人教高中数学选修11课件22双曲线2222.docx

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人教高中数学选修11课件22双曲线2222

第2课时

双曲线方程及性质的应用

洱慕提示如黑您在观石木"件旳辻壮中出"••字他泉•漬吳同解帝幻灯片.fitti#可正$恋・

玻心寻学•

【题型探究】

类型一直线与双曲线的位置关系

【典例】1.（2015-三明高二检测）若直线尸kx-l与双曲线x2-y2=l有且

只有一个交点，贝叹的值为

2.已知双曲线x2-y2=4,直线Z:

y=k（x-1）,试讨论满足下列条件的实数k

的取值范围.

⑴直线2与双曲线有两个公共点；

（2）直线2与双曲线有且只有一个公共点;

（3）直线2与双曲线没有公共点.

【解题探究】1.典例1中直线尸kx-l与双曲线x2-y2=l有且只有一个交点说明直线与双曲线相切吗？

提示:

不单纯相切，还有可能相交.

2.典例2中讨论双曲线x2-y2=4与直线z：

y=k（x-l）的交点个数可采用什么方法？

提示:

要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线组成方程组,对方程组解的个数进行讨论.

【解析】1•由F「辔Jk2）x2+2kx・2=0.当1.■心0时,即bhYfl孙

方程变为±2x-2=OfpMx=±l.

此时直线与双曲线的渐近线平行,有且只有一个交点.当l-k2^0H?

>A=4k2+8（l-k2）=0f

解得k二士•

此时直线韦双曲线相切，有且只有一个公共点•

综上所述水二±4士时，直线与双曲线有且只有一个交点•

2.由于消去y,得

（l-k4^2+fe-k2-4=0.（*）

当IM二0,即k二±1时，直线/与双曲线的渐近线平行，方程化为2X&0,

当苹0间k^±lHJf

A=（2k2）2-4（l-k2）（-k2-4）=4（4-3k2）.

4一3咼，近且恃

直韩双曲线有两不公实点;"3

®gp^=±时蛊C）有两个相同的实数解,即直线

1-宀0，3

与或曲线有且只有一个公共点；

综上所述，当・vlcvj或Jvkvl或Ivlev时，直线与双曲线有

两个公共点；

2*2羽

当k二±1或k二士时，直线与双曲线有且只有一个公共点;

当kv・或k>癒，直线与双曲线没有公共点•

2丽2^3

【方法技巧】直线与双曲线位置关系的判断一般地，设直线/:

y=kx+m（mHO）,①

双曲线C:

.（a>0,b>0）.②

把①代入②暮b2"

（b2-a2k2）x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.

曲线C相交于一点.

（2）当b2-a2k2^0,即kH土b时，

A=（-2a2mk）2-4（b2-a2k2）（-a2m2-a2b2）•

△>0今直线与双曲线有两个公共点,此时称直线与双曲线相交;

△直线与双曲线有一个公共点，此时称直线与双曲线相切;

A〈0=>直线与双曲线没有公共点,此时称直线与双曲线相离.

【变式训练】直线2x-y-10=0与双曲线=1的交点是205"

【解析】由2x-y-朋毎・32乂+84=0,解得x=6或x二

1205

将其分别代入直线方程得

广;或

沖，2）或

即交点坐标为（6,2）或

X=T

类型二弦长及中点弦问题

【解题探究】本例中如何设2的方程求解简单?

提示:

由于斜率为2,故可以设直线/的方程为y=2x+m.

【解析】设直线2的方程为y=2x+mf由丫=“存gox2+i2mx+3（m2+2）=O・C）

J22

[丄=1

设音线辱R临线交于A（Xpy）B（X2"2）两点,由根与系数的关系，得

x1+x2=-mfx1x2=（m2+2）.

所以|ABf2=（x1-x2）^+（y1-y2）2=5（x1-x2）2=5[（x1+x2）2-4x1x2]=

510

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【延伸探究】

1.（变换条件）求斜率为2的直线2与双曲线

^11

中点的轨迹方程.

x2y2=l相交时，其弦

【解析】设直线/与双曲线2L_il相交于AN"）

心汕2）冲点P（X"）则

医毀直弦中点赢迹方程为x・3y2o・

=0,

ill

2・（变换条件）若直线2与本例中的双曲线相交求以点P（3,1）为中

点的直线2的方程.

【解析】设直线?

与双曲线乞旦1相交于A（x^y）

心2必）冲点P（X"）则

¥矍⑶1）为线段AB的中点，所以kAB=2f奁麻直线的方程为y=2x・5.

【方法技巧】

1.求弦长的两种方法

⑴距离公式法:

当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长.

⑵弦长公式法:

当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解,即若直线/：

尸kx+b（kHO）与双曲线C:

（a>0,b>0）交于

a（xpyx）,b（x2,y?

）两点，则IabI=匕_拄寸21=Iyry21•

a2b2

提醒:

若直线方程涉及斜率，要注骞佥论斜率不存钠»况・

Ji+k7.71+4

2.中点弦问题

与弦中点有关的问题主要用点差法，根与系数的关系解决•另外，要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题解决.

【拓展延伸】点差法若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（xpY1）,

B（x2,yj,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个

与弦AB的中点M（x°,y0）的坐标和斜率的关系式，可以大大减少运算量・

我们称这种代点作差的方法为“点差法”•

【补偿训练】已知双曲线好-£=1,经过点M（2,1）能否作一条直线厶

使/与双曲线交于A,B,且点M是线段AB的中点•若存在这样的直线厶求

出它的方程，若不存在，说明理由.

【解析】设存在被点M平分的弦AB,且A（Xi，y）B（X2，y2）,则

xzMyr了片2y22_i

X]1,X21,

两式相减得（X]+X2）（X?

X2）■他+歹2）仪宀2）=所以!

$-l.=4（x・2）,

y匚y?

即直线/的方^^4x・y・7=0.

Sil

【延伸探究】把题设条件“点M（2,1）”换成“点M（l,1）”再求解本题.

【解析】设存在被点M平分的3gAB/fiA（xlfy1）fB（x2fy2）,则X]+X2=2,

Vi+y2=2-2yi2_2y22_

两式相减滄&?

+乂）（xi-x2i-：

（兀+丫2）My）=0’

所以kAB==2,故直线AB：

Wl=2（x-l）f

yi-y2

y-l=2（x-l），

由9请丢%得2x2-4x+3=0f

x-訂

所以A=（-4）2-4x2x3=-8<0f

这说明直线AB与双曲线不相交,故被点M平分的弦不存在，即不存在

这样的直线人

类型三双曲线性质的综合运用

角度1:

渐近线的应用

【典例】（2015•重庆高考）双曲线22（a>0,b>0）的右焦点为

F,左、右顶点A2,过F作A』?

的垂缱与双曲线交于B,C两点，若

—-4=1

A]B丄AqC,则该双曲线的渐近线斜率为（）

A.±-

C.±l

D.±V2

【解题探究】本例中的>#A1B±A2C^n>fnr^fj用?

，A2,C的坐标，然后转化为

提示：

可据题意分别表示出禺，十託求解.

AB於2C

【解析】选c•由题意知F（gO）,A]（-afO）fA2（afO）f其中c=

X=C,h2b2

———=1，a（X

la2b2又因为A]B丄A2C

所以谏陣线的渐近线斜率为节・

MUIUflUUIUIUMB

角度2:

离心率的取值范围

【典例】已知双曲线x2y2（a>0,b>0）的左、右焦点分别为

—1

F]（-c,0）,F?

（c,0）,若如曲技上存在点P使血4^a则该双曲线的离心率的取值范围是.sinZPF^=?

【解题探究】本例中如何转化条件sinZPF.fi=a怎样建立关于离心

率e的不等关系？

sinZPEF^c

提示:

借助三角形的正弦走理实现边与角的转化.借助焦半径的有界性建立关于离心率e的不等关系.

【解析】不妨设P为双曲线右支上一点，由正弦走理可得

sinZPFjF.|P£|a^pr|PFj

丽董嘀p所以両7

故

iPFj-hl.2a_gt

而|pf2||pf2|'

2a2

所协沪再窝一。

応卩®淅41,所以lvev+1.

答案:

衣「+刊V2

角度3:

由直线与双曲线相交求参数的范围（值）

【典例】已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2,0）,右顶点为

（2）若直线I:

y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

【解题探究】本例中如何转化条件“6a^b>2”，条件"Zy=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点”隐含着什么？

提示:

通过数量积的定义实现条件“_>2"的转化，条件

OAQB

y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点〃隐含着消元后方

程为二次廂

且判别式大于0.

【解析】

（1）设双曲线方程为

iyb=i.

故蘇双曲线方程为-y2=l

£_Xa>p,b>O）f由已知得a二疋二2,所

212

（2）将y二kx场代入曲线交于不

同的两点得卩-3kG0,

故且

设A（xlfyJ,Bgy2），

则X1+X2=，xp<2二，

由>2帧摂2+yy密一

口Fl-3k2

VU4VAMMUJ

0AQB

又因为『』2=（衣応）（kx2+^）

=+_k（x1+x2）+2

所以k的取枣围为]

{kl—l

【方法技巧】与双曲线有关的综合问题

双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性

质，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考査综合运用数学知识的能力.

⑴当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系,转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.

（2）当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元

二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解.

|=:

【变式训练】1.（2015•湖北高考）将离心率为e】的双曲线C］的实半轴长a和虚半轴长b（aHb）同时增加m（m〉0）个单位长度,得到离心率为e?

的

双曲线C”则（）

A.对任意的a,b,e/e?

B.当a>b时,e1>e2;当a〈b时,

C.对任意的a,b,er

D.当a>b时,e1

【解析】选D.不妨设双曲线C］的焦点在x轴上f即具方程为:

b+mb（b+m）a-b（a+m）——=a+ma（a+m）a

当avb时匕+口b（b+m）a—b（a+m）（a_b）m

a+m

（a+m）a

所以所Kke2<^.

也芒，所以（旦），（与,

a+maa+ma

（a+m）a

<0,

2.（2015-吉林高二检测）若直线y=kx+2与双曲线x2-y2=6的右支交于不

同的两点，那么k的取值范围是

C.（芈0）

【解题指南联立方程组,转化成—元二次方程有两个正根的问题【解析】选D.联立fy=kx^（l-k2）x2-4kx-10=0,

[x2-y2=6,

白题意得fA>0,

X|+X2>0,即

>0,

解得-

凶X2>0,vkvj.

1-k2

3.已知双曲线的中心为坐标原点,右顶点为A（l,0）,点P在双曲线的右支上，点M（m,0）到直线AP的距离为1•若直线AP的斜率为k,且

【解析】由条件得直线AP的方程为y=k（x・l）,即kx・y・k二0.因为点M到直线AP的距离为1,

—=,i+—

因为|k|w

晰以Y<|

［一1,1一羊2卩+羊,Q.

典黄研折*iWll

规范解答直线与双曲线的位置关系

x2-y2=l（a>0）与直

线2:

x+y=l相交于两个不同的点A,B.

【典例】（12分）（2015-济宁高二检测）设双曲线C:

⑵设直线2与y轴的交点为P,且,求a的值.

uun5w

PA=—PB

【审题指导】⑴要求双曲线c的离心率e的取值范围，只需建立比c的

不等关系,可通过双曲线C:

y2=l（a>0）与直线Z:

x+y二1相交于两个

不同的点A,B.求参数a的范离，进而求解本题.

uun5血

PA=-PB

【规范解答】⑴将y-x+l代入双曲线匚护二1中得（l-a2）x2+2a2x-

又双曲线礪心率

6分

e=Jl+°£+1,所以e＞勺且

aVa22

（2）jgA（xliyi）fB（x2fy2）f因为P为直线与y轴的交点，所以P（Ofl）.

因为uun（x2fy2-l）.

PA=—PB

12由此得X］二X2由于XiK都是方程①的根，且l-a2^0.

由根与系数的关系，得

失分警示:

此处、漏掉a>0导致增解，则扣掉2分

【题后悟道】

1•注意消元前后的等价性

直线与双曲线方程联立后，要注意二次项系数为零的情况,如本题，若注意不到1-a2H0,则会造成离心率范围扩大.

2.综合问题的求解策略

双曲线的综合问题最终仍体现在直线与双曲线的轨迹、向量的应用及参数范围的探求上，设而不求、根与系数的关系、消参是解题的常用的方法，在解题时，应有意识地运用这些方法，达到熟练掌握的程度.

课时撮井作此

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