第14讲尺规作三角形与三角形全等的应用教案.docx
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第14讲尺规作三角形与三角形全等的应用教案
适用学科
初中数学
适用年级
初中一年级
适用区域
北师版区域
课时时长（分钟）
120
知识点
1．已知两边及其夹角求作三角形
2．已知两角及其夹边求作三角形
3．已知三边求作三角形
4．尺规作三角形综合题
5．利用三角形全等测距离
教学目标
1．要掌握尺规作图的方法及一般步骤；
2．通过画图，培养学生的作图能力及动手能力.
3．会利用三角形全等测距离.
教学重点
1.熟练掌握五个基本作图，作图时要做到规范使用尺规，规范使用作图语言，规范地按照步骤作出图形.
2.会利用三角形全等测距离.
教学难点
1.作图语言的准确应用，作图的规范与准确.
2.体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题.
【教学建议】
本节的教学重点是使学生能熟练掌握尺规作三角形的方法及利用全等三角形测距离的方法。
，在学习之前先要对尺规作线段和尺规作角熟练掌握并应用，根据给出的不同条件采用不同方法作出图形；而在利用全等三角形测量距离的问题上，需要学生对图形非常熟悉，从而能够构建出合适的全等三角形进行求解。
学生学习本节时可能会在以下两个方面感到困难：
1.已知不同条件如何尺规作三角形；
2.利用全等三角形测距离的方法。
【知识导图】
【教学建议】
有关尺规作三角形的问题要引导学生结合全等三角形的判定定理进行理解，要能够熟练运用尺规作线段和尺规作角的方法进行作图，并要理解所作图形满足条件的原因。
在利用全等三角形测量距离的问题中，要注意让学生自主探索如何构建合适的全等图形，培养学生的思考能力和对图形的敏感度。
1.已知三边作三角形；
2.已知两边及其夹角作三角形；
3.已知两角及其夹边作三角形；
4.已知两角及其中一角的对边作三角形。
1.利用全等三角形测距离；
2.其他应用问题。
【题干】尺规作图：
已知：
∠α，线段a,b求作：
△ABC，使∠A=
AB=a,AC=b。
（不写作法，保留痕迹，写出结论）
【答案】见解析
【解析】作∠A=∠α，在∠B的一边上截取AB=a，AC=b，连接BC即可得到所求的△ABC．
试题解析：
【题干】如图,已知∠α和∠β,线段c,用直尺和圆规作出△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c（要求画出图形，并保留作图痕迹，不必写出作法）
【答案】见解析。
【解析】如图，△ABC就是所求三角形．
【题干】已知：
线段a、b，如图所示．
求作：
△ABC，使AB＝2a，AC＝b，BC＝a．
【答案】见解析
【解析】如图所示，
（1）作线段BC＝a．
（2）分别以B和C为圆心，2a和b为半径画弧，两弧交于点A．
（3）连结AB、AC，△ABC就是所求作的三角形．
【题干】你一定玩过跷跷板吧!
如图是小明和小刚玩跷跷板的示意图,横板绕它的中点O上下转动,立柱OC与地面垂直。
当一方着地时,另一方上升到最高点。
问：
在上下转动横板的过程中,两人上升的最大高度AA′、BB′有何数量关系，为什么?
【答案】AA′=BB′
【解析】数量关系：
AA′=BB′；
理由如下：
∵O是AB′、A′B的中点，
∴OA=OB′,OA′=OB，
在△A′OA与△BOB′中，
∵OA=OB′，∠A′OA=∠B′OB，OA′=OB，
∴△A′OA≌△BOB′（SAS），
∴AA′=BB′.
【教学建议】
在讲解过程中，教师可以从全等图形的判定着手，让学生去理解尺规作三角形和全等图形的联系，并要通过不同类型的问题让学生进行练习，加强学生对问题的理解和综合应用能力。
1.下列各作图题中，可直接用“边边边”条件作出三角形的是（ ）
A.已知腰和底边，求作等腰三角形
B.已知两条直角边，求作等腰三角形
C.已知高，求作等边三角形
D.已知腰长，求作等腰直角三角形
【答案】A
【解析】A.是根据SSS作三角形，故本选项正确；
B.再加上直角相等，根据SAS作直角三角形，故本选项错误；
C.求出边长，根据HL可作等边三角形的一半，再延长作出另一半，即可得出等边三角形，故本选项错误；
D.再加上直角相等，根据SAS作直角三角形，故本选项错误；
故选A.
2.如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以再AB的垂直线BF上取两点C，D．使BC=CD，再画出BF的垂直线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长．它的理论依据是（）
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【答案】C
【解析】∵在Rt△ABC和Rt△EDC中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），
∴AB=ED．
故选C．
3.已知线段a，求作△ABC，使AB=BC=AC=a.
【答案】见解析。
【解析】首先作射线AO，并在AO上取线段AB=a，再分别以A、B为圆心，a为半径画弧，两弧交于点C，然后连接AC、BC，即可得到△ABC．
解答：
如图所示：
△ABC即为所求.
1.画∠AOB的角平分线的方法步骤是：
①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N；②分别以M，N为圆心，大于
MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．请你说明这样作角平分线的根据是（）
A．SSSB．SASC．AASD．ASA
【答案】A
【解析】根据画∠AOB的角平分线的方法步骤可知：
OM=ON，MC=NC，又OC为公共边，
所以根据SSS可判断△ABC≌△ABD，从而∠COA＝∠COB，
故选：
A．
2.如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船离开码头，计划沿∠AOB的平分线航行，在航行途中，测得轮船与灯塔A和灯塔B的距离相等，试问轮船航行时是否偏离预定航线，请说明理由.
【答案】此时轮船没有偏离航线，理由见解析。
【解析】由题意知：
假设轮船在D处，则DA=DB，AO=BO，
在△ADC和△BDC中，
∵AD=BD，DO=DO，AO=BO，
∴△ADO≌△BDO（SSS），
∴∠AOD=∠BOD，
即DO为∠AOB的角平分线，
∴此时轮船没有偏离航线.
3.已知：
线段a、b、m（a＞b＞m），如图所示．
求作：
△ABC，使AB＝a，AC＝b，AC边上的中线BD＝m．
【答案】见解析。
【解析】作法：
如图所示，先以a，m，
b作△ABD，再延长AD到C，使AC＝2AD，连结BC，△ABC即为所求作的三角形．
1.已知：
△ABC，如图．求作：
△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC（试用两种方法）．
【答案】见解析
【解析】解：
作法一（SSS）：
（1）作线段A′B′=AB，
（2）以A′为圆心，AC长为半径画弧，以B′为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点C′
（3）连接A′C′、B′C′，△A′B′C′为所求.
作法二（ASA）：
（1）作线段A′B′=AB，
（2）作∠B′A′C′=∠BAC，∠A′B′C′=∠ABC，两角的另一边交于C′.
△A′B′C′为所求
解答：
2.如图，已知线段a和b，a＞b，求作直角三角形ABC，使直角三角形的斜边AB=a，直角边AC=b．（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【解析】先作线段AC=b，再过点C作AC的垂线，接着以点A为圆心，a为半径画弧交此垂线于B，
则△ABC为所求．
如图，
△ABC为所求作的直角三角形．
3.“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度
（1）用记号（a，b，c）（a≤b≤c）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形，请列举出所有满足条件的三角形
（2）用直尺和圆规作出三边满足a＜b＜c的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【解析】1）共九种：
（2,2,2）（2,2,3）（2,3,3）（2,3,4）（2,4,4）（3,3,3）（3,3,4）（3,4,4）（4,4,4）
（2）只有a=2，b=3，c=4的一个三角形，如图所示的△ABC就是满足条件的三角形
1．尺规作三角形：
已知三边作三角形；
已知两边及其夹角作三角形；
已知两角及其夹边作三角形；
已知两角及其中一角的对边作三角形；
2.利用全等三角形测距离。
1.1.根据下列已知条件,能唯一画出△ABC的是（ ）
A. ∠A=36∘,∠B=45∘，AB=4
B. AB=4,BC=3,∠A=30∘
C. AB=3，BC=4，CA=8
D. ∠C=90∘，AB=6
【答案】A
【解析】A.符合全等三角形的AAS，能作出唯一三角形；
B.属于全等三角形判定中的SSA情况，不能作出唯一三角形；
C.不符合三角形三边之间的关系，不能作出三角形；
D.只有两个条件，不能作出唯一三角形。
故选A.
2.如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）
A.POB.PQC.MOD.MQ
【答案】B
【解析】要想利用△PQO≌△NMO求得MN的长，只需求得线段PQ的长，
故选B．
3.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕点O自由转动，就做成了一个测量工件，则A′B′的长等于内槽宽AB，则判定△OAB≌△OA′B′的理由是（）
A.边边边B.角边角C.边角边D.角角边
【答案】C
【解析】解:
∵AA′、BB′的中点O连在一起，
∴OA=OA′，OB=OB′，
在△OAB和△OA′B′中，
，
∴△OAB≌△OA′B′（SAS）．
所以用的判定定理是边角边．
故选：
C．
4.已知线段a、b和直角α，作△ABC，使∠C=90°，CB=a，CA=b．
（1）作∠MCN=90°．
（2）以C为圆心，以______为半径画弧，交CM于B．
（3）以______为圆心，以______为半径，画弧交CN于A．
（4）连结______得到△ABC．
【答案】见解析
【解析】解：
（1）作∠MCN=90°．
（2）以C为圆心，以a为半径画弧，交CM于B．
（3）以点C为圆心，以b为半径，画弧交CN于A．
（4）连结AB得到△ABC．
1.如图是去年在某地发现的一块三角形陶瓷碎片的一部分，现打算复制一块完整的陶瓷片，请你根据提供的信息用尺规作一完整的三角形陶瓷片。
【答案】见解析
【解析】解：
首先作∠C=∠O，截取CB=OA，再以B为顶点，BC为边作∠B=∠A，∠C和∠B的两边有一交点，可组成三角形BCD，△BCD就是所求三角形．
如图所示：
2.如图所示，△ABC是不等边三角形，DE=BC，以D. E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可以画出（ ）个。
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】B
【解析】可以做4个，分别是以D为圆心，AB为半径，作圆，以E为圆心，AC为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．
然后以D为圆心，AC为半径，作圆，以E为圆心，AB为半径，作圆．两圆相交于两点（D，E上下各一个），经过连接后可得到两个．
解答：
如图：
这样的三角形最多可以画出4个。
故选：
B.
3.如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（）
A.60°B.90°C.120°D.150°
【答案】B
【解析】∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∴BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．
故选B．
1.已知线段a，b，c，求作△ABC，使BC=a，AC=b，AB=c，下面作法的合理顺序为______.
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形。
【答案】②①③。
【解析】做三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是
②作直线BP，在BP上截取BC=a；
①分别以B，C为圆心，c，b为半径作弧，两弧交于点A；
③连接AB，AC，△ABC为所求作的三角形。
故答案为：
②①③。
2.如图为人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A、B两棵树间的距离（我们不能直接量得）．请你根据所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案．
要求：
（1）画出你设计的测量平面图；
（2）简述测量方法，并写出测量的数据（长度用
…表示；角度用
…表示）；
（3）根据你测量的数据，计算A、B两棵树间的距离．
【答案】见解析
【解析】解：
方案一：
如图1，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的点O，连结AO并延长到C，使CO=AO；连结BO并延长到D，使DO=BO；连结CD，测量出线段CD的长度为
米，则A、B两棵树间的距离为
米．
方案二：
如图2，用测角仪测得∠BAE=
，在AE上取两点O、C，使AO=OC；再测得∠ACF=
，连结BO并延长交CF于点D．测量出线段CD的长度为
米，则A、B两棵树间的距离为
米．
3.如图，在一条河的两岸各耸立着一座宝塔，隔河相对，在无任何过河工具的情况下，你能测量出两座宝塔间的距离吗?
说说你的方法和理由。
【答案】见解析
【解析】解：
∵在△ACB和△ECD中
∵∠ACB=∠DCE，BC=CD，∠B=∠EDC=90∘
∴△ACB≌△ECD，
∴AB=DE.
4.如图，工人师傅要在墙壁的O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚是35cm，点B与点O的垂直距离AB长是20cm，在点O处作一直线平行于地面，在直线上截取OC=35cm，过C作OC的垂线，在垂线上截取CD=20cm，连接OD，然后，沿着D0的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出。
这是什么道理?
【答案】见解析
【解析】解：
在△AOB和△COD中，
∵∠OAB=∠OCD，AO=CO，∠AOB=∠COD，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴AB=CD=20cm，
即钻头正好从点B处打出.
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