学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ212函数的表示方法学案苏教版必修1含答案.docx
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学年高中数学第二章基本初等函数Ⅰ212函数的表示方法学案苏教版必修1含答案
2．1.2 函数的表示方法
学习目标 1.理解函数的三种表示方法.2.能根据需要选择恰当的函数表示方法.3.了解分段函数，并能进行简单应用．
知识点一 解析法
思考 一次函数如何表示？
梳理 用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式．
知识点二 图象法
思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？
梳理 用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
知识点三 列表法
思考 在街头随机找100人，请他们依次随意地写一个数字．设找的人序号为x，x＝1,2,3，…，100.第x个人写下的数字为y，则x与y之间是不是函数关系？
能否用解析式表示？
怎样表示这种对应关系？
梳理 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法．
三种表示法的优缺点：
知识点四 分段函数
思考 某市规定出租车收费标准：
起步价（不超过2km）为5元．超过2km时，前2km依然按5元收费，超过2km部分，每千米收1.5元．按此规定乘坐出租车行驶任意一段路程，是否都有一个唯一的收费额与之对应？
收费额y元是行驶里程xkm的函数吗？
当x∈[0,2]时的计费方法与x∈（2，＋∞）时计费方法一样吗？
梳理 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．
类型一 解析式的求法
例1 根据下列条件，求f（x）的解析式．
（1）f（f（x））＝2x－1，其中f（x）为一次函数；
（2）f（x＋）＝x2＋；
（3）f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x.
反思与感悟
（1）如果已知函数类型，可以用待定系数法．
（2）如果已知f（g（x））的表达式，想求f（x）的解析式，可以设t＝g（x），然后把f（g（x））中每一个x都换成t的表达式．
（3）如果条件是一个关于f（x）、f（－x）的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f（x）、f（－x）的方程，然后消元消去f（－x）．
跟踪训练1 根据下列条件，求f（x）的解析式．
（1）f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9；
（2）f（x＋1）＝x2＋4x＋1；
（3）2f（）＋f（x）＝x（x≠0）．
类型二 列表法及函数表示法的选择
例2 下表是某校高一
（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表．
测试
序号
成绩
姓名
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
王伟
98
87
91
92
88
95
张城
90
76
88
75
86
80
赵磊
68
65
73
72
75
82
班级平均分
88.2
78.3
85.4
80.3
75.7
82.6
（1）选择合适的方法表示测试序号与成绩的关系；
（2）根据表示出来的函数关系对这三位同学的学习情况进行分析．
反思与感悟 函数的三种表示方法都有各自的优点，有些函数能用三种方法表示，有些只能用其中的一种来表示．
跟踪训练2 若函数f（x）如下表所示：
x
0
1
2
3
f（x）
3
2
1
0
则f（f
（1））＝________.
类型三 分段函数
命题角度1 建立分段函数模型
例3 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为2cm，当垂直于底边BC（垂足为F）的直线l从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线l把梯形分成两部分，令BF＝x，试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式，并画出大致图象．
反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
跟踪训练3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
命题角度2 研究分段函数的性质
例4 已知函数f（x）＝
（1）求f（f（））；
（2）若f（x0）＝8，求x0的值；
（3）解不等式f（x）>8.
反思与感悟 已知函数值求变量x取值的步骤
（1）先对x的取值范围分类讨论．
（2）然后代入到不同的解析式中．
（3）通过解方程求出x的解．
（4）检验所求的值是否在所讨论的区间内．
（5）若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
跟踪训练4 已知f（x）＝
（1）画出f（x）的图象；
（2）若f（x）≥，求x的取值范围；
（3）求f（x）的值域．
1．已知函数f（x）由下表给出，则f（f（3））＝________.
x
1
2
3
4
f（x）
3
2
4
1
2.如果二次函数的图象开口向上顶点坐标为（1，－1），且过点（0,0），则此二次函数的解析式为______________．
3．已知正方形的边长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为________．
4．如图所示，函数图象是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为________．
5．已知函数f（x）＝
（1）求f（f（f（5）））的值；
（2）画出函数f（x）的图象．
1．如何求函数的解析式
求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点（对应法则就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关），应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：
待定系数法、换元法、解方程组法（消元法）．
2．如何用函数图象
常借助函数图象研究定义域、值域、函数变化趋势及两个函数图象交点问题．
3．对分段函数的理解
（1）分段函数是一个函数而非几个函数．
分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．
（2）分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 y＝kx＋b（k≠0）．
知识点二
思考 一图胜千言．
知识点三
思考 对于任一个x的值，都有一个他写的数字与之对应，故x，y之间是函数关系，但因为人是随机找的，数字是随意写的，故难以用解析式表示．这时可以制作一个表格来表示x的值与y的值之间的对应关系．
知识点四
思考 因为任一行驶里程x都对应唯一的收费额y，故y是x的函数；但由于起步价的规定，x∈[0,2]时，y＝5，x∈（2，＋∞）时，y＝5＋（x－2）×1.5.计费方法不一样．
题型探究
例1 解
（1）由题意，设f（x）＝ax＋b（a≠0），
∵f（f（x））＝af（x）＋b＝a（ax＋b）＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f（x）＝x＋1－或
f（x）＝－x＋1＋.
（2）∵f（x＋）＝x2＋＝（x＋）2－2，
∴f（x）＝x2－2.
又x≠0，∴x＋≥2或x＋≤－2，
∴f（x）中的x与f（x＋）中的x＋取值范围相同，
∴f（x）＝x2－2，x∈（－∞，－2]∪[2，＋∞）．
（3）∵f（x）＋2f（－x）＝x2＋2x，
将x换成－x，得
f（－x）＋2f（x）＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f（－x），
得3f（x）＝x2－6x，
∴f（x）＝x2－2x.
跟踪训练1 解
（1）由题意，
设f（x）＝ax＋b（a≠0），
∵3f（x＋1）－f（x）＝2x＋9，
∴3a（x＋1）＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f（x）＝x＋3.
（2）设x＋1＝t，则x＝t－1，
f（t）＝（t－1）2＋4（t－1）＋1，
即f（t）＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f（x）＝x2＋2x－2.
（3）∵f（x）＋2f（）＝x，将原式中的x与互换，
得f（）＋2f（x）＝.
于是得关于f（x）的方程组
解得f（x）＝－（x≠0）．
例2 解
（1）不能用解析法表示，用图象法表示为宜．
在同一个坐标系内画出这四个函数的图象如下：
（2）王伟同学的数学成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张城同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高．
跟踪训练2 1
例3 解 过点A，D分别作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别是G，H.
因为四边形ABCD是等腰梯形，底角为45°，AB＝2cm，
所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，
又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.
（1）当点F在BG上，即x∈[0,2]时，
y＝x2；
（2）当点F在GH上，即x∈（2,5]时，
y＝×2＝2x－2；
（3）当点F在HC上，即x∈（5,7]时，
y＝S五边形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF
＝（7＋3）×2－（7－x）2
＝－（x－7）2＋10.
综合
（1）
（2）（3），得函数的解析式为
y＝
图象如图所示：
跟踪训练3 解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为（0,20]．
由题意得函数的解析式为
y＝
函数图象如图所示：
例4 解
（1）∵≤2，
∴f（）＝2×＝3，
∴f（f（））＝f（3）．
∵3＞2，
∴f（3）＝32＋2＝11，
即f（f（））＝11.
（2）当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由x＋2＝8，得x0＝或x0＝－（舍去），故x0＝.
（3）f（x）>8等价于①
或②
解①得x∈∅，解②得x>.
综合①②，f（x）>8的解集为{x|x>}．
跟踪训练4 解
（1）利用描点法，作出f（x）的图象，如图所示．
（2）由于f（±）＝，结合此函数图象可知，使f（x）≥的x的取值范围是（－∞，－]∪[，＋∞）．
（3）由图象知，当－1≤x≤1时，f（x）＝x2的值域为[0,1]，
当x>1或x<－1时，f（x）＝1.
所以f（x）的值域为[0,1]．
当堂训练
1．1 2.f（x）＝（x－1）2－1 3.y＝x
4．y＝
5．解
（1）因为5>4，
所以f（5）＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，
所以f（f（5））＝f（－3）＝－3＋4＝1.
因为0<1<4，
所以f（f（f（5）））＝f
（1）＝12－2×1＝－1.
（2）f（x）的图象如图：
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