函数的奇偶性的经典总结.docx

1、函数的奇偶性的经典总结函数的奇偶性一、函数奇偶性的基本概念1 .偶函数：一般地，如果对于函数 f x的定义域内任意一个 x，都有f X f x ,f( x) f (x) 0,那么函数f x就叫做偶函数。2.奇函数：一般地 ，如果对于函数 f x的定义 域内任一个 x，都有f x f x，f( x) f (x) 0,那么函数f x就叫做奇函数。注意：(1)判断函数的奇偶性，首先看定义域是否关于原点对称，不关于原点对称是非奇非偶函数，若函数的定义域是关于原点对称的，再判断f x f x之一是否成立。(2)在判断f X与f x的关系时，只需验证 可来确定函数的奇偶性。x f x 0及f( x) =

2、1是否成立即f (x)题型一判断下列函数的奇偶性。f(x) x -x f(x) x2 x ， ( 2 ) f(x) x3 xG x f x f x,xR(4)f(x)xx2 1x x f (x) xcosx (6) f (x) xs inx (7) f (x) 2 2 ，(8)提示:上述函数是用函数奇偶性的定义和一些性质来判断(1)判断上述函数的奇偶性的方法就是用定义。f(x)-x(2)常见的奇函数有:f(x) x, f(x)x3 , f (x)sin x ,(3)常见的奇函数有:2f(x) x , f (x)x , f(x)cosx(4)若 f X、g x都是偶函数，那么在fx与g x的公共

3、定义域上，f x +g x 为偶函数，f x g x为偶函数。当g x工0时，上 为偶函数。 g(x)(5)若f x , g x都是奇函数，那么在 f x与g x的公共定义域上， f x + g x是奇函数，f x g x是奇函数，f x g x是偶函数，当g x工0时，丄凶 是偶函数。g(x)(6) 常函数fx cc为常数 是偶函数，f x 0既是偶函数又是奇函数。(7) 在公共定义域内偶函数的和、差、积、商 (分母不为零)仍为偶函数；奇函数和、差仍为奇 函数；奇(偶)数个奇函数积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇 函数.(8)对于复合函数F x f g x ；

4、若g x为偶函数，f x为奇(偶)函数，则F x 都为偶函数；若g x为奇函数，f x为奇函数，则F x为奇函数；若g x为奇函数，f x为 偶函数，则F x为偶函数.题型二三次函数奇偶性的判断c 0时，f (x)是偶函数已知函数f (x) ax3 bx2 cx d，证明：(1)当(2)当b d 0时，f (x)是奇函数提示：通过定义来确定三次函数奇偶性中的常见题型,2f(x) axbxc,当 b 0，f(x)是偶函数；当a c 0，f (x)是奇函数。题型三利用函数奇偶性的定义来确定函数中的参数值1函数f x2 axbx 3a b是偶函数，定义域为 a1，2a，则 a2 设 f(x)2axb

5、x 2是定义在1 a,2上的偶函数，则f (x)的值域是10,23已知sin xf(x) (x 1)( x a)是奇函数，则a的值为 14已知提示:(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,f(x) f (x), f( x) f (x)。f (x) sinxln(x x2 a)是偶函数，则a的值为(2)因为是填空题，所以还可以用 f( 1) f(1), f ( 1) f (1)。(3)还可以用奇偶性的性质，如奇函数乘以奇函数是偶函数，奇函数乘以偶函数是奇函数等。题型四 利用函数奇偶性的对称1下列函数中为偶函数的是(B ) .下载可编辑.y lnxA. y x2sinx y x B . y x2

6、 cosx2下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是3下列函数中,A. y x 14函数f(x)A. y轴对称x d 1e B . y x x为偶函数的是(C )1 y -xx的图像关于(CB.直线yx对称5已知函数f (x1)是R上的奇函数，且 f (1)6已知函数f(x2)是R上的偶函数，贝U f (3)提示：(1)上述题型的思路是用函数奇偶性的定义,2x坐标原点对称4，贝U f(3) =-43，则 f(7) =-3f(x) f (x), f (直线x)y x对称f (x)。 奇函数关于原点对称，偶函数的图像关于 y轴对称。在原点有定义的奇函数必有 f (0) 0。(t,0)对称。(4)

7、已知函数f (x t)是R上的奇函数，贝y f (x)关于点已知f(x t)是偶函数，则f(x)关于直线x t对称。题型五 奇偶函数中的分段问题1设f(x)为定义在R上的奇函数，当x 0时，f(x) 22x b ( b为常数)，则 f ( 1)-32已知f X是奇函数，且当 x 0时，f Xx x 2，求 x0时，f的表达式。f (x) xx 23已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当 x0时，f (x)2x3x2，则 f(3) =-454已知f x是偶函数，当x 0时，f(x) x22x，求 f(4)245设偶函数f (x)满足f (x) 2x 4(x 0)，则0 =x | x 0或x4

8、提示：(1)已知奇函数f (x)，当x 0, f (x) g(x)，则当x 0时，f(x) g( x)。.下载可编辑.(2)已知偶函数 f (x)，当 x 0 , f(x) g(x)，则当 x 0时，f (x) g( x)。类型六奇函数的特殊和性质1已知函数f(x) ax3 2，求f( 2) f (2)的和为42已知 f (x) x 了 bx5 ex3 dx 6，且 f ( 3) 12，则 f (3) =03已知 f (x) x5 ax3 bx 8， f ( 2) 10， f (2) =_-26_x2 x 1 2 44已知函数f(x) =，若f(a),则f( a)() x 1 3 3提示：已知

9、f (x)满足，f(x) g(x) t,其中g(x)是奇函数，则有f (a) f( a) 2t。题型七函数奇偶性的结合性质1设f(x)、g(x)是R上的函数，且f (x)是奇函数，g(x)是偶函数，则结论正确的是A. f(x) g(x)是偶函数 B.| f(x) | g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.| f (x) g(x) |是奇函数2设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A. f (x) g(x)是偶函 B . f (x) g(x)是奇函数C. f (x) g(x) |是偶函数 D . f (x) g(x) |是奇函数3设函数f(x)与

10、g(x)的定义域是 x R且x 1 , f (x)是偶函数,g(x)是奇函数,且11 xf (x) g (x),求 f (x)和 g (x)的解析式， f(x) 2- , g(x) 2-。x 1 x 1 x 1提示：(1)已知f (x)是奇函数，则f (x)是偶函数。(2)已知h(x)是R上的函数，且f(x)也是R上的偶函数和 g(x)也是R上的奇函数，满足h(x) f(x) g(x)，则有 g(x)吐晋凶，f(x) 叫S。22题型八函数的奇偶性与单调性A 1 xA. y B . y e Cx2下列函数中，既是偶函数，又在区间(y x2 1 D . y Ig x1,2 )内是增函数的为(A)

11、y cos2x，x R(C) y3(D) y x 1 , x R(B) y log2 x , x R且 x 丰 0x xe e,x R23 设 f(x) x sin x，贝y f (x) ( B )A既是奇函数又是减函数 B既是奇函数又是增函数 C有零点的减函数 D没有零点的奇函数4设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且 f(1) 0，则不等式f (x)f ( x) 0的解集为x(1,0)U(01)5已知偶函数 f x在0, 单调递减，f 2 0，若f x 1 0，则x的取值范围是(1,3).1 1 26已知偶函数f (x)在区间0,)单调增加，则满足 f(2x 1) v f(Q的x取值范

12、围是(丄，)33 3提示：(1)已知f (x)是奇函数，且在(，0)上是增(减)函数，则在 (0,)上也是增(减)函数。(2) 已知f(x)是偶函数，且在(，0)上是增(减)函数，则在 (0,)上也是减(增)函数。(3)已知f (x)是偶函数，必有f( x) f (x) f (x)。题型九函数的奇偶性的综合问题1已知函数f x ,当x, y R时，恒f (x y) f (x) f ( y)，且x 0时，f x 0 ,又1f 1 (1)求证：f x是奇函数；(2)求证：f (x)在R上是减函数；(3)求f (x)在区间 2,6上的最值。最大值 1,最小值-3。2设f (x)在R上是偶函数，在区间

13、 ，0上递增，且有f 2a2 a 1 f 2a2 2a 3，求a一 2的取值范围。(2,)3练习题、判断下列函数的奇偶性(1) f(x)(4) f(x)xx2 1f(x)一 x21 x1 x，x(1,1)(2)(5) f(x)1, x R (5) f (x)0,x2,2(6) f (x)In x ef(X)x3x (8) f (x) sinx tanx ( 9) f (x)2 x1，(10) f (x)x 1，(11)f(x)x ex 2e ，(12) f(x) xsinx (13) f(x) xx，(14) f (x)2x cos x，(15)f(x)2x|，(16) f (x) xln(

14、一 x2 1 x) ,(17) f (x)ln(11|x|) 21 x2二、利用函数的奇偶性求参数的值1若函数f x (m 1)x2 2mx 3是偶函数，求 m的值。o2若函数f (x) x3 (a 1)x2 bx c 4是奇函数，求(a c)2 5的值。43函数f(x) ax3 (b 1)x2 x是奇函数，定义域为(b 1,a)，则(a b 2)2的值是 94 若 f(x)厂a是奇函数，则a5若函数f (x) x2 x a为偶函数，则实数 a _0 6设函数f(x) x(ex ae x)(x R)是偶函数，则实数 a -1 7若函数f (x)lOga(x22a )是奇函数，则2卄 (x 2)

15、( x m)8若f (x) 为奇函数，则实数m _-2x9若函数f (x) xln(x a x2)为偶函数，则a _A310若f x ln e3x 1 ax是偶函数，则a 一2三、函数奇偶性定义的应用的图像A x(B)1 函数 y= y log 2 2 X22已知函数f2x 1 x , x R 则(B )A. f xf x B. f x为偶函数C. fxf x 0 D. f x不是偶函数3若f X是偶函数，则kf x ( k为常数)(A )A.是偶函数B. 不是偶函数 C.是常数函数D.无法确定是不是偶函数4函数fx :=1,x 0.则 f x 为(B )1,x 0A.偶函数B.奇函数 C.既

16、是奇函数又是偶函数D.既不是奇函数又不是偶函数5已知fx为奇函数，贝U f x x为(A )A奇函数B.偶函数C.既不是奇函数又不是偶函数DL既是奇函数又是偶函数6已知点1,3是偶函数f x图像上一点，贝y f1等(B )A.-3 B.3C.1 D.-17若点1,3在奇函数y f x的图象上，贝U f1等于(D)关于y轴对称(D)关于直线y x对称A.O B.-1 C.3 D.-3关于直线y x对称(C)(A)关于原点对称 -18 已知 y f(x) x2 是奇函数，且 f(1) 1 .若 g(x) f(x) 2,则 g( 1)9设f(x)是定义在R上的一个函数，则函数 F(x) f (x)

17、f( x)，在R上一定是(A )A.奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数10设f (x)是R上的奇函数，且y f (x)的图象关于直线X 1对称，则2f(1) f(2) f(3) f (4) f(5) 011已知偶函数f(x)的图像关于直线x 2对称，f(3) 3,则f( 1) _3 .12设函数f x对于任意x, y R都有f x y f x f y，求证：f x是奇函数。x13 已知 t R，函数 f(x) t,x u,为奇函数，则 t -1 , g(f( 2) 二7 g(x),x 0,14已知奇函数f (x)的，且方程f(X) 0仅有三个根x-i, x2, x3

18、，则x-i x2 x3的值015设函数fx是R上为奇函数，且f(x 2) f(x) f(2)，在f(5)的值-216已知偶函数f(x) 2x 4(x 0)，求f2(x) 4f (x) 3 0的个数717 已知偶函数 f (x) x2 4x 6(x 0)，求 f3(x) 12f 2(x) 44 f (x) 48 0 的个数 9四、函数奇偶性的性质已知f(x3)是偶函数，且f(0) 2，则2f (6) 3的值为1已知f(x)x 2，则 f ( 3) f (3)的值 4已知f(x)axbx 4其中a,b为常数，若f ( 2) 2，则f (2)的值等于(-10已知f(x)ax则 f( 3) f(3)的

19、值-4已知f(x)ax12，则 f (ln 3) f (ln )的值-436已知f(x)axcsin x 3，贝y f (ln 3)f (ln)的值 637已知函数fInTVx 2，则 flg 5f lgi8已知函数fIn.1 9x23x 1,则 fIg21f lg19已知函数f (x)ax3 bsinx4(a,b R)，f(lg(log2 10)5，则f (lg(lg 2)10设函数f(x)2(x 1)2 si nxx2 1的最大值为M，最小值为m，m= 211已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x ( ,0)时，f(x)2x3 x2，则f(2)11在R上的奇函数f x和偶函数g x满足

20、f(x) g(x) ax a2 ( a 0,且 a0).若152 a，则 f 2 =412若函数f (x),g(x)分别是R上的奇函数、偶函数，且满足 f(x)g(x) ex，则有(A- f(2) f(3) g (0) B. g (0) f(3) f(2) C. f (2) g (0) f (3) D. g (0)f(2)f(3)f e213若函数f x为R上的偶函数，且当0 x 10时，f x Inx,则f e.下载可编辑.14函数f(X)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有xf(X 1) (1 x) f (x)，则 f (5)的值是 0215函数f (X)是定义在实数集

21、R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数X都有xf (x 1) (1 X) f(X)，贝y f (f (5)的值是 o16若函数Xf (X) 2a在1,1上是奇函数，则f (x)的解析式为x bx 1X f(x)飞X117设f(x)是R上的奇函数,且当 X0,时，f(x)x(13 X)，则当X ( ,0)时f(x) _x(1Vx)_18已知定义在R上的奇函数f(X)，当 X0时，f (x：)X2|x|1，那么X0 时，f (x)X2 X 119 函数 f(x) In x .12 X3exX e11在区间 k,k (k 0)上的最大值为1M ，最小值为m，则 M m 4 .20奇函数f (x)的定义

22、域为R,若f(x2)为偶函数，且f (1) 1，则f(8)f (9) ( 1 )21设定义在R上的奇函数，满足f(x)f (x 2)，那么 f (1) f(2)f(2017)的值 022已知函数f(x)是R上的偶函数，当X 0,都有f(x 2) f (x)，且当x 0,2)时，f(x) log2(x 1)，则有 f( 2016) f (2017)的值 1五、函数奇偶性和单调性的应用1已知函数f(x) (k 2)x2 (k 1)x 3是偶函数，则f(x)的递减区间是0,2设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且 f(1) 0,则不等式f(x) f( x) 0的解集为x(1,0)U(01)3已知

23、函数f (x)13X (3)x，则 f(x)3(A)是偶函数，且在 R上是增函数(B)是奇函数，且在 R上是增函数 下载可编辑.4 已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数若 a f (log21),b f (log24.1),c f (20.8)，则 a,b,c5的大小关系为5已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x 4)f(x 2).若当 x 3,0时，f (x)6x，则 f (919) .6已知偶函数 f x在0, 单调递减，f2 0,若fx1 0，则x的取值范围是(1,3).1 1 27已知偶函数f (x)在区间0,)单调增加，则满足 f(2x 1) v f ()的x取值范围是(丄，)

24、3 3 38若偶函数f (x)在 ，1上是增函数，则下列关系式中成立的是( D )f( 1) f( 3) f (2)2f (2) f(弓 f( 1)2A f( 3) f( 1) f(2) B .2C f(2) f( 1) f( 3) D . 29设偶函数f (x)满足f (x)x3 8(x 0)，则x| f (x 2) 0x | x 0或x 410已知函数f x是定义在R上的奇函数，且在区间上单调递减，若f 3x 10，则x的取值范围是()_11已知f (x)是定义在R上的偶函数，且在区间(，0)上单调递增，若实数 a满足f(2|a) f( 2)，则a的取值范围是( f1,-)2 212已知定

25、义在R 上的函数f x 2x m 1 ( m 为实数)为偶函数，记a f(log0.5 3),blog2 5 ,cf 2m，则a, b,c的大小关系为cab13 f(x)是定义在R上的偶函数，在(,0上是减函数，且f (2) 0 ,则使得f (x) 0的x的取值范围是(2,2)14已知函数f (x)是偶函数，在0,)上单调递减，则f (1 x2)的单调递增区间是 .下载可编辑.(,1 0,115已知函数f(x 4)是偶函数，在(4,)上单调递减，则f(log2( x2 4x 5)的单调递减0的解集为(2,5)，则区间为(1,4)16已知f(x),g(x)都是奇函数，如果f (x) 0的解集是(

26、4,10) , g(x)f (x) g(x) 0 的解集为(5, 4) (4,5)17已知函数f (x)是 R上的偶函数，且在0,)上是增函数，令2 5a f (sin ),b f (cos ), c5f (tan )，则 a,b,c 的大小，cab18已知函数f(x)是R上的奇函数，若当 x (0,)时，f(x) lg(x 4)，则满足 f(x) 0 的解集，(5,0) (5,)19设f(x)是奇函数，且在 (0,)内是增函数，又 f( 3) 0,则x f(x) 0的解集是(x | x 3或 0 x 3 )20设f X是定义在上R的偶函数，且当x 0时，f x2.若对任意的x a, a 2，

27、不等式f x a2f x恒成立，则实数a的取值范围是3a -.221函数f x是R上的偶函数，且在0,)上单调递增，则下列各式成立的是(B)A. f( 2) f(0) f(1) b.f( 2)f(1) f(0)c. f (1) f (0)f( 2) d.f(1)f( 2)f(0)22 R上的偶函数f (x)满足：对任意的x-i,X2 0,)(X1X2)，有 f(x2)X25)0.则 A.X1(A) f(3) f(2) f(1) (B) f(1)f( 2)f(3)(C) f( 2) f(1) f(3) (D) f (3)f(1) f(2)23 设函数 f x In 1 x In 1 x，则 f

28、x 是(A )A.奇函数，且在(0,1)上是增函数 BC.偶函数，且在(0,1)上是增函数 D24 已知函数 f (x) Inx ln(2 x)，贝yA. f (x)在(0,2 )单调递增C. y=f(x)的图像关于直线x=1对称25函数f (x)在(，)单调递减，且为奇函数.的取值范围是26函数f X X 0是奇函数，且当x 0，奇函数，且在(0,1)上是减函数偶函数，且在(0,1)上是减函数B. f (x)在(0,2 )单调递减D. y= f (x)的图像关于点(1,0 )对称若f(1) 1，则满足1 f (x 2) 1的x时是增函数，若f 1 0 ,求不等1式f x 0的解集227已知f (x)是奇函数并且是 R上的单调函数，若函数 y f(x2 2) f ( 2x m)只有一个4零点，则函数g(x) mx (x 1)的最小值是(5 )x