合肥168中学自主招生数学试题.docx

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合肥168中学自主招生数学试题

数学试题

【卷首语】亲爱同窗们，欢迎参加一六八中学自主招生考试，但愿你们凝神静气，考出水平！

开放一六八中学热忱欢迎你们！

本学科满分为120分，共17题；建议用时90分钟。

得分

评卷人

一、填空题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1、计算=.

2、分解因式：

=.

3、函数中，自变量x取值范畴是.

4、已知样本数据x1，x2，…，xn方差为1，则数据10x1＋5，10x2＋5，…，10xn＋5方差为.

5、函数图像与坐标轴三个交点分别为（a，0）（b，0）（0，c），则a+b+c值等于.

6、在同一平面上，⊙、⊙半径分别为2和1，＝5，则半径为9且与⊙、⊙都相切圆有个．

7、一种直角三角形斜边上两个三等分点与直角顶点两条连线段长分别为3cm和4cm，则斜边长为cm.

8、用黑白两种颜色正六边形地面砖按如下所示规律，拼成若干个图案：

则第10个图案中有白色地面砖块.

9、将函数图像平移，使平移后图像过C（0，-2），交x轴于A、B两点，并且△ABC面积等于4，则平移后图像顶点坐标是.

10、如图，平行四边形ABCD中，P点是形内一点，且△PAB面积等于8cm2，△PAD面积等于7cm2，，△PCB面积等于12cm2，则△PCD面积是cm2.

（第10题图）（第11题图）

11、一种由若干个相似大小小正方体构成几何组合体，其主视图与左视图均为如图所示3×3方格，问该几何组合体至少需要小正方体个数是.

12、正△ABC内接于⊙O，D、E分别是AB、AC中点，延长DE交⊙O与F，连接BF交AC于点P,则.

得分

评卷人

二、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）

13、已知（a+b）：

（b+c）：

（c+a）=7：

14：

9

求：

①a：

b：

c②

14、一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上同步同向行驶,客车在前,小轿车在后,货车在客车与小轿车之间，走了1分钟,小轿车追上了货车;又走了6分钟,小轿车追上了客车.再过8分钟,货车追上了客车.设出发时客车与货车距离为a，货车与小轿车距离为b,求a：

b值

15、在Rt△ABC中，斜边AB＝5厘米，BC＝a厘米，AC＝b厘米，a＞b，且a、b是方程两根，

⑴求a和b值；

⑵△A'B'C'与△ABC开始时完全重叠，然后让△ABC固定不动，将△A'B'C'以1厘米/秒速度沿BC所在直线向左移动.

ⅰ）设x秒时△A'B'C'与△ABC重叠某些面积为y平方厘米（y＞0），求y与x之间函数关系式,并写出x取值范畴；

ⅱ）几秒时重叠某些面积等于平方厘米？

16、已知A（5，0），点B在第一象限内，并且AB与直线l:

平行，AB长为8.

（1）求点B坐标.

（2）点P是直线l:

上动点，求△PAB内切圆最大面积.

17、已知半径为r⊙与半径为R⊙外离，直线DE通过切⊙于点E并交⊙于点A和点D，直线CF通过切⊙于点F并交⊙于点B和点C，连接AB、CD,

（1）[如下ⅰ）、ⅱ）两小题任选一题]

ⅰ）求四边形ABCD面积

ⅱ）求证：

A、B、E、F四点在同一种圆上

（2）求证：

AB//DC

合肥一六八中学自主招生考试数学试卷答案

1.C。

2.D。

（PD=7，PB=6）

3.B或C。

（若a+b+c≠0，则k=2，选B；若a+b+c=0，则k=-1，选C）

4.B。

（ax中若x为偶数则ax=-x/2，若x为奇数则ax=-x/2+1/2）

5.C。

（分别为1、1、7，1、2、4，1、3、1和2、1、2）

6.B。

（易证△OBC∽△BAC，可得比例式1：

a=a：

（a+1），解方程并排除负解得B）

7.B。

（由n+m=4s，可知AD²/4+BC²/4=AB²即AD²+BC²=4AB²，作BE∥AD交CD于  E，可证得△BEC是直角三角形且四边形ABED是平行四边形，∴AD=BE，AB=DE，AD²+BC²=CE²，于是得4AB²=CE²即2AB=CE即2DE=CE，因此CD=3AB）

8.C。

（通过十字相乘法分解因式，得y=（nx-1）[（n+1）x-1]，故其与x轴交点为1/n和1/（n+1），所截得线段长度为1/n-1/（n+1）。

因此线段长度之和为1-1/2+1/2-1/3+…+1/-1/=/）

9.3 EQ\R（,3） 。

（连接OB，OA⊥AP，OB⊥BP，易算出∠BAP和∠ABP为60°，于是得△ABP为等边三角形；易算出AB= EQ\R（,3） ，因此周长为3 EQ\R（,3） ）

10.27。

11.56。

（观测可知aij=[（i-1）²+j]×（-1）i+j+1）

12.5/18。

13.3 EQ\R（,2） 。

（显然AC是正方形ABCD对称轴，∴对于在AC上任意一种P点，都能满足PB=PD，因此PD+PE=PB+PE。

显然当P点恰为AC、BE交点时PB+PE值最小，因此最小值为PB+PE=BE=AB=3 EQ\R（,2））

14.2（易算出S△ABD=6，S△ABE=4，因此S△ABD-S△ABE=2，即S△ADF-S△BEF=2）

15.0°<θ<60°（由题意可知b²-4ac<0，即：

（4sinθ）²-4×6×cosθ<0。

化简，得2sin²θ-3cosθ<0。

由sin²θ+cos²θ=1，可知2sin²θ=2-2cos²θ，令x=cosθ，则2-2x²-3x<0，化简得（2x-1）（x+2）>0。

因此2x-1和x+2同正或同负，解得x>1/2或x<-2。

∵x=cosθ，∴x<-2排除，故x>1/2即cosθ>1/2，得θ<60°。

又θ为三角形内角，因此0°<θ<60°）

16.

（1）化简得原式=1/（a²+2a），又由a²+2a-1=0可得a²+2a=1，∴原式值为1。

（2）若a=b，则原式=1+1=2；

      若a≠b，则a、b为x²+3x+1=0两个根，由韦达定理可得a+b=-3，ab=1。

将原式化为（a+b）²/ab-2，代入，得原式值为7。

      综上，原式值为1或7。

17.

（1）作AF⊥BC于F，易得出BF=1，AF= EQ\R（,3） 。

又BC= EQ\R（,3） +1，∴CF= EQ\R（,3） 。

由勾股定理，得AC= EQ\R（,6） 。

（2）由

（1）及题目，易算出S△ABF= EQ\R（,3） /2，S△ACF=3/2。

∴S△ACE= EQ\R（,3） /2。

做法A：

由S=CE×AD/2可得AD= EQ\R（,6） /2，∴sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。

做法B：

由S=sin∠ACD×CE×AC/2（面积公式），可得sin∠ACD=1/2，∴∠ACD=30°。

18.

（1）若0

∵AB=AD，AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=∠ABD=30°，PQ=BP/ EQ\R（,3） = EQ\R（,3） - EQ\R（,3） t/3。

∴S=PQ×BM/2=- EQ\R（,3） /6（t-3/2）²+3 EQ\R（,3） /8（0

此时S最大值为3 EQ\R（,3） /8。

若2≤t<4，易得BP=NB/2=（4-t）/2。

同0

∴S=PQ×BM/2=- EQ\R（,3） /12（t-2）²+ EQ\R（,3） /3（2≤t<4）。

此时S最大值为 EQ\R（,3） /3。

显然3 EQ\R（,3） /8不不大于 EQ\R（,3） /3，故S最大值为3 EQ\R（,3） /8。

综上所述，S=- EQ\R（,3） /6（t-3/2）²+3 EQ\R（,3） /8（0

        S=- EQ\R（,3） /12（t-2）²+ EQ\R（,3） /3（2≤t<4）,

        S最大值为3 EQ\R（,3） /8。

（2）若BM=MQ，当0

当2≤t<4时，t= EQ\R（,[t-（4-t）/2]²+（2EQ\R（,3）/3-EQ\R（,3）t/6）²） ，解得t1=1（舍去），t2=4（舍去）。

若BM=BQ，当0

当2≤t<4时，2×（2 EQ\R（,3） /3- EQ\R（,3） t/6）=t，解得t=2 EQ\R（,3） -2（舍去）。

若MQ=BQ，当0

当2≤t<4时， EQ\R（,[t-（4-t）/2]²+（2EQ\R（,3）/3-EQ\R（,3）t/6）²） =2×（2 EQ\R（,3） /3- EQ\R（,3） t/6），解得t1=2，t2=0（舍去）。

  综上所述，当t=1.2或t=12-6 EQ\R（,3） 或t=2时，△BMQ为等腰三角形。

19.

（1）由垂直平分可得BE=DE，设BE=DE=x，则有（3-x）²+（ EQ\R（,3） ）²=x²，得x=2。

故DE=2。

（2）由

（1）及题目可得AE=1，则∠AEB=60°。

易证∠DFE=∠BEF=∠EBF=60°，BE=FE，BG=BM=FN，∴△BEG和△FEN全等（SAS），∴∠GEN=∠BEF=60°。

20. 题目缺失

21.

（1）把A（1，-4）代入直线表达式得y=2x-6，算出B点坐标为（3，0），将A、B两点代入抛物线表达式，得y=x²-2x-3。

（2）存在。

∵OP为公共边，OB=3=OC，∴要使两三角形全等，可使∠POB=∠POC，即P点在直线y=-x上。

计算得出直线y=-x与抛物线在第二象限交点坐标为（1/2- EQ\R（,13） /2， EQ\R（,13） /2-1/2）。

    （3）若∠QAB=90°，则可设直线QA表达式为y=-x/2+b，将A点坐标代入，得y=-x/2-7/2，故Q点坐标为（0，-7/2）。

若∠QBA=90°，同上可设QB表达式为y=-x/2+b，将B点坐标代入，得y=-x/2+3/2，故Q点坐标为（0，3/2）。

若∠AQB=90°，可设QA表达式为y1=-x/k+b，则QB表达式为y2=kx+b。

将A点坐标代入y1，B点坐标代入y2，可得k1=1，b1=-3；k2=1/3，b2=-1。

∴当k=1时，Q点坐标为（0，-3）；k=1/3时，Q点坐标为（0，-1）。

综上所述，Q点坐标为（0，-7/2）或（0，3/2）或（0，-3）或（0，-1）。

    （4）不存在，理由如下：

作线段AB中垂线MN，在A点左侧交抛物线于点M，在A点右侧交抛物线于点N，交线段AB于点E，则E点坐标为（2，-2）。

设直线MN表达式为y=-x/2+b。

把E点代入直线MN，得y=-x/2-1。

计算得M点坐标为（3/4- EQ