判断矩阵的最大特征值.docx
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判断矩阵的最大特征值
项目六矩阵的特征值与特征向量
实验1求矩阵的特征值与特征向量
;能利用软件计算方
实验目的
学习利用Mathematica以上版本）命令求方阵的特征值和特征向量
阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.
求方阵的特征值与特征向量.
102例（教材例求矩阵A121.的特征值与特值向量130
（1）求矩阵A的特征值.输入
A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
MatrixForm[A]
Eigenvalues[A]
则输出A的特征值
{-1,1,1}
（2）求矩阵A的特征向量.输入
A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
MatrixForm[A]
Eigenvectors[A]
则输出{{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}}
31
即A的特征向量为1,0.
01
（3）利用命令Eigensystem同时矩阵A的所有特征值与特征向量.输入
A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}
MatrixForm[A]
Eigensystem[A]
则输岀矩阵A的特征值及其对应的特征向量.
234
例求矩阵A345的特征值与特征向量.
456
输入
A=Table[i+j,{i,3},{j,3}]
MatrixForm[A]
（1）计算矩阵A的全部（准确解）特征值，输入
Eigenvalues[A]
则输出
{0,6..42,6,42}
（2）计算矩阵A的全部（数值解）特征值，输入
Eigenvalues[N[A]]
则输出
{,,1016}
（3）计算矩阵A的全部（准确解）特征向量，输入
17
2
42
23
4
42
17
2
42
23
4
_42
Eigenvectors[A]
20
3
42
23
4
42
20
3
42
23
4
_42
0.430362
0.566542
0.702722
0.80506
0.11119
0.582679
0.4082480.816497
0.408248
输入
vvLinearAlgebra'Orthogonalization
0.4303620.5665420.702722
0.805060.111190.582679
GramSchmidt[Eigenvectors[N[A]]]
0.4082480.8164970.408248
123
M213输入
336
Clear[M];
M={{1,2,3,},{2,1,3}{3,3,6}};
Eigenvalues[M]
Eigenvectors[M]
Eigensystem[M]
则分别输出
{-1,0,9}
{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}
{{-1,0,9},{{-1,1,0},{-1,-1,1}{1,1,2}}}
1/31/3
1/2
例（教材例求矩阵A1/5
1
1/3的特征值和特征向量的近似值
6
1
2
输入
A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}};
Eigensystem[A]
则屏幕输出的结果很复杂，原因是矩阵A的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时，可采用
近似形式输入矩阵A,则输出结果也采用近似形式来表达.
输入
A={{1/3，1/3，-1/2}，{1/5，1，-1/3}，{，1，-2}};
Eigensystem[A]
则输出
{{+,从中可以看到A有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的
属于实特征值的特征向量是实的.
300
例（教材例已知2是方阵A1t3的特征值,求t
123
输入
Clear[A,q];
A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}};
q=Det[A]
Solve[q==0,t]
则输出
{{t8}}
即当t8时,2是方阵A的特征值.
212
例（教材例已知x（1,1,1）是方阵A5a3的一个特征向量，求参数a,b及
1b2
特征向量x所属的特征值.
设所求特征值为t,输入
Clear[A,B,v,a,b,t];
A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}};v={1,1,-1};
B=;
Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]
则输出
{{a-3,b0,t-1}}
即a3,b0时，向量x（1,1,1）是方阵A的属于特征值-1和特征向量
矩阵的相似变换
4
1
1
例（教材例设矩阵A2
2
2,
求一可逆矩阵
P,使P1AP为对角矩阵
2
2
2
方法1输入
Clear[A,P];
A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}};
Eigenvalues[A]
0
1
1
011
P=Eigenvectors[A]征向量为1
J
1
与1,矩阵P
111.
1
1
1
111
可验证P1AP为对角阵，事实上，输入
Inverse[P].
则输出
{{0，0，0}，{0，2，0}，{0，0，6}}
因此，矩阵A在相似变换矩阵P的作用下，可化作对角阵.
方法2直接使用JordanDecomposition命令，输入jor=JordanDecomposition[A]
则输出
{{{0，-1，1}，{-1，1，1}，{1，1，1}}，{{0，0，0}，{0，2，0}，{0，0，6}}}
可取出第一个矩阵S和第二个矩阵，事实上，输入
jor[[1]]
jor[[2]]
则输出
{{0，-1，1}，{-1，1，1}，{1，1，1}}
{{0，0，0}，{0，2，0}，{0，0，6}}
输出结果与方法1的得到的结果完全相同.
10
例方阵A10是否与对角阵相似
21
输入
Clear[A];
A={{1，0}，{2，1}};
Eigensystem[A]
输出为
{{1,1},{{0,1}{0,0}}}
于是,1是二重特征值，但是只有向量{0,1}是特征向量，因此,矩阵A不与对角阵相似
20
0
10
0
例（教材例已知方阵A2x
2与B
0
2
0相似,
求x,y
31
1
0
0
y
注意矩阵B是对角矩阵，特征值是1,2,y.又矩阵A是分块下三角矩阵，-2是矩阵A的特
征值.矩阵A与B相似,则y2,且-1,2也是矩阵A的特征值.
输入
Clear[c,v];
v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}};
Solve[Det[v]==0,x]
则输出
{{x0}}
所以,在题设条件,x
0,
y
2.
0
1
1
0
例对实对称矩阵A
1
0
1
0,求一个正交阵P,使P1AP为对角阵
1
1
0
0
0
0
0
2
输入
<Clear[A,P]
A={{0,1,1,0},{1,0,1,0},{1,1,0,0},{0,0,0,2}};
Eigenvalues[A]
Eigenvectors[A]
输岀的特征值与特征向量为
{-1,-122}
{{-1,0,1,0},{-1,1,0,0},{0,0,0,1},{1,1,1,0}}
再输入
P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]]P
AAA1QAAAA
—,,0,—,0,•—,0,—,—,—,0,—,0,0,1,°PP1APpTAP
2、63'■3.32•一63
lnverse[P]./Simplify
Transpose[P]./simplify
则输出
{{1,0,0,0},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}{{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}}{{-1,0,0,0},{0,-1,0,0},{0,0,2,0},{0,0,0,2}}
第一个结果说明PTPE,因此P是正交阵；第二个与第三个结果说明
1T
PAPPAP
二次型的矩阵为
0110
1010
A
1100
0002
这恰好是例的矩阵，因此，用例中的正交矩阵P,作正交变换XPY,即
%
X2
X3
X4
将f化作标准型.输入
f=Table[x[j],{j,4}].[x[j],{j,4}]
y【1],y【2],y[3],y[4]表示,输入代换命令
f/.Table[x[j][y[j],{j,4}]）[[j]],{j,4}]
例（教材例已知二次型
f（X1,X2,X3）X2
（1）求标准形；
（2）求正惯性指数；（3）判断二次型是否正定
输入
A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}
Eigenvalues[A]
则输岀矩阵A的特征值为
{-3,0,3}
所以二次型的标准形为f3y123y2;正惯性指数为1;该二次型不是正定的
1
2
1
.2
0
2x；
例（教材例求正交变换将二次型
1
6
2
'.3
1
0
2x.x2
1234yyyy^31313.
x[1],x[2],x[3],x[4]
4x1X32x2X3
2222f（x1,x2,x3）x1x2x3x42x1x22x1x42x2x32x3x4化为标准形.
输入
A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}}MatrixForm[A]
X={x1,x2,x3,x4};
Expand[则输出所求的正交变换矩阵P与二次型矩阵A标准形.从结果知，所求二次型的标准型为
2222gy1y2y3y4
实验2层次分析法
实验目的
通过应用层次分析法解决一个实际问题，学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica解决层次分析法中的数学问题.
基本原理
层次分析法是系统分析的重要工具之一，其基本思想是把问题层次化、数量化，并用数学方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据.它特别适用于难以完全量化，又相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂问题.它把人的思维过程层次化、数量化，是系统分析的一
新型的数学方法
运用层次分析法建立数学模型，一般可按如下四个基本步骤进行
1.建立层次结构
首先对所面临的问题要掌握足够的信息，搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互
关系，及所要解决问题的目标.把问题条理化、层次化，构造岀一个有层次的结构模型.在这
个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分.这些元素又按其属性及关系形成若干层次.
层
次结构一般分三层：
第一层为最高层，它是分析问题的预定目标和结果，也称目标层；
第二层为中间层，它是为了实现目标所涉及的中间环节，如：
准则、子准则，也称准则
层；
第三层为最底层，它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，也称方案
层.
图2-1
示；
（2）
整个层次结构中层次数不受限制.
2.构造判断矩阵
构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键.假定以上一层的某元素y为准则，它所支配
的下一层次的元素为xi,X2,,xn,这n个元素对上一层次的元素y有影响，要确定它们在y中的比重.采用成对比较法.即每次取两个元素xi和Xj,用日^表示务与Xj对y的影响之比，全部比较的结果可用矩阵A表示，即
A（aij）nn,i,j1,2,,n.
称矩阵A为判断矩阵.
根据上述定义，易见判断矩阵的元素aij满足下列性质：
1..
aji（ij）,aiih（ij）
aij
当aij0时,我们称判断矩阵A为正互反矩阵.
怎样确定判断矩阵A的元素aij的取值呢
当某层的元素X1,X2,,Xn对于上一层某元素y的影响可直接定量表示时，Xi与Xj对y的影响之比可以直接确定，aij的值也可直接确定.但对于大多数社会经济问题，特别是比较
复杂的问题，元素Xi与Xj对y的重要性不容易直接获得，需要通过适当的量化方法来解
决.
通常取数字1~9及其倒数作为aij的取值范围.这是因为在进行定性的成对比较时，通常采
用
5级制（表1）,在每两个等级之间各有一个中间状态，共1~9个尺度，另外心理学家认为进行
成
对比较的因素太多，将超岀人们的判断比较能力，降低精确.实践证明，成对比较的尺度
以
表1比较尺度aij的取值
Xi/Xj
相等
较强
强
很强
绝对强
aij
1
3
5
7
9
3.计算层次单排序权重并做一致性检验
层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序.
具体做法是：
根据同一层n个元素x1,x2,,xn对上一层某元素y的判断矩阵A,求出它们对
于元素y的相对排序权重，记为W1,W2,,Wn,写成向量形式w（W1,W2,,Wn）T,称其为A
的层次单排序权重向量，其中Wi表示第i个元素对上一层中某元素y所占的比重，从而得
到
层次单排序.
层次单排序权重向量有几种求解方法，常用的方法是利用判断矩阵A的特征值与特征向
量来计算排序权重向量W.
关于正互反矩阵A,我们不加证明地给出下列结果.
（1）如果一个正互反矩阵A（aij）nn满足
aijajkaik（i,j,k1,2,,n）
则称矩阵A具有一致性，称元素Xi,Xj,Xk的成对比较是一致的；并且称A为一致矩阵.
（2）n阶正互反矩阵A的最大特征根maxn,当n时，A是一致的.
（3）n阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值maxn.
计算排序权重向量的方法和步骤
设W（!
2,,n）T是n阶判断矩阵的排序权重向量，当A为一致矩阵时，根据n
阶判断矩阵构成的定义，有
1
n
2
n
11
12
22
12
因而满足Awnw,这里n是矩阵A的最大特征根，w是相应的特征向量；当A为一般的判断矩阵时AwmaxW,其中max是A的最大特征值（也称主特征根）,W是相应的特征向
n
量（也称主特征向量）.经归一化（即i1）后，可近似作为排序权重向量，这种方法称
i1
为
特征根法.
致性检验
这是由客观事物的复杂性
在构造判断矩阵时，我们并没有要求判断矩阵具有一致性与人的认识的多样性所决定的.特别是在规模大、因素多的情况下，对于判断矩阵的每个元素来说，不可能求岀精确的i/j，但要求判断矩阵大体上应该是一致的.一个经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误.利用上述方法计算排序权重向量，当判断矩阵过于偏离
一致性时，其可靠性也有问题.因此，需要对判断矩阵的一致性进行检验，检验可按如下步骤进行：
（1）计算一致性指标CI
当CI0，即maxn时，判断矩阵A是一致的.当CI的值越大，判断矩阵A的不一致的程
度就越严重
（2）查找相应的平均随机一致性指标RI
表2给出了n（1〜11）阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI，其中数据采用了
100〜150个随机样本矩阵A计算得到.
表2
矩阵阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
RI
0
0
（3）
计算一致性比例CR
当CR0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则应对判断矩阵作适当修正
4.计算层次总排序权重并做一致性检验
计算岀某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后，还需要得到各层元素，特别
是最底层中各方案对于目标层的排序权重，即层次总排序权重向量，再进行方案选择.层
次
总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到
以wk3）为列向量构成矩阵：
则第三层对第一层的层次总排序权重向量为
w（3）W（3）w⑵
一般地，若层次模型共有s层，则第k层对第一层的总排序权重向量为
其中W（k）是以第k层对第k1层的排序权向量为列向量组成的矩阵，w（k1）是第k1层对
第
一层的总排序权重向量.按照上述递推公式，可得到最下层（第s层）对第一层的总排序权
重
向量为
w⑸W（sW（s1）W（3）w⑵
对层次总排序权重向量也要进行一致性检验.具体方法是从最高层到最低层逐层进行
检验.
如果所考虑的层次分析模型共有s层.设第l（3ls）层的一致性指标与随机一致性
指标分别为ClV’ClP,,Cin°（n是第I1层元素的数目）与Rl1（l）,RI（）,,RI（）,令
Cl（l）[ClV,,Cl1（l）]w（l1）
Rl（l）[RlJ,,Rh（l）]w（l1）
则第I层对第一层的总排序权向量的一致性比率为
（i）（I1）Cl（l）
CR（）CR（）眉，I3,4,,s
Rl（l）
其中cr
（2）为由式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率
当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率CR（s）0.1时，就认为整个层次结
构
的比较判断可通过一致性检验.
应用举例
问题在选购电脑时，人们希望花最少的钱买到最理想的电脑.试通过层次分析法建
数学模型，并以此确定欲选购的电脑
1.建立选购电脑的层次结构模型
目标层
准则层
方案层
该层次结构模型共有三层：
目标层（用符号z表示最终的选择目标）;准则层（分别用符号
yiy，必表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则）；方案层（分别用符号Xi,X2,X3表示品牌1,品牌2,品牌3三种选择方案）.
2.构造成对比较判断矩阵
（1）建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵
根据表1的定量化尺度，从建模者的个人观点岀发，设准则层对目标层的成对比较判断矩阵为
1
5
3
9
3
1/5
1
1/2
2
1/2
A1/3
2
1
3
1
1/9
1/2
1/3
1
1/3
1/3
2
1
3
1
⑵建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵
11/3
1/5
1
3
5
1
1/3
1/5
B1
3
1
1/2
B2
1/3
1
2,B3
3
1
1/2
5
2
1
1/5
1/2
1
5
2
1
1
5
3
1
33
B4
1/5
1
1/2
B5
1/3
11
>
1/3
2
1
1/3
11
3.计算层次单排序权重向量并做一致性检验
先利用Mathematica计算矩阵A的最大特征值及特征值所对应的特征向量
输入
（*调用只求实数运算的软件包*）
A={{,5,3,9,3},{1/5,1,1/2,2,1/2},{1/3,2,1,3,1},{1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,1}};
（*以小数形式输入进行近似计算，可避免精确解太长、太复杂*）
T=Eigensystem[A]max5.00974,x（0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926）丁
w
（2）（0.502119,0.0956728,0.173739,0.0547301,0.173739）TCIn
n1
n5,max5.00974,Cl0.002435.RI1.12CR⑵90.002174CR
（2）0.1,Aw⑵
RI
下面再求矩阵Bj（j1,2,,5）的最大特征值及特征值所对应的特征向量，输入
B1=B3={{,1/3,1/5},{3,1,1/2},{5,2,1}};
B2=Transpose[B1];
B4={{,5,3},{1/5,1,1/2},{1/3,2,1}};
B5={{,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}};
T1=Eigensystem[B1]Bj（j1,2,,5）
13.00369,23.00369,33.00369,43.00369,53.000
Xt（0.163954,0.46286,0.871137）t
x2（0.928119,0.328758,0.174679）T
X3（0.163954,0.46286,0.871137）tXi（刈，Xi2,Xi3）,i1,2,,5.
x4（0.928119,0.174679,0.328758）T
x5（0.904534,0.301511,0.301511）t
4.计算层次总排序权重向量并做一致性检验
购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3.
表3
k
1
2
3
4
5
（3）
wk
k
3
以矩阵表示第三层对第二层的排序权重计算结果为
0.109452
0.648329
0.109452
0.648329
0.6
w（3）
0.308996
0.229651
0.308996
0.12202
0.2
0.581552
0.12202
0.581552
0.229651
0.2
W（3）即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵.最下层（第三层）对最上层（第
层）的总排序权向量为
为了计算上式,输入
W3=Transpose[{w1,w2,w3,w4,w5}];
ww3=
则从输出结果得到
w（3）（0.275728,0.272235,0.452037）T
为了对总排序权向量进行一致性检验,计算
（3）
（2）
CI（3）（C.I1,C.I2,,C.I5）w
（2）
输入
则从输出结果得到
CI（3）0.00152635再计算RI（3）[
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