数学物理方程小结85856.docx

数学物理方程小结85856.docx

《数学物理方程小结85856.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学物理方程小结85856.docx（9页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

数学物理方程小结85856

数学物理方程小结

第七章数学物理定解问题

数学物理定解问题包含两个部分：

数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。

§7.1数学物理方程的导出

一般方法：

第一确定所要研究的物理量u,第二分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律,抓住主要矛盾,忽略次要矛盾。

（在数学上为忽略高级小量.）第三然后再把物理量u随时间，空间的变为通过数学算式表示出来,此表示式即为数学物理方程。

（一）三类典型的数学物理方程

（1）波动方程：

此方程适用于各类波动问题。

（特别是微小振动情况.）

（2）输运方程：

此方程适用于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace方程：

稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace方程,静电势u在电荷密度为零处也满足Laplace方程。

§7.2定解条件

定解条件包含初始条件与边界条件。

（1）初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。

例如波动方程应有二个初始条件,一般选初始位移u（x,o）和初始速度ut（x,0）。

而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u（x,o）,而Laplace方程没有初始条件。

（2）三类边界条件

第一类边界条件：

u（r,t）|Σ=f

（1）

第二类边界条件：

un|Σ=f

（2）

第三类边界条件：

（u+Hun）|Σ=f（3）

其中H为常数.

7.3二阶线性偏微分方程分类

判别式

波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.

7.4达朗贝尔公式

对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为

对半无界问题作延拓处理:

对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.

第八章分离变量法

8.1分离变量法

主要步骤:

1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的.

•2.分离变量u（x,t）=X（x）T（t）

（1）[以后对三维问题也是如此]

•3.将

（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程,（称为本征方程）而λ为本征值.

•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.（得出的解为本征函数）

•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.

•6.再由初始条件确定系数.

一维波动方程在第一类齐次边界条件下的

一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:

一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:

一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:

对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.

8.2非齐次边界条件的处理

常用方法有1）直线法:

对边界条件为:

u（0,t）=g（t）,u（L,t）=h（t）.

令

可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次.•只有当g,h为常数时,方程才不变.

2）特解法

•把u化为两部分,令u=v+w使v满足齐次边界条件与齐次方程,而使w满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.

•例题求解下列定解问题

•Utt－a2Uxx=0

•U|x=0=0,U|x=L=ASinωt

•U|t=0=0,Ut∣t=0=0

•（其中A、ω为常数,0＜x＜L,0＜t）

•解：

令u=v+w,使w满足波动方程与非齐次边界条件,

•得出

..

第九章二阶常微分方程的级数解法

本征值问题

第九章

一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.

1.拉普拉斯方程在球坐标下的通解:

其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件.

在轴对称时

（1）式退化为

2.拉普拉斯方程在柱坐标下:

（5）式其解为m阶Bessel函数,

解依赖于边界条件,当侧面边界条件是齐次时,

μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.

3.亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.

在球坐标下:

其中Y为球函数,R为球贝塞尔函数.

在柱坐标下:

.

（5）式其解为m阶Bessel函数,

二、常微分方程的级数解法

1.掌握常点邻域的级数解法.

2.掌握正则奇点邻域的级数解法.

3.知道无穷级数退化为多项式的方法.

三.知道Sturm-Livouville本征值问题的共同性质

•当k（x）,q（x）和ρ（x）都只取非负的值（≥0）,Sturm-Livouville方程共同性质为:

•1）当k（x）,k’（x）和q（x）连续且x=a和x=b最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:

•

•2）所有本征值λn≥0

•3）对应于不同本征值的本征函数带权正交

•

4）本征函数族构成完备系

第一十章球函数

一、对称的球函数

当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴

为z轴这时物理量u就与φ无关,m=0.

那末球函数Y（θ,φ）就为L阶勒让德多项式.即Y=Pl（cosθ）

1）勒让德多项式

1.勒让德多项式级数形式:

2.勒让德多项式微分形式:

二、

3.前几项为:

P0（x）=1,P1（x）=x=cosθ,

•P2（x）=（3x2-1）/2,…..

•一般勒让德多项式的幂次取决L

•当L为偶数时都为偶次幂项,L为奇数时都为奇次幂项.对特殊点x=1,0.

•4.勒让德多项式正交关系

（3）

•5.勒让德多项式的模

（4）

•6.广义傅里叶级数:

当f（x）在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.

（5）

•7.在球坐标下Laplace方程:

△u=0的通解为:

（6）式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r→∞,球内解包含r=0,

•u有限,

（7）

•而Al由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r→∞,两个条件确定.

8.母函数

（8）

9.递推公式

二.连带勒让德函数

•在一般情况下,物理量u与φ有关,故球函数Y是连带勒让德函数与周期函数的乘积.

1.连带勒让德函数

（1）

2.连带勒让德函数的微分表示

2.

（2）

从

（2）可得当L一定时,m的取值为m=0,1,2…L.共有L+1个值.

3.正交关系

•

.

.