高中数学竞赛讲义11圆锥曲线.docx

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高中数学竞赛讲义11圆锥曲线

高中数学竞赛讲义（十一）

──圆锥曲线

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：

平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|=2c）.

第二定义：

平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e（0

（0

第三定义：

在直角坐标平面内给定两圆c1:

x2+y2=a2,c2:

x2+y2=b2,a,b∈R+且a≠b。

从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x轴上，列标准方程为

 （a>b>0），

参数方程为

（

为参数）。

若焦点在y轴上，列标准方程为

 （a>b>0）。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

，

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为（±a,0）,（0,±b）,（±c,0）；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为

，与右焦点对应的准线为

；定义中的比e称为离心率，且

，由c2+b2=a2知0

椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：

对于椭圆

1（a>b>0）,F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两焦点。

若P（x,y）是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.

5．几个常用结论：

1）过椭圆上一点P（x0,y0）的切线方程为

；

2）斜率为k的切线方程为

；

3）过焦点F2（c,0）倾斜角为θ的弦的长为

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a（2a<2c=|F1F2|,a>0）的点P的轨迹；

第二定义：

到定点的距离与到定直线距离之比为常数e（>1）的点的轨迹。

7．双曲线的方程：

中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

，

参数方程为

（

为参数）。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

（a,b>0）,

a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为（-a,0）,（a,0）.左、右焦点为F1（-c,0）,F2（c,0），对应的左、右准线方程分别为

离心率

，由a2+b2=c2知e>1。

两条渐近线方程为

，双曲线

与

有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。

若a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线

，F1（-c,0）,F2（c,0）是它的两个焦点。

设P（x,y）是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2）过焦点的倾斜角为θ的弦长是

。

10．抛物线：

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。

若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为

，准线方程为

，标准方程为y2=2px（p>0），离心率e=1.

11．抛物线常用结论：

若P（x0,y0）为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=

；

2）过点P的切线方程为y0y=p（x+x0）；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为

。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：

到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。

这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为

。

二、方法与例题

1．与定义有关的问题。

例1 已知定点A（2，1），F是椭圆

的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

[解] 见图11-1，由题设a=5,b=4,c=

=3,

.椭圆左准线的方程为

，又因为

，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。

由定义知

，则

|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3（|PA|+

|PF|）=3（|PA|+|PQ|）≥3|AM|（AM

左准线于M）。

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得

，又x<0，所以点P坐标为

例2 已知P，

为双曲线C：

右支上两点，

延长线交右准线于K，PF1延长线交双曲线于Q，（F1为右焦点）。

求证：

∠

F1K=∠KF1Q.

[证明] 记右准线为l，作PD

l于D，

于E，因为

//PD，则

，又由定义

，所以

，由三角形外角平分线定理知，F1K为∠PF1P的外角平分线，所以∠

=∠KF1Q。

2．求轨迹问题。

例3 已知一椭圆及焦点F，点A为椭圆上一动点，求线段FA中点P的轨迹方程。

[解法一] 利用定义，以椭圆的中心为原点O，焦点所在的直线为x轴，建立直角坐标系，设椭圆方程：

=1（a>b>0）.F坐标为（-c,0）.设另一焦点为

。

连结

，OP，则

。

所以|FP|+|PO|=

（|FA|+|A

|）=a.

所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=（

0）平移，得到中心在原点的椭圆：

。

由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二] 相关点法。

设点P（x,y）,A（x1,y1），则

，即x1=2x+c,y1=2y.又因为点A在椭圆

上，所以

代入得关于点P的方程为

。

它表示中心为

，焦点分别为F和O的椭圆。

例4 长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

[解]设P（x,y）为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A（x-

0）,B（x+

0）,C（0,y-

）,D（0,y+

）,记O为原点，由圆幂定理知|OA|?

|OB|=|OC|?

|OD|，用坐标表示为

，即

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；

当a

例5 在坐标平面内，∠AOB=

，AB边在直线l:

x=3上移动，求三角形AOB的外心的轨迹方程。

[解] 设∠xOB=θ,并且B在A的上方，则点A，B坐标分别为B（3,3tanθ）,A（3,3tan（θ-

））,设外心为P（x,y），由中点公式知OB中点为M

。

由外心性质知

再由

得

×tanθ=-1。

结合上式有

tanθ=

     ①

又   tanθ+

=

      ②

又    

所以tanθ-

=

两边平方，再将①，②代入得

。

即为所求。

3．定值问题。

例6 过双曲线

（a>0,b>0）的右焦点F作B1B2

轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。

求证：

H的横坐标为定值。

[证明] 设点B，H，F的坐标分别为（asecα,btanα）,（x0,0）,（c,0），则F1，B1，B2的坐标分别为（-c,0）,（c,

）,（c,

），因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以

 ①

所以  

。

由①得

代入上式得

即  

（定值）。

注：

本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。

例7 设抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。

证明：

直线AC经过定点。

[证明] 设

，则

，焦点为

，所以

，

，

，

。

由于

，所以

?

y2-

y1=0，即

=0。

因为

，所以

。

所以

，即

。

所以

，即直线AC经过原点。

例8 椭圆

上有两点A，B，满足OA

OB，O为原点，求证：

为定值。

[证明] 设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=

，则点A，B的坐标分别为A（r1cosθ,r1sinθ）,B（-r2sinθ,r2cosθ）。

由A，B在椭圆上有

即    

    ①

   ②

①+②得

（定值）。

4．最值问题。

例9 设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OA

OB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。

[解] 由题设a=1，b=

记|OA|=r1,|OB|=r2,

，参考例8可得

=4。

设m=|AB|2=

因为

，且a2>b2，所以

，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以

。

又函数f（x）=x+

在

上单调递减，在

上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当

或

时，|AB|取最大值

。

例10 设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为

，若圆C：

1上点与这椭圆上点的最大距离为

，试求这个椭圆的方程。

[解] 设A，B分别为圆C和椭圆上动点。

由题设圆心C坐标为

，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值

，所以|BC|最大值为

因为

；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,

t，椭圆方程为

，并设点B坐标为B（2tcosθ,tsinθ），则|BC|2=（2tcosθ）2+

=3t2sin2θ-3tsinθ+

+4t2=-3（tsinθ+

）2+3+4t2.

若

，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+

，与题设不符。

若t>

则当sinθ=

时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.

所以椭圆方程为

。

5．直线与二次曲线。

例11 若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。

[解] 抛物线y=ax2-1的顶点为（0,-1），对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P（x1,y1），

（-y1,-x1），满足y1=a

且-x1=a（-y1）2-1，相减得x1+y1=a（

）,因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a（x1-y1），即x1=y1+

所以

此方程有不等实根，所以

，求得

，即为所求。

例12 若直线y=2x+b与椭圆

相交，

（1）求b的范围；

（2）当截得弦长最大时，求b的值。

[解]二方程联立得17x2+16bx+4（b2-1）=0.由Δ>0，得

；设两交点为P（x1,y1）,Q（x2,y2），由韦达定理得|PQ|=

。

所以当b=0时，|PQ|最大。

三、基础训练题

1．A为半径是R的定圆⊙O上一定点，B为⊙O上任一点，点P是A关于B的对称点，则点P的轨迹是________.

2．一动点到两相交直线的距离的平方和为定值m2（>0），则动点的轨迹是________.

3．椭圆

上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.

4．双曲线方程

，则k的取值范围是________.

5．椭圆

，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.

6．直线l被双曲线

所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.

7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.

8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.

9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.

10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，

的取值范围是________.

11．已知椭圆

与双曲线

有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。

12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a（2a<

）；（iii）半圆上有相异两点M，N，它们与直线l的距离|MP|，|NQ|满足

求证：

|AM|+|AN|=|AB|。

13．给定双曲线

过点A（2，1）的直线l与所给的双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2的中点的轨迹方程。

四、高考水平测试题

1．双曲线与椭圆x2+4y2=64共焦点，它的一条渐近线方程是

=0，则此双曲线的标准方程是_________.

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点，若A，B在抛物线准线上的射影分别是A1，B1，则∠A1FB1=_________.

3．双曲线

的一个焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线上任一点，以|PF1|为直径的圆与以|A1A2|为直径的圆的位置关系为_________.

4．椭圆的中心在原点，离心率

，一条准线方程为x=11，椭圆上有一点M横坐标为-1，M到此准线异侧的焦点F1的距离为_________.

5．4a2+b2=1是直线y=2x+1与椭圆

恰有一个公共点的_________条件.

6．若参数方程

（t为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_________.

7．如果直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆

总有公共点，则m的范围是_________.

8．过双曲线

的左焦点，且被双曲线截得线段长为6的直线有_________条.

9．过坐标原点的直线l与椭圆

相交于A，B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆的右焦点F，则直线l的倾斜角为_________.

10．以椭圆x2+a2y2=a2（a>1）的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.

11．求椭圆

上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。

12．设F，O分别为椭圆

的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。

13．已知双曲线C1：

（a>0），抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。

（1）求证：

C1，C2总有两个不同的交点。

（2）问：

是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？

若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。

五、联赛一试水平训练题

1．在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.

2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________.

3．给定椭圆

，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OP

OQ，则离心率e的取值范围是_________.

4．设F1，F2分别是双曲线

（a>b>0）的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.

5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，

）和C（0，

），另两边斜率的乘积为

，若点T坐标为（t,0）（t∈R+）,则|AT|的最小值为_________.

6．长为l（l<1）的线段AB的两端点在抛物线y=x2上滑动，则线段AB的中点M到x轴的最短距离等于_________.

7．已知抛物线y2=2px及定点A（a,b）,B（-a,0）,ab≠0,b2≠2pa，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为_________.

8．已知点P（1，2）既在椭圆

内部（含边界），又在圆x2+y2=

外部（含边界），若a,b∈R+,则a+b的最小值为_________.

9．已知椭圆

的内接ΔABC的边AB，AC分别过左、右焦点F1，F2，椭圆的左、右顶点分别为D，E，直线DB与直线CE交于点P，当点A在椭圆上变动时，试求点P的轨迹。

10．设曲线C1：

（a为正常数）与C2：

y2=2（x+m）在x轴上方有一个公共点P。

（1）求实数m的取值范围（用a表示）；

（2）O为原点，若C1与x轴的负半轴交于点A，当0

时，试求ΔOAP面积的最大值（用a表示）。

11．已知直线l过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1，0）和B（0，8）关于l的对称点都在C上，求直线l和抛物线的方程。

六、联赛二试水平训练题

1．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G，求证：

∠GAC=∠EAC。

2．求证：

在坐标平面上不存在一条具有奇数个顶点，每段长都为1的闭折线，它的每个顶点坐标都是有理数。

3．以B0和B1为焦点的椭圆与ΔAB0B1的边ABi交于Ci（i=0,1），在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心，B0P0为半径作圆弧

交C1B0的延长线于Q0；以C1为圆心，C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于P1；B1为圆心，B1P1为半径作圆弧P1Q1交B1C0的延长线于Q1；以C0为圆心，C0Q1为半径作圆弧Q1

，交AB0的延长线于

。

求证：

（1）点

与点P0重合，且圆弧P0Q0与P0Q1相内切于P0；

（2）P0，Q0，P1，Q1共圆。

4．在坐标平面内，从原点出发以同一初速度v0和不同发射角（即发射方向与x轴正向之间的夹角）α（α∈[0,π],α≠

）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点。

证明：

此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程（确定变量取值范围）。

5．直角ΔABC斜边为AB，内切圆切BC，CA，AB分别于D，E，F点，AD交内切圆于P点。

若CP

BP，求证：

PD=AE+AP。

6．已知BC

CD，点A为BD中点，点Q在BC上，AC=CQ，又在BQ上找一点R，使BR=2RQ，CQ上找一点S，使QS=RQ，求证：

∠ASB=2∠DRC。

高中数学竞赛讲义（十一）答案

基础训练题

1．圆。

设AO交圆于另一点

是A关于

的对称点。

则因为AB

，所以P在以

为直径的圆上。

2．圆或椭圆。

设给定直线为y=±kx（k>0）,P（x,y）为轨迹上任一点，则

。

化简为2k2x2+2y2=m2（1+k2）.

当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。

3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10×

=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。

4．-25或-2

5.

设两条焦半径分别为m,n，则因为|F1F2|=12,m+n=20.由余弦定理得122=m2+n2-2mncos600,即（m+n）2-3mn=144.所以

，

6．3x+4y-5=0.设M（x1,y1）,N（x2,y2），则

两式相减得

-（y1+y2）（y1-y2）=0.由

，得

。

故方程y+1=

（x-3）.

7.-4.设B（x1,y1）,C（x2,y2），则

=0，所以y1+y2=-8，故直线BC的斜率为

8．

=1。

由渐近线交点为双曲线中心，解方程组

得中心为（2,1），又准线为

，知其实轴平行于y轴，设其方程为

=1。

其渐近线方程为

=0。

所以y-1=

（x-1）.由题设

，将双曲线沿向量m=（-2,-1）平移后中心在原点，其标准方程为

=1。

由平移公式

平移后准线为

，再结合

，解得a2=9，b2=16，故双曲线为

=1。

9．2．曲线y2=ax关于点（1，1）的对称曲线为（2-y）2=a（2-x）,

由

得y2-2y+2-a=0,故y1+y2=2,从而

=

=1，所以a=2.

10．（2，

]。

设P（x1,y1）及

，由|PF1|=ex1+a

|PF2|=ex1-a,|PF1|+|PF2|=2ex1,所以

，即

。

因

，所以

，所以

即2

.

11.解：

由对称性，不妨设点P在第一象限，由题设|F1F2|2=4

=4c2，又根据椭圆与双曲线定义

解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2.

在ΔF1PF2中，由余弦定理

从而

又sin∠F1PF2=

所以

12．解：

以直线AB为x轴，AT的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由定义知M，N两点既在抛物线y2=4ax上，又在圆[x-（a+r）]2+y2=r2上，两方程联立得x2+（2a-2r）x+2ra+a2=0，设点M，N坐标分别为（x1,y1）,（x2,y2），则x1+x2=2r-2a.又|AM|=|MP|=x1+a，|AN|=|NP|=x2+a.|AB|=2r，所以

|AM|+|AN|=x1+x2+2a=2r=|AB|.

得证。

13．解：

若直线l垂直于x轴，因其过点A（2,1），根据对称性，P1P2的中点为（2，0）。

若l不垂直于x轴，设l的方程为y-1=k（x-2），即

y=kx+1-2k.  ①

将①代入双曲线方程消元y得

（2-k2）x2+2k（2k-1）x-（4k2-4k+3）=0.  ②

这里

且Δ=[2k（2k-1）]2+4（2-k）2（4k2-4k+3）=8（3k2-4k+3）>0,

设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理

   ③

由①，③得  y1+y2=kx1+（1-2k）+kx2+（1-2k）

=k（x1+x2）+2（1-2k）=

  ④

设P1P2的中点P坐标（x,y），由中点公式及③，④得

消去k得

点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。

高考水平测试题

1．

由椭圆方程得焦点为

，设双曲线方程

，渐近线为

由题设

，所以a2=3b2,又

c2=a2+b2.所以b2=12,a2=36.

2.900。

见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。

3．相切，若P（x,y）在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，M为PF1中点，则|MO|=

|PF2|=

（a-ex），又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和

（-a-ex）+a=

（a-ex）=|MO|，所以两圆外切。

当P（x,y）在右支