八下矩形练习题.docx
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八下矩形练习题
八下期矩形练习题学生
一填空题
（2009•保定一模）
（1）如图1，△ABC和△ADE均为顶角为α的等腰三角形，连接BD、CE，BD与CE、AC分别交于点O、点P．通过观察或测量，猜想：
①线段BD和CE的数量关系为
．
②BD和CE之间的夹角∠BOC=
．
（2）现将图1中的△ADE绕着点A顺时针旋转一个角度，得到图2，BD的延长线与CE的延长线交于点O，与AC交于点P，问
（1）中猜想的结论还成立吗？
若成立，予以证明；若不成立，说明理由．
三解答题
1
（1）（2006•泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接AF，CE．
（1）求证：
四边形AECF是平行四边形；
（2）若∠BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则△ACG是等腰三角形吗？
并说明理由．
1
（2）如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，EC⊥BD,EC的延长线交∠BAD的平分线于点F,试说明EF与BD的数量关系.
选（
1（3）如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连结AH交BD于G点，交EC的延长线于F点．
（1）求证：
EH=AB；
（2）若AD=6，求CF的长
1（4）如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CE⊥BD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：
①EH=AB；②∠ABG=∠HEC；③△ABG≌△HEC；④S△GAD=S四边形GHCE；⑤CF=BD．正确的有（ ）个．
A2B3C4D
选（（2014•丹东一模）
（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PF⊥BE于点F，PG⊥AD于点G．判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．
（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若∠ABC=60°，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．
（3）如图3，当四边形ABCD满足∠ABD=90°，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由．
选（（2013•云南）已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
（1）求证：
四边形ADBE是矩形；
（2）求矩形ADBE的面积．
考点：
矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．
分析：
（1）利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，根据矩形的定义即可证得；
（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解．
解答：
解：
（1）∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形．
∴平行四边形ADBE是矩形；
（2）∵AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，
∴BD=DC=6×
1
2
=3，
在直角△ACD中，
AD=
AC2−DC2
=
52−32
=4，
∴S矩形ADBE=BD•AD=3×4=12
2（2013•玉林）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点．
（1）求证：
四边形EMCN是矩形；
（2）若AD=2，S梯形ABCD=
15
2
，求矩形EMCN的长和宽．
考点：
直角梯形；矩形的判定与性质．
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据轴对称的性质可得AD=DF，DE⊥AF，然后判断出△ADF、△DEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出∠DAF=∠EDF=45°，根据两直线平行，内错角相等求出∠BGE=45°，然后判断出△BGE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EM⊥BC，EN⊥CD，再根据矩形的判定证明即可；
（2）判断出△BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解．
解答：
（1）证明：
∵点A、F关于BD对称，
∴AD=DF，DE⊥AF，
又∵AD⊥DC，
∴△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DAF=∠EDF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠GAD=45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∵M，N分别是BG，DF的中点，
∴EM⊥BC，EN⊥CD，
又∵AD∥BC，AD⊥DC，
∴BC⊥CD，
∴四边形EMCN是矩形；
（2）解：
由
（1）可知，∠EDF=45°，BC⊥CD，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
∴S梯形ABCD=
1
2
（AD+BC）•CD=
1
2
（2+CD）•CD=
15
2
，
即CD2+2CD-15=0，
解得CD=3，CD=-5（舍去），
∵△ADF、△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=AD=2，
∵N是DF的中点，
∴EN=DN=
1
2
DF=
1
2
×2=1，
∴CN=CD-DN=3-1=2，
∴矩形EMCN的长和宽分别为2，1．
点评：
本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点
选（3.（2013•威海）操作发现
将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．
问题解决
将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．
（1）求证：
△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=8，求AD的长．
4.（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F．求证：
AM=EF．
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证明出AP=MF，PM=ME，进而证明△APM≌△FME，即可证明出AM=EF．
解答：
证明：
过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
AP＝FM
∠APM＝∠FME
PM＝ME
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
点评：
本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答
5.（2013•聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：
AE=CE．
考点：
全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，
解答：
证明：
如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，
∠BCF＝∠D
∠CED＝∠BFC＝90°
BC＝CD
，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键
6.（2012•山西）问题情境：
将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按图1所示的方式摆放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由．
探究展示：
小宇同学展示出如下正确的解法：
解：
OM=ON，证明如下：
连接CO，则CO是AB边上中线，
∵CA=CB，∴CO是∠ACB的角平分线．（依据1）
∵OM⊥AC，ON⊥BC，∴OM=ON．（依据2）
反思交流：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：
等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）
等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）
依据2：
角平分线上的点到角的两边的距离相等
角平分线上的点到角的两边的距离相等
（2）你有与小宇不同的思考方法吗？
请写出你的证明过程．
拓展延伸：
（3）将图1中的Rt△DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程．
考点：
全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质．
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；
（2）证△OMA≌△ONB（AAS），即可得出答案；
（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，△MOC≌△NOB（SAS），推出OM=ON，∠MOC=∠NOB，得出∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，求出∠MON=∠BOC=90°，即可得出答案．
解答：
（1）解：
故答案为：
等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等．
（2）证明：
∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中点，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∵在△OMA和△ONB中
∠A＝∠B
OA＝OB
∠AMO＝∠BNO
，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（3）解：
OM=ON，OM⊥ON．理由如下：
连接OC，
∵∠ACB=∠DNB，∠B=∠B，
∴△BCA∽△BND，
∴
AC
DN
=
BC
BN
，
∵AC=BC，
∴DN=NB．
∵∠ACB=90°，
∴∠NCM=90°=∠DNC，
∴MC∥DN，
又∵DF⊥AC，
∴∠DMC=90°，
即∠DMC=∠MCN=∠DNC=90°，
∴四边形DMCN是矩形，
∴DN=MC，
∵∠B=45°，∠DNB=90°，
∴∠3=∠B=45°，
∴DN=NB，
∴MC=NB，
∵∠ACB=90°，O为AB中点，AC=BC，
∴∠1=∠2=45°=∠B，OC=OB（斜边中线等于斜边一半），
在△MOC和△NOB中
OC＝OB
∠1＝∠B
CM＝BN
，
∴△MOC≌△NOB（SAS），
∴OM=ON，∠MOC=∠NOB，
∴∠MOC-∠CON=∠NOB-∠CON，
即∠MON=∠BOC=90°，
∴OM⊥ON．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强
7.（2010•崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE=BF=CG=DH．
（1）求证：
四边形EFGH是矩形；
（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积．
考点：
矩形的判定与
性质．
专题：
计算题；证明题；压轴题．
分析：
（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；
（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得．
解答：
（1）
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=0B=OC=OD，
∵AE=BF=CG=DH，
∴AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH，
即：
OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是矩形；
（2）解：
∵G是OC的中点，
∴GO=GC，
∵DG⊥AC，
∴∠DGO=∠DGC=90°，
又∵DG=DG，
∴△DGC≌△DGO，
∴CD=OD，
∵F是BO中点，OF=2cm，
∴BO=4cm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴DO=BO=4cm，
∴DC=4cm，DB=8cm，
∴CB=
DB2−DC2
=4
3
，
∴矩形ABCD的面积=4×4
3
=16
3
cm2．
点评：
本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等
8.（2008•莆田）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图
（1）所示）时，易证得结论：
PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：
当点P分别在图
（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图
（2）证明你的结论．
答：
对图
（2）的探究结论为
PA2+PC2=PB2+PD2
PA2+PC2=PB2+PD2
；
对图（3）的探究结论为
PA2+PC2=PB2+PD2
PA2+PC2=PB2+PD2
；
证明：
如图
（2）
考点：
矩形的判定与性质．
专题：
几何综合题；压轴题．
分析：
结论均是PA2+PC2=PB2+PD2，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等．
根据矩形和直角三角形的性质，
（2）如果过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，可在Rt△AMP，Rt△BNP，Rt△DMP和Rt△CNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2．
（3）如图（3）方法同
（2），过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，易证．
解答：
解：
结论均是PA2+PC2=PB2+PD2．
（1）如图2，过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，MN⊥AD，
∴MN⊥BC；
∵在Rt△AMP中，PA2=PM2+MA2，在Rt△BNP中，PB2=PN2+BN2，
在Rt△DMP中，PD2=DM2+PM2，在Rt△CNP中，PC2=PN2+NC2，
∴PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，
PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2，
∵MN⊥AD，MN⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形MNCD是矩形，
∴MD=NC，同理AM=BN，
∴PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2
即PA2+PC2=PB2+PD2．
（2）如图3，过点P作PQ⊥BC交AD，BC于O，Q，
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，PQ⊥BC，
∴PQ⊥AD，
∵在Rt△AOP中，PA2=AO2+PO2，在Rt△PQB中，PB2=PQ2+QB2，
在Rt△POD中，PD2=DO2+PO2，在Rt△CQP中，PC2=PQ2+QC2，
∴PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，
PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2，
∵PQ⊥AD，PQ⊥NC，DC⊥BC，
∴四边形OQCD是矩形，
∴OD=QC，同理AO=BQ，
∴PA2+PC2=PB2+PD2．
点评：
本题主要运用矩形和直角三角形的性质，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法
选9.（2013•张家界）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）求证：
OE=OF；
（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
并说明理由．
考点：
矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2，∠3=∠4，进而得出答案；
（2）根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；
（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
解答：
（1）证明：
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，
∴∠2=∠5，∠4=∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1=∠5，∠3=∠6，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF；
（2）解：
∵∠2=∠5，∠4=∠6，
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°，
∵CE=12，CF=5，
∴EF=
122+52
=13，
∴OC=
1
2
EF=6.5；
（3）解：
当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．
证明：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
点评：
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出∠ECF=90°是解题关键
10.（2013•新疆）如图，▱ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：
△AOE≌△COF；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由．
考点：
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定．
专题：
压轴题．
分析：
（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；
（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形即可证明．
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=OC，AB∥CD．
∴∠E=∠F．
∵在△AOE与△COF中，
∠E＝∠F
∠AOE＝∠COF
AO＝CO
，
∴△AOE≌△COF（AAS）；
（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，
理由如下：
由
（1）可知△AOE≌△COF，
∴OE=OF，
∵AO=CO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF=AC，
∴四边形AECF是矩形．
11.（2013•平凉）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？
并说明理由．
考点：
矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
解答：
解：
（1）BD=CD．
理由如下：
依题意得AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，
∠AFE＝∠DCE
∠AEF＝∠DEC
AE＝DE
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：
AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．
点评：
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键
12.（2012•青海）已知：
如图，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．
①求证：
CD=AN；
②若∠AMD=2∠MCD，求证：
四边形ADCN是矩形
13.2012•青岛）已知：
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
（1）求证：
△BOE≌△DOF；
（2）若OA=
1
2
BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？
说明理由．
14.2012•六盘水）如图，已知E是▱ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：
△ABE≌△FCE．
（2）连接AC、BF，若∠AEC=2∠ABC，求证：
四边形ABFC为矩形．
15.（2012•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．
（1）求证：
△ADC≌△ECD；
（2）若BD=CD，求证：
四边形ADCE是矩形．
16.（2011•莆田）如图．在△ABC中，D是AB的中点．E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连
接BF．
（1）求证：
DB=CF；
（2）如果AC=BC．试判断四边形BDCF的形状．并证明你的结论．
17.（2011•南京）如图，将▱ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F．
（1）求证：
△ABF≌△ECF；
（2）若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：
四边形ABEC是矩形．
18.（2011•广元）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．
（1）求证：
四边形AFCD是矩形；
（2）求证：
DE⊥EF．
19.（2011•滨州）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC．设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF．那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论
20.2010•沈阳）如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M．CN⊥直线a于点N
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