函数的奇偶性的经典总结.docx
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函数的奇偶性的经典总结
函数的奇偶性
一、函数奇偶性的基本概念
1.偶函数：
一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个x，都有fXfx,
f（x）f（x）0,那么函数fx就叫做偶函数。
2.奇函数：
一般地，如果对于函数fx的定义域内任一个x，都有fxfx，
f（x）f（x）0,那么函数fx就叫做奇函数。
注意：
（1）判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非
偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断
fxfx之一是否成立。
（2）在判断fX与fx的关系时，只需验证可来确定函数的奇偶性。
xfx0及f（x）=1是否成立即
f（x）
题型一判断下列函数的奇偶性。
f（x）x-
x
⑴f（x）x2x，
（2）f（x）x3x
Gxfxfx,xR（4）
f（x）
x
x21
xx
⑸f（x）xcosx（6）f（x）xsinx（7）f（x）22，（8）
提示:
上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断
（1）
判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。
f（x）-
x
（2）
常见的奇函数有:
f（x）x,f（x）
x3,f（x）
sinx,
（3）
常见的奇函数有:
2
f（x）x,f（x）
x,f（x）
cosx
（4）
若fX、gx
都是偶函数，那么在f
x
与gx的公共定义域上，
fx+gx为
偶函数，fxgx为偶函数。
当gx工0时，上^为偶函数。
g（x）—
（5）若fx,gx都是奇函数，那么在fx与gx的公共定义域上，fx+gx是奇函
数，fxgx是奇函数，fxgx是偶函数，当gx工0时，丄凶是偶函数。
g（x）
（6）常函数fxcc为常数是偶函数，fx0既是偶函数又是奇函数。
（7）在公共定义域内偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇函数；奇（偶）数个奇函数积、商（分母不为零）为奇（偶）函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.（8）对于复合函数Fxfgx；若gx为偶函数，fx为奇（偶）函数，则Fx都为偶函数；若gx为奇函数，fx为奇函数，则Fx为奇函数；若gx为奇函数，fx为偶函数，则Fx为偶函数.
题型二三次函数奇偶性的判断
c0时，f（x）是偶函数
已知函数f（x）ax3bx2cxd，证明：
（1）当
（2）当bd0时，f（x）是奇函数
提示：
通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,
2
f（x）ax
bx
c,当b0，
f（x）
是偶函数；当ac0，f（x）是奇函数。
题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值
1函数fx
2ax
bx3ab是偶函数，定义域为a
1，2a，则a
2设f（x）
2
ax
bx2是定义在1a,2上的偶函数，则
f（x）的值域是
10,2
3已知
sinx
f（x）（x1）（xa）
是奇函数，则a的值为1
4已知
提示:
（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,
f（
x）f（x）,f（x）f（x）。
f（x）sinxln（xx2a）是偶函数，则a的值为
（2）
因为是填空题，所以还可以用f
（1）f
（1）,f
（1）f
（1）。
（3）
还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。
题型四利用函数奇偶性的对称
1下列函数中为偶函数的是（B）.下载可编辑.
.ylnx
A.yx2sinxyxB.yx2cosx
2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
3下列函数中,
A.yx1
4函数f（x）
A.y轴对称
xd1
eB.yx—
x
为偶函数的是（C）
1y-
x
x的图像关于（C
B.直线y
x对称
5已知函数f（x
1）是R上的奇函数，且f（
1）
6已知函数f（x
2）是R上的偶函数，贝Uf（
3）
提示：
（1）上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,
2x
坐标原点对称
4，贝Uf（3）=-4
3，则f（7）=-3
f（
x）f（x）,f（
直线
x）
yx对称
f（x）。
⑵奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
⑶在原点有定义的奇函数必有f（0）0。
（t,0）对称。
（4）已知函数f（xt）是R上的奇函数，贝yf（x）关于点
⑸已知f（xt）是偶函数，则f（x）关于直线xt对称。
题型五奇偶函数中的分段问题
1设f（x）为定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）2
2xb（b为常数）
，则f
（1）
-3
2已知fX是奇函数，且当x0时，fX
xx2，求x
0时，f
的表达式。
f（x）xx2
3已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x
0时，f（x）
2x3
x2，则f（
3）=-45
4已知fx是偶函数，当x0时，f（x）x2
2x，求f（
4）
24
5设偶函数f（x）满足f（x）2x4（x0），则
0={x|x0或x
4}
提示：
（1）已知奇函数f（x），当x0,f（x）g（x），则当x0时，f（x）g（x）。
.下载可编辑.
（2）已知偶函数f（x），当x0,f（x）g（x），则当x0时，f（x）g（x）。
类型六奇函数的特殊和性质
1已知函数f（x）ax32，求f
（2）f
（2）的和为4
2已知f（x）x了bx5ex3dx6，且f（3）12，则f（3）=0
3已知f（x）x5ax3bx8，f
（2）10，f
（2）=_-26__
x2x124
4已知函数f（x）=「——，若f（a）—,则f（a）（—）x133
提示：
已知f（x）满足，f（x）g（x）t,其中g（x）是奇函数，则有f（a）f（a）2t。
题型七函数奇偶性的结合性质
1设f（x）、g（x）是R上的函数，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则结论正确的是
A.f（x）g（x）是偶函数B.|f（x）|g（x）是奇函数
C.f（x）|g（x）|是奇函数D.|f（x）g（x）|是奇函数
2设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是
A.f（x）g（x）是偶函B.f（x）g（x）是奇函数
C.f（x）g（x）|是偶函数D.f（x）g（x）|是奇函数
3设函数f（x）与g（x）的定义域是xR且x1,f（x）是偶函数,g（x）是奇函数,且
11x
f（x）g（x）——,求f（x）和g（x）的解析式，f（x）—2-,g（x）—2-。
x1x1x1
提示：
（1）已知f（x）是奇函数，则f（x）是偶函数。
（2）已知h（x）是R上的函数，且f（x）也是R上的偶函数和g（x）也是R上的奇函数，满足
h（x）f（x）g（x），则有g（x）吐晋凶，f（x）叫S。
22
题型八函数的奇偶性与单调性
A1x
A.yB.yeC
x
2下列函数中，既是偶函数，又在区间（
yx21D.yIgx
1,2）内是增函数的为
（A）ycos2x，xR
（C）y
3
（D）yx1,xR
（B）ylog2x,xR且x丰0
xx
ee
xR
2
3设f（x）xsinx，贝yf（x）（B）
A既是奇函数又是减函数B既是奇函数又是增函数C有零点的减函数D没有零点的奇函数
4设奇函数f（x）在（0,）上为增函数，且f
（1）0，则不等式f（x）f（x）0的解集为
x
（（1,0）U（01））
5已知偶函数fx在0,单调递减，f20，若fx10，则x的取值范围是
（1,3）.
112
6已知偶函数f（x）在区间0,）单调增加，则满足f（2x1）vf（Q的x取值范围是（丄，）
333
提示：
（1）已知f（x）是奇函数，且在（，0）上是增（减）函数，则在（0,）上也是增（减）
函数。
（2）已知f（x）是偶函数，且在（，0）上是增（减）函数，则在（0,）上也是减（增）函数。
（3）已知f（x）是偶函数，必有f（x）f（x）f（x）。
题型九函数的奇偶性的综合问题
1已知函数fx,当x,yR时，恒f（xy）f（x）f（y），且x0时，fx0,又
1
f1
（1）求证：
fx是奇函数；
（2）求证：
f（x）在R上是减函数；（3）求f（x）在
区间2,6上的最值。
最大值1,最小值-3。
2设f（x）在R上是偶函数，在区间，0上递增，且有f2a2a1f2a22a3，求a
一2
的取值范围。
（2,）
3
练习题
、判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）
（4）f（x）
x
x21
f（x）
一x2
1x
1x，x
（1,1）
（2）
（5）f（x）
1,xR（5）f（x）
0,x
[2,2]
（6）f（x）
Inxe
⑺
f（X）
x3
x（8）f（x）sinxtanx（9）f（x）
2x
1，（10）f（x）
x1，
（11）
f（x）
xe
x2
e，（12）f（x）xsinx（13）f（x）x
x
，（14）f（x）
2
xcosx，
（15）
f（x）
2x|
，（16）f（x）xln（一x21x）,（17）f（x）
ln（1
1
|x|）2
1x2
二、利用函数的奇偶性求参数的值
1若函数fx（m1）x22mx3是偶函数，求m的值。
o
2若函数f（x）x3（a1）x2bxc4是奇函数，求（ac）25的值。
4
3函数f（x）ax3（b1）x2x是奇函数，定义域为（b1,a），则（ab2）2的值是9
4若f（x）
厂a是奇函数，则a
5若函数f（x）x2xa为偶函数，则实数a_0
6设函数f（x）x（exaex）（xR）是偶函数，则实数a-1
7若函数f（x）
lOga（x
2
2a）是奇函数，则
2
卄（x2）（xm）
8若f（x）为奇函数，则实数m__-2
x
9若函数f（x）xln（xax2）为偶函数，则a_A
3
10若fxlne3x1ax是偶函数，则a一
2'
三、函数奇偶性定义的应用
的图像Ax
（B）
1函数y=ylog22X
2
2已知函数f
2
x1x,xR则（B）
A.fx
fxB.fx为偶函数C.f
x
fx0D.fx不是偶函数
3若fX
是偶函数，则kfx（k为常数）
（A）
A.是偶函数
B.不是偶函数C.是常数函数
D.
无法确定是不是偶函数
4函数f
x:
=1,x0.则fx为
（B）
1,x0
A.偶函数
B.
奇函数C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数又不是偶函数
5已知f
x
为奇函数，贝Ufxx为
（A）
A奇函数
B.
偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数
D
L既是奇函数又是偶函数
6已知点
1,3
是偶函数fx图像上一点，贝yf
1
等（B）
A.-3B.3
C.1D.-1
7若点
1,3
在奇函数yfx的图象上，贝Uf
1
等于（D）
关于y轴对称（D）关于直线yx对称
A.OB.-1C.3D.-3
关于直线yx对称（C）
（A）关于原点对称
-1
8已知yf（x）x2是奇函数，且f
（1）1.若g（x）f（x）2,则g
（1）
9设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）f（x）f（x），在R上一定是（A）
A.奇函数B•偶函数C•既是奇函数又是偶函数D•非奇非偶函数
10设f（x）是R上的奇函数，且yf（x）的图象关于直线X1对称，则
2
f
（1）f
（2）f（3）f（4）f（5）0
11已知偶函数f（x）的图像关于直线x2对称，f（3）3,则f
（1）___3.
12设函数fx对于任意x,yR都有fxyfxfy，求证：
fx是奇函数。
x
13已知tR，函数f（x）t,xu,为奇函数，则t-1,g（f
（2））二7
g（x）,x0,
14已知奇函数f（x）的，且方程f（X）0仅有三个根x-i,x2,x3，则x-ix2x3的值0
15设函数fx是R上为奇函数，且f（x2）f（x）f
（2），在f（5）的值-
2
16已知偶函数f（x）2x4（x0），求f2（x）4f（x）30的个数7
17已知偶函数f（x）x24x6（x0），求f3（x）12f2（x）44f（x）480的个数9
四、函数奇偶性的性质
已知
f（x
3）是偶函数，且f（0）2，则2f（6）3的值为1
已知
f（x）
x2，则f（3）f（3）的值4
已知
f（x）
ax
bx4其中a,b为常数，若f
（2）2，则
f
（2）的值等于（-10
已知
f（x）
ax
则f（3）f（3）的值-4
已知
f（x）
ax
1
2，则f（ln3）f（ln）的值-4
3
6已知
f（x）
ax
csinx3，贝yf（ln3）
f（ln〕）的值6
3
7已知函数f
In
TV
x2，则f
lg5
flgi
8已知函数f
In
.19x2
3x1,则f
Ig2
1
flg1
9已知函数f（x）
ax3bsinx
4（a,bR），
f（lg（log210））
5，则
f（lg（lg2））
10设函数f（x）
2
（x1）2sinx
x21
的最大值为M，最小值为m，
m=2
11
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x（,0）时，f（x）
2x3x2，则
f
（2）
11
在R上的奇函数fx和偶函数gx满足f（x）g（x）axa
2（a>0,且a
0）.若
15
2a，则f2=—
4
12若函数f（x）,g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）
g（x）ex，
则有（
A-f
（2）f（3）g（0）B.g（0）f（3）f
（2）C.f
（2）g（0）f（3）D.g（0）
f
（2）
f（3）
fe2
13若函数fx为R上的偶函数，且当0x10时，fxInx,则fe
.下载可编辑.
14函数f（X）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有
xf（X1）（1x）f（x），则f（5）的值是0
2
15函数f（X）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有
xf（x1）（1X）f（X），贝yf（f（5））的值是o
16若函数
X
f（X）2
a在
1,1上
是
奇函
数，
则f（x）的
解析式
为
xbx1
Xf（x）飞
X
1
17设f（x）是
R上的奇函数,
且当X
0,
时，
f（x）
x（1
3X），则当
X（,0）
时
f（x）__x（1
Vx）_
18已知定义在
R上的奇函数
f（X），当X
0时，
f（x
：
）X2
|x|
1，那么X
0时，f（x）
X2X1
19函数f（x）Inx.1
2X
3ex
Xe
1
1在区间k,k（k0）上的最大值为
1
M，最小值为
m，则Mm4.
20奇函数f（x）的定义域为
R,
若f（x
2）为偶函数，且f
（1）1，则f（8）
f（9）
（1）
21设定义在R上的奇函数，
满足
f（x）
f（x2），那么f
（1）f
（2）
f（2017）的值0
22已知函数f（x）是R上的偶函数，当X0,都有f（x2）f（x），且当x[0,2）时，
f（x）log2（x1），则有f（2016）f（2017）的值1
五、函数奇偶性和单调性的应用
1已知函数f（x）（k2）x2（k1）x3是偶函数，则f（x）的递减区间是—0,
2设奇函数f（x）在（0,）上为增函数，且f
（1）0,则不等式f（x）f（x）0的解集为
x
（（1,0）U（01））
3已知函数f（x）
1
3X（3）x，则f（x）
3
（A）是偶函数，且在R上是增函数（B）是奇函数，且在R上是增函数下载可编辑.
4已知奇函数f（x）在R上是增函数•若af（log21）,bf（log24.1）,cf（20.8），则a,b,c
5
的大小关系为
5已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x4）
f（x2）.若当x[3,0]时，f（x）
6x，
则f（919）.
6已知偶函数fx在0,单调递减，f20,若fx10，则x的取值范围是
（1,3）.
112
7已知偶函数f（x）在区间0,）单调增加，则满足f（2x1）vf（）的x取值范围是（丄，）
333
8若偶函数f（x）在，1上是增函数，则下列关系式中成立的是（D）
f
（1）f（3）f
（2）
2
f
（2）f（弓f
（1）
2
Af（3）f
（1）f
（2）B.
2
Cf
（2）f
（1）f（3）D.2
9设偶函数f（x）满足f（x）
x38（x0），则{x|f（x2）0}
{x|x0或x4}
10已知函数fx是定义在
R上的奇函数，
且在区间
上单调递减，若
f3x1
0，则x的取值范围是—（
）_•
11已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增，若实数a满足
f（2|a"）f
（2），则a的取值范围是（f1,-））
22
12已知定义在R上的函数fx2xm1（m为实数）为偶函数，记
af（log0.53）,b
log25,c
f2m
，则a,b,c的大小关系为cab
13f（x）是定义在R上的偶函数，在（
0］上是减函数，且f
（2）0,则使得f（x）0的x的
取值范围是（2,2）
14已知函数f（x）是偶函数，在［0,）上单调递减，则f（1x2）的单调递增区间是.下载可编辑.
（,1][0,1]
15已知函数f（x4）是偶函数，在（4,）上单调递减，则f（log2（x24x5））的单调递减
0的解集为（2,5），则
区间为（1,4）
16已知f（x）,g（x）都是奇函数，如果f（x）0的解集是（4,10）,g（x）
f（x）g（x）0的解集为（5,4）（4,5）
17已知函数f（x）是R上的偶函数，且在[0,）上是增函数，令
25
af（sin）,bf（cos）,c
5
f（tan），则a,b,c的大小，cab
18已知函数f（x）是R上的奇函数，
若当x（0,）时，f（x）lg（x4），则满足f（x）0的
解集，（5,0）（5,）
19设f（x）是奇函数，且在（0,）内是增函数，又f（3）0,则xf（x）0的解集是
（x|x3或0x3）
20设fX是定义在上R的偶函数，且当
x0时，
fx
2.若对任意的
xa,a2，不
等式fxa
2
fx恒成立，则实数a的取值范围是
3
a-.
2
21函数fx是R上的偶函数，且在[0,
）上单调递增，则下列各式成立的是（
B）
A.f
（2）f（0）f
（1）b
.f
（2）
f（
1）f（0）
c.f
（1）f（0）
f
（2）d
.f
（1）
f
（2）
f（0）
22R上的偶函数
f（x）满足：
对任意的x-i
X2[0,
）（X1
X2），有f（x2）
X2
5）0.则A.
X1
（A）f（3）f（
2）f
（1）（B）f
（1）
f
（2）
f（3）
（C）f
（2）f
（1）f（3）（D）f（3）
f
（1）f（
2）
23设函数fxIn1xIn1x，则fx是（A）
A.奇函数，且在（0,1）上是增函数B
C.偶函数，且在（0,1）上是增函数D
24已知函数f（x）Inxln（2x），贝y
A.f（x）在（0,2）单调递增
C.y=f（x）的图像关于直线x=1对称
25函数f（x）在（，）单调递减，且为奇函数.
的取值范围是
26函数fXX0是奇函数，且当x0，
•奇函数，且在（0,1）上是减函数
•偶函数，且在（0,1）上是减函数
B.f（x）在（0,2）单调递减
D.y=f（x）的图像关于点（1,0）对称
若f
（1）1，则满足1f（x2）1的x
时是增函数，若f10,求不等
1
式fx—0的解集
2
27已知f（x）是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf（x22）f（2xm）只有一个
4
零点，则函数g（x）mx（x1）的最小值是（5）
x
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