九年级数学似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化沪教版.docx

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九年级数学似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化沪教版

相似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化

一、一周知识概述

（一）相似三角形的性质

1、相似三角形的性质

（1）：

相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．

　　其符号语言：

如图

　　①∵△ABC∽△A′B′C′，AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，

　　②∵△ABC∽△A′B′C′，BF=CF，B′F′=C′F′，

　　③∵△ABC∽△A′B′C′，∠BAE=∠CAE，∠B′A′E′=∠C′A′E′，

温馨提示：

　　三角形的高、中线、角平分线是三角形的重要线段，在涉及以上线段的证明或计算时，要注意运用相似三角形的性质定理

（1）．

2、相似三角形的性质

（2）：

相似三角形的周长的比等于相似比．

　　如图，其符号语言：

温馨提示：

　　性质定理

（1）与

（2）可简记为：

相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比．

3、相似三角形的性质（3）：

相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

（二）出入相补原理与测量

　　如：

如图，P是矩形ABCD的对角线BD上任意一点，过点P分别作两组对边的平行线RR1、QQ1，则有

．

　　由于面积割补相当于面积的增减，“出”意味着减少，“入”意味着增加．所以上面的方法称为相补原理．

二、重点难点疑点突破

相似三角形的面积与相似比问题

　　如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD、A′D′分别是对应高．

　　∵△ABC∽△A′B′C′，

　　由此得出相似三角形面积的比等于相似比的平方．

　　学习时要注意：

　　①相似三角形面积的比等于相似比的平方，即

　　这一结果在解决有关相似三角形面积问题时，可以直接应用；

　　②“等高的三角形面积比等于底的比”、“等底的三角形面积比等于高的比”，这一结论不要与“相似三角形面积的比等于相似比的平方”混淆；

　　③利用相似三角形的性质解题时，应首先想到由相似三角形的定义得到的基本性质；对应角相等，对应边成比例；

　　④要注意综合运用相似三角形的判定与性质等进行解题．

三、解题方法技巧点拨

1、相似三角形的对应线段与相似比

例1、如图所示，D是BC上一点，△ABC∽△DBA，E，F分别是AC，AD的中点，且AB=28，BC=36，求BE:

BF．

解析：

　　BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，而AC，AD又恰是相似三角形ABC和三角形DBA的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答．

　　因为△ABC∽△DBA，且BC=36，AB=28，所以相似比

．

　　又因为BE，BF分别是△ABC，△ABD中AC，AD边上的中线，

．

　　点拨：

利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确．

例2、如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约有12个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60cm，求电线杆的高．

分析：

　　在图上标出字母，题设中“30米”是点A到电线杆BC的距离；臂长AN=60cm=0.6m，是点A到竖直小尺DE的距离，故可用相似三角形的性质

（1）列方程解之．

解：

　　作AM⊥BC于M，交DE于N．设电线杆高BC=x米，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，

．解得x=6（米）．

答：

电线杆的高约6米．

　　点拨：

本题根据相似三角形的性质定理

（1）——相似三角形对应高的比等于相似比，得出比例式，列出方程求解．

2、相似三角形的周长与相似比

例3、如果两个相似三角形的对应边的比为4:

5，它们的周长和为72cm，求这两个三角形的周长．

分析：

　　利用相似三角形的性质定理

（2）．

　　设周长较小的三角形周长为xcm，则周长较大的三角形周长为（72－x）cm．由

．解得x=32，72－x=40，即两个三角形的周长分别是32cm、40cm．

　　点拨：

根据相似三角形的性质得到比例式（等量关系），列出方程或方程组求解的方法，是解决几何计算问题的常用方法，本题也可设这两个三角形的周长为4xcm、5xcm，列方程求解．

3、相似三角形的面积与相似比

例4、如图，△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC=3S△EFD．求S△ADE:

S△ABC．

分析：

　　图中DE∥BC，构成“A型”与“X型”两种“平行线型”相似三角形．求S△ADE:

S△ABC，只要求出DE:

BC即可．

　　点拨：

本题综合运用了“等高的三角形面积比等于底之比”，三角形一边平行线的性质、预备定理及相似三角形的性质定理（3）等定理．

例5、已知如图，在梯形ABCD中，AB=5，CD=2，对角线AC、BD交于点O，求△COD、△AOD、△AOB与△BOC的面积比．

解析：

　　△COD与△AOB是相似三角形，可利用面积比等于相似比的平方．而△AOD与△COD是等高不同底的三角形，其面积比等于它们底的比．

解：

　　∵CD∥AB

　　∴△AOB∽△COD

　　∴S△COD:

S△AOB=CD2:

AB2=4:

25

　　又∵CO:

OA=CD:

AB=2:

5

　　∴S△COD:

S△AOD=2:

5=4:

10

　　∵DO:

OB=CD:

AB=2:

5

　　∴S△COD:

S△BOC=2:

5=4:

10

　　∴S△COD:

S△AOD:

S△AOB:

S△BOC=4:

10:

25:

10

　　点拨：

注意：

（1）不是相似三角形的面积比不能乱用相似比的平方．

（2）将S△COD:

S△AOD的比2:

5化为4:

10，目的是与前面的比统一．

4、出入相补原理问题

例6、为了测量操场中的旗杆有多高，用一根标杆PQ试插在适当的地方，使点Q在AD上，且使标杆PQ的顶端P的影子恰好和旗杆顶端B的影子D相重合．设标杆PQ=2米，旗杆的影长AD=a米，PQ的影长DQ=b米，求旗杆AB的长．

分析：

　　如果把旗杆AB和它的影子AD当作一个矩形的两边，那么光线BD就是矩形的一条对角线，于是已满足使用出入相补原理的条件．

解法一：

　　如图，作辅助矩形ABCD，过点P分别作矩形两边的平行线，设旗杆AB=x，据出入相补原理，有

5、相似三角形性质的综合应用

例7、（2006年浙江省）如示意图，小华家（点A处）和公路（l）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路记为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路BC段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家到公路的距离（精确到1m）．

分析：

　　本题是一道与相似三角形有关的实际问题．首先根据已知条件画出图形，作出A到公路L的距离AF，由已知得DE∥BC，进而得到△ADE∽△ABC，易求BC的长，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比，可求出小华家到公路的距离AF．

解：

　　画射线AD，AE，分别交l于点B，C．

　　过点A作AF⊥BC，垂足为点F，AF交DE于点H．

　　∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠DAE=∠BAC．

　　∴△ADE∽△ABC．

　　根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得

．

　　由题意，得DE=35，HF=40，

．

　　解法1：

设AF=x，则AG=x－40，所以

．

例8、如图，矩形PQMN的顶点P、N分别在AB、AC上，QM在BC边上．若BC=a，高AD=h，且PN=2PQ，求矩形PQMN的周长．

分析：

　　求矩形PQMN的周长，只要求出PQ即可，这由相似三角形性质定理

（1）易求．

解：

　　设PQ=x，则PN=2x，设高AD与PN相交于点E，

　　∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC．

　　点拨：

本题是教材例题的变形．在用相似三角形的性质解答时，一定要先由题设证明两个三角形相似．在解由比例式得出的含有字母系数的方程时，要认真、细心．

例9、如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE是∠BCD的平分线，CE⊥AD，DE=2AE，CE将梯形分成面积为S1和S2两部分，若S1=1，求S2．

解析：

　　利用“角平垂，等腰归”的思想，将图形补全为一等腰三角形．又由AB∥CD，想到补出的小三角形与等腰三角形相似，故可利用相似三角形面积的比等于相似比的平方来解．

　　延长CB，DA相交于F，设△ABF的面积为S3．

　　由∠1=∠2，且CE⊥AD，得△FCD是等腰三角形，

　　且DE=EF，又由DE=2AE，得AE=AF．

　　由AB∥DC，得△ABF∽△DCF，得

　　点评：

根据题目和图形的特征恰当地对图形进行割补，构造两个相似三角形是解决此类问题的关键．