高三理科数学第一轮复习不等式的证明讲义有答案.docx

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高三理科数学第一轮复习不等式的证明讲义有答案

2013高三理科数学第一轮复习不等式的证明讲义（有答案）

班级__________姓名______________

不等式证明的重要方法:

1.比较法（差值比较和商值比较）

2.放缩法

3.利用均值不等式及柯西不等式等

4.利用函数的单调性

5.数学中的常用方法:

数形结合法,换元法,分类讨论,数学归纳法.

例.设

≥

＞0,求证：

≥

.

例.已知

求证：

.

例.

（1）设x是正实数，求证：

（x＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8x3；

（2）若x∈R，不等式（x＋1）（x2＋1）（x3＋1）≥8x3是否仍然成立？

如果成立，请给出证明；

例.已知

求证：

例.已知

证明：

例.已知非零向量

，且

，求证：

例.

（1）已知

，求证：

（2）已知1≤x2＋y2≤2，求证：

≤x2－xy＋y2≤3.

例.设

求证：

不等式

例.设

求证：

例.若

都是小于1的正数，求证：

不可能同时大于

．

例.已知a＞0，b＞0，且a+b=1

求证

（a+

）（b+

）≥

。

例.已知a＞1，n≥2，n∈N*.求证：

－1＜

.

例.求使

≤a

（x＞0，y＞0）恒成立的a的最小值。

例.三个同学对问题“关于

的不等式

＋25＋|

－5

|≥

在[1，12]上恒成立，求实数

的取值范围”提出各自的解题思路。

甲说：

“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；

乙说：

“把不等式变形为左边含变量

的函数，右边仅含常数，求函数的最值”；

丙说：

“把不等式两边看成关于

的函数，作出函数图像”；

参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即

的取值范围是。

例.在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…Pn中，若1≤i＜j≤m时Pi＞Pj（即前面某数大于后面某数），则称Pi与Pj构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列

的逆序数为an，如排列21的逆序数

，排列321的逆序数

。

（Ⅰ）求a4、a5，并写出an的表达式；

（Ⅱ）令

，证明

，n=1,2,…。

例.已知a＞0，函数f（x）＝ax－bx2。

（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明a≤2

；

（2）当b＞1时，证明：

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件是b－1≤a≤2

；

（3）当0＜b≤1时，讨论：

对任意x∈［0，1］，|f（x）|≤1的充要条件。

参考答案