变式3
如图3所示，一颗卫星绕地球沿椭圆轨道运动，A、B是卫星运动的远地点和近地点.下列说法中正确的是（ ）
图3
A.卫星在A点的角速度大于B点的角速度
B.卫星在A点的加速度小于B点的加速度
C.卫星由A运动到B过程中动能减小，势能增加
D.卫星由A运动到B过程中引力做正功，机械能增大
命题点二 万有引力定律的理解
1.万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F表现为两个效果：
一是_______，二是提供物体随地球自转的_______
（1）在赤道上：
G
＝mg1＋mω2R.
（2）在两极上：
G
＝mg0.
（3）在一般位置：
万有引力G
等于重力mg与向心力F向的_______.
越靠近南、北两极，g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即
＝mg.
2.星球上空的重力加速度g′
星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝
，得g′＝
.所以
＝_______.
3.万有引力的“两点理解”和“两个推论”
（1）两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.
②地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.
（2）两个推论
①推论1：
在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0.
②推论2：
在匀质球体内部距离球心r处的质点（m）受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体（M′）对其的万有引力，即F＝G
.
例2
如图4所示，有人设想通过“打穿地球”从中国建立一条过地心的光滑隧道直达阿根廷.如只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度（ ）
图4
A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大
例3
由中国科学院、中国工程院两院院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7000米分别排在第一、第二.若地球半径为R，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式4
“神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”.若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为（ ）
A.0B.
C.
D.
命题点三 天体质量和密度的估算
天体质量和密度常用的估算方法
使用方法
已知量
利用公式
表达式
备注
质量的计算
利用运行天体
r、T
G
＝mr
_______
只能得到中心天体的质量
r、v
G
＝m
_______
v、T
G
＝m
G
＝mr
M＝
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
_______
密度的计算
利用运行天体
r、T、R
G
＝mr
M＝ρ·
πR3
_______
利用近地卫星只需测出其运行周期
利用天体表面重力加速度
g、R
mg＝
M＝ρ·
πR3
_______
例4
假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为（ ）
A.
B.
C.
D.
变式5
观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ（弧度），如图5所示.已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为（ ）
图5
A.2π
B.
C.
D.
变式6
据报道，天文学家新发现了太阳系外的一颗行星.这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍.已知近地卫星绕地球运行的周期约为T，引力常量为G.则该行星的平均密度为（ ）
A.
B.
C.
D.
命题点四 卫星运行参量的分析
卫星运行参量
相关方程
结论
线速度v
G
＝m
⇒v＝_______
r越大，v、ω、a越_______，
T越_______
角速度ω
G
＝mω2r⇒ω＝_______
周期T
G
＝m
2r⇒T＝_______
向心加速度a
G
＝ma⇒a＝_______
例5
（多选）“天舟一号”货运飞船于2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空.与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380km的圆轨道上飞行，则其（ ）
A.角速度小于地球自转角速度B.线速度小于第一宇宙速度
C.周期小于地球自转周期D.向心加速度小于地面的重力加速度
变式7
2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道（可视为圆轨道）运行.与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的（ ）
A.周期变大B.速率变大
C.动能变大D.向心加速度变大
变式8
2016年10月19日凌晨，神舟十一号飞船与天宫二号对接成功，如图6.两者对接后一起绕地球运行的轨道可视为圆轨道，运行周期为T，已知地球半径为R，对接体距地面的高度为kR，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
图6
A.对接后，飞船的线速度大小为
B.对接后，飞船的加速度大小为
C.地球的密度为
D.对接前，飞船通过自身减速使轨道半径变大靠近天宫二号实现对接
综合练习
1.关于行星运动定律和万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是（ ）
A.第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律
B.开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力
C.牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”
D.卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值
2.关于环绕地球运行的卫星，下列说法正确的是（ ）
A.分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B.沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C.在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D.沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
3.组成星球的物质靠引力吸引在一起随星球自转.如果某质量分布均匀的星球自转周期为T，万有引力常量为G，为使该星球不至于瓦解，该星球的密度至少是（ ）
A.
B.
C.
D.
4.北斗卫星导航系统（BDS）是中国自行研制的全球卫星导航系统，该系统由35颗卫星组成，卫星的轨道有三种：
地球同步轨道、中轨道和倾斜轨道.其中，同步轨道半径大约是中轨道半径的1.5倍，那么同步卫星与中轨道卫星的周期之比约为（ ）
A.
B.
C.
D.
2
5.（多选）2011年中俄联合实施探测火星计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星.已知火星的质量约为地球质量的
，火星的半径约为地球半径的
.下列关于火星探测器的说法中正确的是（ ）
A.发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B.发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C.发射速度应大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度
D.火星探测器环绕火星运行的最大速度为地球第一宇宙速度的
6.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51pegb”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51pegb”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的
，该中心恒星与太阳的质量比约为（ ）
A.
B.1C.5D.10
7.长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19600km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48000km，则它的公转周期T2最接近于（ ）
A.15天B.25天C.35天D.45天
8.卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，运动周期为T，地球半径为R，引力常量为G，下列说法中正确的是（ ）
A.卫星的线速度大小为v＝
B.地球的质量为M＝
C.地球的平均密度为ρ＝
D.地球表面重力加速度大小为g＝
9.地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆，如图1.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球（ ）
图1
A.2042年B.2052年
C.2062年D.2072年
10.利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ）
A.地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）
B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
11.理论上已经证明：
质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零.现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图2所示.一个质量一定的小物体（假设它能够在地球内部移动）在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则选项所示的四个F随x变化的关系图中正确的是（ ）
图2
12.理论上可以证明，质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零.假定地球的密度均匀，半径为R.若矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为k，则矿井的深度为（ ）
A.（1－k）RB.kRC.
RD.
R
13.我国月球探测计划“嫦娥工程”已经启动，科学家对月球的探索会越来越深入.
（1）若已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，月球绕地球运动的周期为T，月球绕地球的运动近似看做匀速圆周运动，试求出月球绕地球运动的轨道半径.
（2）若宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面高度为h的某处以速度v0水平抛出一个小球，小球飞出的水平距离为x.已知月球半径为R月，引力常量为G，试求出月球的质量M月.
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