八下矩形练习题.docx

1、八下矩形练习题八下期矩形练习题 学生 一 填空题（2009保定一模）（1）如图1，ABC和ADE均为顶角为的等腰三角形，连接BD、CE，BD与CE、AC分别交于点O、点P通过观察或测量，猜想：线段BD和CE的数量关系为 BD和CE之间的夹角BOC= （2）现将图1中的ADE绕着点A顺时针旋转一个角度，得到图2，BD的延长线与CE的延长线交于点O，与AC交于点P，问（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，予以证明；若不成立，说明理由三 解答题1(1)（2006泰安）如图，矩形ABCD的对角线交于点O，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F，连接AF，CE（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若

2、BAD的平分线与FC的延长线交于点G，则ACG是等腰三角形吗？并说明理由1(2)如图，在矩形ABCD中，点E在对角线BD上，ECBD,EC 的延长线交BAD的平分线于点F,试说明EF与BD的数量关系.选（1 (3)如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CEBD交BD于E点，H为BC中点，连结AH交BD于G点，交EC的延长线于F点（1）求证：EH=AB；（2）若AD=6，求CF的长1(4) 如图，矩形ABCD中，BC=2AB，对角线相交于O，过C点作CEBD交BD于E点，H为BC中点，连接AH交BD于G点，交EC的延长线于F点，下列5个结论：EH=AB；ABG=HEC；AB

3、GHEC；SGAD=S四边形GHCE；CF=BD正确的有（）个 A 2 B 3 C 4 D 选（2014丹东一模）（1）如图1，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且BE=ED，P为对角线BD上一点，PFBE于点F，PGAD于点G判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由（2）如图2，当四边形ABCD变为平行四边形，其他条件不变，若ABC=60，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由（3）如图3，当四边形ABCD满足ABD=90，AB=3，BD=4，其它条件不变，判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由 选（2013云南）已知在ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形

4、ADBE是平行四边形 （1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）求矩形ADBE的面积 考点：矩形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质分析：（1）利用三线合一定理可以证得ADB=90，根据矩形的定义即可证得；（2）利用勾股定理求得BD的长，然后利用矩形的面积公式即可求解解答：解：（1）AB=AC，AD是BC的边上的中线，ADBC，ADB=90，四边形ADBE是平行四边形平行四边形ADBE是矩形；（2）AB=AC=5，BC=6，AD是BC的中线，BD=DC=612=3，在直角ACD中，AD=AC2DC2=5232=4，S矩形ADBE=BDAD=34=12 2（2013玉林）如图，在直角梯形ABC

5、D中，ADBC，ADDC，点A关于对角线BD的对称点F刚好落在腰DC上，连接AF交BD于点E，AF的延长线与BC的延长线交于点G，M，N分别是BG，DF的中点（1）求证：四边形EMCN是矩形；（2）若AD=2，S梯形ABCD= 152，求矩形EMCN的长和宽 考点：直角梯形；矩形的判定与性质专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据轴对称的性质可得AD=DF，DEAF，然后判断出ADF、DEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出DAF=EDF=45，根据两直线平行，内错角相等求出BGE=45，然后判断出BGE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得EMBC，ENCD，再根据矩形

6、的判定证明即可；（2）判断出BCD是等腰直角三角形，然后根据梯形的面积求出CD的长，再根据等腰直角三角形的性质求出DN，即可得解解答：（1）证明：点A、F关于BD对称，AD=DF，DEAF，又ADDC，ADF、DEF是等腰直角三角形，DAF=EDF=45，ADBC，G=GAD=45，BGE是等腰直角三角形，M，N分别是BG，DF的中点，EMBC，ENCD，又ADBC，ADDC，BCCD，四边形EMCN是矩形；（2）解：由（1）可知，EDF=45，BCCD，BCD是等腰直角三角形，BC=CD，S梯形ABCD=12（AD+BC）CD=12（2+CD）CD=152，即CD2+2CD-15=0，解得C

7、D=3，CD=-5（舍去），ADF、DEF是等腰直角三角形，DF=AD=2，N是DF的中点，EN=DN=12DF=122=1，CN=CD-DN=3-1=2，矩形EMCN的长和宽分别为2，1点评：本题考查了直角梯形的性质，轴对称的性质，矩形的判定，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质判断出相关的等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点选（3. （2013威海）操作发现将一副直角三角板如图摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30角的直角三角板DEF的长直角边DE重合问题解决将图中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图（1

8、）求证：CDO是等腰三角形；（2）若DF=8，求AD的长4. （2013黔东南州）如图，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作MECD交BC于点E，作MFBC交CD于点F求证：AM=EF 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质专题：证明题分析：过M点作MQAD，垂足为Q，作MP垂足AB，垂足为P，根据题干条件证明出AP=MF，PM=ME，进而证明APMFME，即可证明出AM=EF解答：证明：过M点作MQAD，垂足为Q，作MPAB，垂足为P，四边形ABCD是正方形，四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，AP=QM=DF=MF，PM=P

9、B=ME，在APM和FME中，APFMAPMFMEPMME，APMFME（SAS），AM=EF点评：本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及矩形的性质等知识，此题正确作出辅助线很易解答5. （2013聊城）如图，四边形ABCD中，A=BCD=90，BC=CD，CEAD，垂足为E，求证：AE=CE考点：全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质 专题：证明题分析：过点B作BFCE于F，根据同角的余角相等求出BCF=D，再利用“角角边”证明BCF和CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF

10、，从而得证，解答：证明：如图，过点B作BFCE于F，CEAD，D+DCE=90，BCD=90，BCF+DCE=90，BCF=D，在BCF和CDE中，BCFDCEDBFC90BCCD，BCFCDE（AAS），BF=CE，又A=90，CEAD，BFCE，四边形AEFB是矩形，AE=BF，AE=CE点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键6. （2012山西）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC

11、于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）等腰三角形的三线合一（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）依据2： 角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等（2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展

12、延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质专题：几何综合题；压轴题分析：（1）根据等腰三角形的性质和角平分线性质得出即可；（2）证OMAONB（AAS），即可得出答案；（3）求出矩形DMCN，得出DM=CN，MOCNOB（SAS），推出OM=ON，MOC=NOB，得出MOC-CON=NOB-CON，求出MON=B

13、OC=90，即可得出答案解答：（1）解：故答案为：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），角平分线上的点到角的两边距离相等（2）证明：CA=CB，A=B，O是AB的中点，OA=OBDFAC，DEBC，AMO=BNO=90，在OMA和ONB中ABOAOBAMOBNO，OMAONB（AAS），OM=ON（3）解：OM=ON，OMON理由如下：连接OC，ACB=DNB，B=B，BCABND，ACDN=BCBN，AC=BC，DN=NBACB=90，NCM=90=DNC，MCDN，又DFAC，DMC=90，即DMC=MCN=DNC=90，四边形DMCN是矩形，D

14、N=MC，B=45，DNB=90，3=B=45，DN=NB，MC=NB，ACB=90，O为AB中点，AC=BC，1=2=45=B，OC=OB（斜边中线等于斜边一半），在MOC和NOB中OCOB1BCMBN，MOCNOB（SAS），OM=ON，MOC=NOB，MOC-CON=NOB-CON，即MON=BOC=90，OMON点评：本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，角平分线性质等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，综合性也比较强7. （2010崇左）如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的

15、点，且AE=BF=CG=DH（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DGAC，OF=2cm，求矩形ABCD的面积 考点：矩形的判定与 性质专题：计算题；证明题；压轴题分析：（1）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再证明HF=EG；（2）根据题干求出矩形的边长CD和BC，然后根据矩形面积公式求得解答：（1）证明：四边形ABCD是矩形，OA=0B=OC=OD，AE=BF=CG=DH，AO-AE=OB-BF=CO-CG=DO-DH，即：OE=OF=OG=OH，四边形EFGH是矩形；（2）解：G是OC的中点，GO=GC，DGAC，DGO=DG

16、C=90，又DG=DG，DGCDGO，CD=OD，F是BO中点，OF=2cm，BO=4cm，四边形ABCD是矩形，DO=BO=4cm，DC=4cm，DB=8cm，CB=DB2DC2=43，矩形ABCD的面积=443=163cm2点评：本题主要考查矩形的判定，首先要判定四边形是平行四边形，然后证明对角线相等8. （2008莆田）已知矩形ABCD和点P，当点P在BC上任一位置（如图（1）所示）时，易证得结论：PA2+PC2=PB2+PD2，请你探究：当点P分别在图（2）、图（3）中的位置时，PA2、PB2、PC2和PD2又有怎样的数量关系请你写出对上述两种情况的探究结论，并利用图（2）证明你的结论

17、答：对图（2）的探究结论为 PA2+PC2=PB2+PD2PA2+PC2=PB2+PD2；对图（3）的探究结论为 PA2+PC2=PB2+PD2PA2+PC2=PB2+PD2；证明：如图（2）考点：矩形的判定与性质专题：几何综合题；压轴题分析：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2，其实要求证的是矩形性质中的矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等根据矩形和直角三角形的性质，（2）如果过点P作MNAD于点M，交BC于点N，可在RtAMP，RtBNP，RtDMP和RtCNP分别用勾股定理表示出PA2，PC2，PB2，PD2，然后我们可得出PA2+PC2与PB2+PD2，我们不难得出

18、四边形MNCD是矩形，于是，MD=NC，AM=BN然后我们将等式右边的值进行比较发现PA2+PC2=PB2+PD2（3）如图（3）方法同（2），过点P作PQBC交AD，BC于O，Q，易证解答：解：结论均是PA2+PC2=PB2+PD2（1）如图2，过点P作MNAD于点M，交BC于点N，在矩形ABCD中，ADBC，MNAD，MNBC；在RtAMP中，PA2=PM2+MA2，在RtBNP中，PB2=PN2+BN2，在RtDMP中，PD2=DM2+PM2，在RtCNP中，PC2=PN2+NC2，PA2+PC2=PM2+MA2+PN2+NC2，PB2+PD2=PM2+DM2+BN2+PN2，MNAD，

19、MNNC，DCBC，四边形MNCD是矩形，MD=NC，同理AM=BN，PM2+MA2+PN2+NC2=PM2+DM2+BN2+PN2即PA2+PC2=PB2+PD2（2）如图3，过点P作PQBC交AD，BC于O，Q，在矩形ABCD中，ADBC，PQBC，PQAD，在RtAOP中，PA2=AO2+PO2，在RtPQB中，PB2=PQ2+QB2，在RtPOD中，PD2=DO2+PO2，在RtCQP中，PC2=PQ2+QC2，PA2+PC2=PO2+OA2+PQ2+QC2，PB2+PD2=PQ2+QB2+DO2+PO2，PQAD，PQNC，DCBC，四边形OQCD是矩形，OD=QC，同理AO=BQ，

20、PA2+PC2=PB2+PD2点评：本题主要运用矩形和直角三角形的性质，考查了矩形的性质中矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等的证明方法选9. （2013张家界）如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC设MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F（1）求证：OE=OF；（2）若CE=12，CF=5，求OC的长；（3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由 考点：矩形的判定；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线专题：压轴题分析：（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出1=2，3=4，进而得出答

21、案；（2）根据已知得出2+4=5+6=90，进而利用勾股定理求出EF的长，即可得出CO的长；（3）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可解答：（1）证明：MN交ACB的平分线于点E，交ACB的外角平分线于点F，2=5，4=6，MNBC，1=5，3=6，1=2，3=4，EO=CO，FO=CO，OE=OF；（2）解：2=5，4=6，2+4=5+6=90，CE=12，CF=5，EF=122+52=13，OC=12EF=6.5；（3）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形证明：当O为AC的中点时，AO=CO，EO=FO，四边形AECF是平行四边形，ECF=90，平行四边形AEC

22、F是矩形点评：此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识，根据已知得出ECF=90是解题关键10. （2013新疆）如图，ABCD中，点O是AC与BD的交点，过点O的直线与BA、DC的延长线分别交于点E、F（1）求证：AOECOF；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是矩形，并说明理由 考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的判定专题：压轴题分析：（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明即可；（2）请连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC是，四边形AECF是矩形，首先证明四边形AECF是平行四边形，再根据对角线

23、相等的平行四边形为矩形即可证明解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AO=OC，ABCDE=F在AOE与COF中，EFAOECOFAOCO，AOECOF（AAS）；（2）连接EC、AF，则EF与AC满足EF=AC时，四边形AECF是矩形，理由如下：由（1）可知AOECOF，OE=OF，AO=CO，四边形AECF是平行四边形，EF=AC，四边形AECF是矩形11. （2013平凉）如图，在ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当ABC满足什么条件时，四边形AFBD

24、是矩形？并说明理由 考点：矩形的判定；全等三角形的判定与性质专题：证明题分析：（1）根据两直线平行，内错角相等求出AFE=DCE，然后利用“角角边”证明AEF和DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知ADB=90，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC解答：解：（1）BD=CD理由如下：依题意得AFBC，AFE=DCE，E是AD的中点，AE=DE，在AEF和DEC中，AFEDCEAEFDECAEDE，AEFDEC（AAS），AF

25、=CD，AF=BD，BD=CD；（2）当ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形理由如下：AFBD，AF=BD，四边形AFBD是平行四边形，AB=AC，BD=CD，ADB=90，AFBD是矩形点评：本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键12. （2012青海）已知：如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，MA=MC求证：CD=AN；若AMD=2MCD，求证：四边形ADCN是矩形 13. 2012青岛）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BEAC于E，DFAC于F，点

26、O既是AC的中点，又是EF的中点（1）求证：BOEDOF；（2）若OA= 12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由 14. 2012六盘水）如图，已知E是ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F（1）求证：ABEFCE（2）连接AC、BF，若AEC=2ABC，求证：四边形ABFC为矩形 15. （2012吉林）如图，在ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作ABDE，连接AD，EC（1）求证：ADCECD；（2）若BD=CD，求证：四边形ADCE是矩形 16. （2011莆田）如图在ABC中，D是AB的中点E是CD的中点，过点C作CFAB交

27、AE的延长线于点F，连接BF（1）求证：DB=CF；（2）如果AC=BC试判断四边形BDCF的形状并证明你的结论17. （2011南京）如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F（1）求证：ABFECF；（2）若AFC=2D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形18. （2011广元）如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，BCCD，B=60，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点（1）求证：四边形AFCD是矩形；（2）求证：DEEF19. （2011滨州）如图，在ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MNBC设MN交BCA的平分线于点E，交BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论20. 2010沈阳）如图1，在ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM直线a于点MCN直线a于点N