___________.

13、设a>0,且a1,函数f(x)=alg(x2-2a+1)有最小值,则不等式loga(x2-5x+7)>0的解集为___________.

14、某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则_______

三、解答题

15、已知a,b都是正数,并且a≠b,求证:

a5+b5>a2b3+a3b2

16、关于x的不等式的解集为空集,求实数k的取值范围.

 

17、已知正数满足,求的最小值有如下解法:

解:

∵且.∴

∴.判断以上解法是否正确?

说明理由;若不正确,请给出正确解法.

 

 

19、制订投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损,某投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能出的最大盈利率分别为100%和50%,可能的最大亏损率分别为30%和10%,投资人计划投资金额不超过10万元,要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元,问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元?

才能使可能的盈利最大?

 

18、已知函数

,当时,;当时,。

①求a、b的值;②设

则当k取何值时,函数F(x)的值恒为负数?

 

20、某公司按现有能力,每月收入为70万元,公司分析部门测算,若不进行改革,入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得入世第一个月收入将减少3万元,以后逐月多减少2万元,如果进行改革,即投入技术改造300万元,且入世后每月再投入1万元进行员工培训,则测算得自入世后第一个月起累计收入与时间n(以月为单位)的关系为=,且入世第一个月时收入将为90万元,第二个月时累计收入为170万元,问入世后经过几个月,该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

 

高二数学(必修5)不等式参考答案

参考答案:

1——10DBAAAABACA

11、212、(1,+∞)13、(2,3)14、20

3、若a<0,则在上为减函数,∵,∴

6、解法一:

(利用均值不等式)

当且仅当

即时“=”号成立,故此函数最小值是18。

解法二:

(消元法)由得,由

当且仅当即时“=”号成立,故此函数最小值是18。

8、由面积公式可知,则=

=<0

9、分析:

可得交点为:

1当时可行域是四边形OABC,

此时,

②当时可行域是△OA此时,,故选D.

10、因函数在上得最小值为-3,故

11、由,即。

故=

12、分析:

由约束条件1≤≤4,-2≤≤2在坐标

系中画出可行域,如图为四边形ABCD,其中A(3,1),

,目标函数(其中)

中的z表示斜率为-a的直线系中的截距的大小,若仅

在点处取得最大值,则斜率应小于,即,

所以的取值范围为(1,+∞)。

13、由函数f(x)=alg(x2-2a+1)有最小值,可知有最小值,

而,故,因此。

所以求不等式loga(x2-5x+7)>0解可转化为求0

14、该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买吨,则需要购买次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为万元,一年的总运费与总存储费用之和为万元,≥160,当即20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小。

15、证明:

(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=(a5-a3b2)+(b5-a2b3)

=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)

=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)

∵a,b都是正数,∴a+b,a2+ab+b2>0

又∵a≠b,∴(a-b)2>0∴(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0

即:

a5+b5>a2b3+a3b2

16、分析:

本题考查含参数的“形式”二次不等式的解法.关键是对前系数分类讨论.

解:

(1)当时,原不等式化为8<0,显然符合题意。

(2)当时,要使二次不等式的解集为空集,则必须满足:

解得

综合

(1)

(2)得的取值范围为。

17、解:

错误.

∵①等号当且仅当时成立,又∵②

等号当且仅当时成立,而①②的等号同时成立是不可能的.

正确解法:

∵且.

 

当且仅当,即,又,∴这时

∴.

18、解:

设分别向甲、乙两项目投资万元,y万元,由题意知

(0,18)

x

O

(6,0)

(10,0)

M(4,6)

(0,10)

目标函数

作出可行域,作直线,并作平行于直线的一组直线,

,与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的M点,且与直线的距离最大,这里M点是直线和0.3x+0.1y=1.8的交点,解方程组

解得x=4,y=6,此时z=1×4+0.5×6=7(万元)∵7>0∴当x=4、y=6时z取得最大值。

答:

投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过1.8万元的前提下,使可能的盈利最大。

19、解:

(1)先作出符合条件下函数的大致图象,如图所示,

根据图象列出关于函数解析式的参数a,b的关系式。

又∈(-2,6),>0;∈(-∞,-2)∪(6,+∞),<0。

∴-2和6是方程的两根。

解得

此时,

∴欲使<0恒成立,只要使恒成立,则须要满足:

①当时,原不等式化为,显然不合题意,舍去。

②当时,要使二次不等式的解集为,则必须满足:

解得

综合①②得的取值范围为。

20、解:

入世改革后经过n个月的纯收入为万元

不改革时的纯收入为

由题意建立不等式

故取

答:

经过13个月改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.

2019-2020年高二数学必修5教案苏教版

一:

教学目标:

1、知道数列的概念,了解数列的分类,理解数列是一种特殊的函数,会用列表法和图象法表示数列。

2、理解数列通项公式的概念,会根据通项公式写出数列的前几项,会根据简单数列的前几项写出数列的通项公式。

二:

教学重点:

1、数列的概念及数列与集合的区别

2、数列与函数的关系

3、归纳数列的通项公式

三:

教学过程:

一、问题情境

(1)填数:

2,4,6,,10;

(2):

-1,1,-1,1,……

(3)细胞分裂:

1,2,4,8,16,……,(象棋中放米粒)

(4)斐波那契数列:

1,1,2,3,5,8,13,……

(5)奥运会金牌数:

(1984-xx)15,5,16,16,28,32

问:

上面这些例子有什么共同的特点?

二、学生活动:

通过观察发现:

1、每一个问题里都有一系列的数

2、这些数有一定的次序,前后位置不能颠倒,并且有些数可以相同,但表示不同的意义。

通过讨论,得到这些情景的共同特点是都有一组按照一定次序排列的数。

三:

数学建构

1、数列:

按照一定次序排列的一列数

与集合比较:

(1)有序;

(2)不互异

2、数列的项:

数列中的每个数

用小写的英文字母:

简记为

第1项(首项),第n项

3、数列与函数的关系:

(1)定义域:

(或它的有限子集)

(2)自变量由小到大依次取值

(3)函数值

4、数列的通项公式:

数列的第n项与序号n之间的关系可用一个公式来表示

(1)作用:

给出一个数列

(1)数列简记为所有奇数前5项

(2)

(3)

(2)①不是每个数列都能写出它的通项公式;

②有的数列虽然有通项公式,但形式不唯一;

③仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的

四:

数学运用

例1:

根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式.

摆动数列练:

()

练:

()

解:

练:

5.数列的表示方法:

函数、列表法、图象法,解析法

通项公式

例2:

数列的通项公式是:

做出图象;

数列中有多少项是负数?

为何值时,有最小值?

并求出最小值.

6.数列的分类:

恒成立

例3:

已知数列的通项公式为,其中均为正数,比较与的大小.

解:

练:

最大项是,最小项是.

五:

回顾小结

1、数列的概念及分类,数列和函数的关系

2、数列的通项公式

六:

课外作业

1、课后练习5,6

2、习题1,2,3,4,5,6

§2.2.1等差数列

教学目标

1.明确等差数列的定义.

2.能用定义判断一个数列是否为等差数列.

3.掌握等差数列的通项公式,了解等差数列通项公式的推导过程及思想,并能在解题中加以利用.

教学重点

1.等差数列的概念;

2.等差数列通项公式的推导及应用.

教学难点

理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义.

教学方法

启发式数学

教具准备

多媒体ppt(内容见下面)

教学过程

上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点.

一、问题情境

(1)影院双号的座位号为:

2,4,6,8,10,12;

(2)小明觉得自己的英语很好,单词量3000,今天起不背单词,每天忘掉5个,依次为:

3000,2995,2990,2985,2980;

(3)1986年,人类在地球上观测到哈雷慧星第5次出现,最早在1682年,每隔76年观测到一次,依次为:

1682,1758,1834,1910,1986,2062.

二、学生活动

请大家观察以上三个数列,看看这三个数列有什么共同特点?

生:

这些数列后一项与前一项之差是常数,分别是2、5、76.

三、建构数学

等差数列:

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示.

是等差数列(常数)

练习1下列数列是否是等差数列:

(1)3,7,11,15,19,23

(2)1,2,4,6,8,10,12

(3)3,3,3,3,3,3,3

(4)5,0,5,0,5,0,5

(5)8,6,5,2,0,-2,-4

归纳:

(Ⅰ)公差是由后项减前项所得,而不仅仅是前后两项的差;

(Ⅱ)对数列,若,则是等差数列,其中为公差.

练习2求证数列:

是等差数列.

分析:

要证一个数列是等差数列,根据等差数列的定义,只要证是一个与无关的常数.

证明:

由题可知:

∴数列是等差数列

推导:

等差数列的通项公式

法一:

累加法

等差数列的首项是,公差是

当时,左式=,右式=,即时,等式也成立

∴()

法二:

递推法(不完全归纳法)

上式对亦成立∴

口答:

求引例的通项公式(学生)

根据等差数列的通项公式,再这四个量中,只要知道其中任意三个量,就可求出另一个量.(知三求一)

四:

数学运用

例1

(1)求等差数列的第20项

解:

(2)是不是等差数列的项?

分析:

要判断是不是该数列的项,关键式求出数列的通项公式,看是否存在正整数,使得成立

解:

令得

即是该数列得第项

练习2.在等差数列中,已知,,求

解:

思考:

能否不求,而利用等差数列项与项之间的关系求解?

猜想:

证明:

五、回顾小结:

1.等差数列的概念;

2.用定义法判断数列是否为等差数列;

3.等差数列通项公式的推导及应用.

六、课外作业

1、课后练习及数学之友

§2.2.2等差数列的通项公式

教学目的:

1.理解等差中项的概念,会求两个数的等差中项;

2.初步掌握从等差数列中项的序号关系推断序号对应的项的关系;

3.会用等差中项等性质解决简单问题。

教学重点:

等差数列的性质

教学过程:

一、问题情境:

1、等差数列的定义

2、等差数列的通项公式

3、推导公式

例:

已知一个无穷等差数列的首项为a1,公差为d:

(1)将数列中的前m项去掉,其余各项组成一个新数列,

(2)取出数列中的所有奇数项,

(3)取出数列中所有项数为7的倍数的各项,这3个新数列是等差数列吗?

如果是,首项和公差分别是多少?

am+1,am+2,……am+n……首项是am+1,公差为d

a1,a3,a5……a2n+1……首项是a1,公差为2d

a7,a14,a21……a7n……首项是a7,公差为7d

二、学生活动

问题:

如果在a与b中间插入一个数A,

使a,A,b成等差数列,

那么A应满足什么条件?

证:

由a,A,b成等差数列,可得:

A-a=b-A

2A=a+b

即A-a=b-A

可以考虑一下反过来是否也成立?

2A=a+b

A-a=b-A

亦即a,A,b成等差数列

三、建构数学

1、定义:

如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项。

不难发现:

在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项。

符号化:

{an}为等差数列→2an=an-1+an+1(n≥2)

证:

在等差数列{an}中

若2an=an-1+an+1(n≥2)

则an-an-1=an+1-an(n≥2)

由于n≥2且n∈N﹡

则a2-a1=a3-a2=

a4-a3……=an+1-an

=……=常数

所以{an}为等差数列

{an}为等差数列←→2an=an-1+an+1(n≥2)

证:

{an}为等差数列

设首项为a1,公差为d,

则通项公式为an=a1+(n-1)d

任取一项an=a1+(n-1)d(n≥2)

前一项为an-1=a1+(n-2)d=an-d

后一项为an+1=a1+nd=an+d

an-1+an+1=an-d+an+d=2an

 

例如:

数列1、3、5、7、9、11、13、……

有3是1和5的等差中项

5是3和7的等差中项

也是1和9的等差中项

即:

2×5=3+7=1+9

亦即:

2a3=a2+a4=a1+a5

7是5和9的等差中项

也是3和11

还是1和13的等差中项

即:

2×7=5+9=3+11=1+13

亦即:

2a4=a3+a5=a2+a6=a1+a7

进一步观察发现:

•引申:

an是它的前后“等距离”的项的等差中项。

 

·由于:

a3+a3=a2+a4=a1+a5

3+3=2+4=1+5

a4+a4=a3+a5=a2+a6=a1+a7

4+4=3+5=2+6=1+7

•猜测:

在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则

am+an=ap+aq

2、性质

在等差数列{an}中,若m+n=p+q,则am+an=ap+aq

证明:

由等差数列的通项公式得

am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d

ap=a1+(p-1)d,aq=a1+(q-1)d

则am+an=2a1+(m+n-2)d

ap+aq=2a1+(p+q-2)d

因为m+n=p+q

所以am+an=ap+aq

四、数学运用

例题1

在-1和8之间插入两个数a和b,使这四个数成等差数列,则a、b的值各是多少?

解:

这四个数分别为-1,a,b,8

则a为-1和b的等差中项

b为a和8的等差中项,

得:

故a,b的值分别是2和5。

例题2

在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,

求a2+a8的值。

解:

由a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5

得:

5a5=450

故:

a5=90

所以:

a2+a8=2a5=2×90=180

 

例题3已知数列的通项公式为an=pn+q,其中p,q是常数且p≠0,那么这个数列是否一定是等差数列?

如果是,其首项与公差是什么?

分析:

由等差数列的定义,要判定{an}是不是等差数列,只要看an-an-1(n≥2)是不是一个与n无关的常数就行了。

证明:

取数列{an}中的任意相邻两项an-1与an(n≥2),

由已知条件:

an=pn+q得:

an=pn+q,an-1=p(n-1)+q

an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]

=pn+q–pn+p–q

=p

同样,我们反过来考虑一下:

若{an}为等差数列,

则an=a1+(n-1)d

即an=nd+a1-d

亦即an=pn+q(p,q为常数)

结论:

若{an}为等差数列,

当p≠0时,它是关于n的一次式。

如:

an=2n-1(首项为1,公差为2)

该数列的图象是直线y=2x-1上,均匀排开的无穷多个孤立点

当p=0时,它是一常数数列。

如:

an=2

该数列的图象是在直线y=2上均匀排开的无穷多个孤立点。

问:

给定一个数列,如何判定它是一个等差数列?

(1)据定义,从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数

即an-an-1=d(n≥2)

(2)据等差中项,每一项都是它前一项与后一项的等差中项

即2an=an-1+an+1(n≥1)

(3)据通项公式形式,它可以表示成关于n的一次式

即an=kn+b(k,b为常数)

例4(思考)四个数成等差数列,其四个数的平方和为94,第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18,求这四个数。

分析:

本题关键:

如何设未知量?

三个数成等差数列,可设三个数为a-d,a,a+d

四个数成等差数列,可设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d

这样设具有对称性,给解题带来方便。

法1:

设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d,依题意有

或或

法2:

设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意有

∴a=±,d=±

所以这四个数为-8,-5,-2,1或-1,2,5,8

或1,-2,-5,-8或8,5,2,-1

课堂练习:

1、求下列各题中两个数的等差中项

(1)100与180

(2)-2与6

2、在等差数列{an}中,若a3+a9+a15+a21=8,求a12。

3、由下列等差数列的通项公式,求首项和公差。

(1)an=3n+6

(2)an=-2n+7

五:

回顾小结

首先,需掌握等差中项的概念及等差数列通项公式的图形特征和有关性质

其次,在设元求数列的时候一定要注意对称性

另外,还应注意等差数列的定义、通项公式、性质的灵活运用。

六、课外作业

数学之友

§2.2.3等差数列的前n项和

教学目的:

(1)掌握等差数列前n项和的公式及推导该公式的数学思想方法,并能用公式解决一些简单的问题

(2)探素活动中培养学生观察、分析的能力,培养学生由特殊到一般的归纳能力

教学重点:

等差数列的前n项和;

教学难点:

前n项和的求法及实际应用,等差数列与函数性质;

教学过程:

一、问题情境

1.复习引入

(1)

(2)

(2)

(3)

(4)是的等差中项

2.思考:

1+2+3+4+…+100=?

二、学生活动

思考:

一堆钢管共有9层,它的每层钢管数成等差数列分布,求钢管总数;

三、建构数学

一般地,设有等差数列{an},它的前n项和是sn,即

sn=;

根据等差数列通项公式,上式可以写成:

sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d];

又可以写成:

sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d];

两式相加即得(公式说明知道首项和第n项及项数就可以求前n项和)

因为an=a1+(n-1)d,所以公式还可以写成:

公式说明知道首项和项数及公差就可以求前n项和

四、数学运用

例题分析

(1)若等差数列-10,-6,-2,…中,前n项和=54,求n及通项公式;

(2)等差数列中,,求

(3)已知一个等差数列的前10项和是310,前20项和是220,求前n项和;

(4)等差数列中,,求

(5)某电站沿一条公路竖立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是50米,最远一根电线杆距离电站1550米,一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工,若汽车往返运输总行程为17500米,试求:

(1)共竖立多少根电线杆?

(2)第一根电线杆距离电站多少米?

解:

由题意汽车逐趟往返运输行程组成一个等差数列,记为,则

n取10,

3.补充:

等差数列{an}中,

(1)a2=18,a10+a12=0,求a1,d和Sn的最大值(20,-2,110)

(2)d=2,an=11,Sn=35,求a1;(3或-1)

(3)d=,S100=145,求a1+a3+a5+…+a99的值;(60)

(4)Sn=3n2+2n,求d(=6)

(5)a1=13,S3=S11,求Sn的最大值;(S7=49)

4.设等差数列中的前n项和为,已知

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出中哪个值最大?

最大

5.等差数列前12项和为84,前20项和为460,求前28项和;

6.一个等差数列的前10项和为100,前100项和为10,求前110项之和;

五、回顾小结

1、掌握等差数列前n项和的公式及推导方法

2、熟练运用数列前n项和的公式解决一些简单的

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