新人教版八年级数学下册勾股定理教案精品教学设计.docx
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新人教版八年级数学下册勾股定理教案精品教学设计
勾股定理
一、教学目标
1.了解勾股定理的发现过程,掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理。
2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就,激发学生的爱国热情,促其勤奋学习。
二、重点、难点
1.重点:
勾股定理的内容及证明。
2.难点:
勾股定理的证明。
3.难点的突破方法:
几何学的产生,源于人们对土地面积的测量需要。
在古埃及,尼罗河每年要泛滥一次;洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土,但也抹掉了田地之间的界限标志。
水退了,人们要重新画出田地的界线,就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘,面积很早就成为人们认识几何图形性质与争鸣几何定理的工具。
本节课采用拼图的方法,使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后,只要
没有重叠,没有空隙,面积不会改变。
三、例题的意图分析
例1(补充)通过对定理的证明,让学生确信定理的正确性;通过拼图,发散学生的
思维,锻炼学生的动手实践能力;这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2使学生明确,图形经过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变。
进一步让学生确信勾股定理的正确性。
四、课堂引入
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
我国数学家华罗庚曾建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前,是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC,用刻度尺量出AB的长。
以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的,他说:
“把一根直尺折成直角,两段连结得一直角三角形,勾广三,股修四,弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直角边(股)的长是4,那么斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
五、例习题分析
例1(补充
)已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼摆不同的形状,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:
4S△+S小正=S大正
4×
ab+(b-a)2=c2,化简可证
。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老的精彩的证法,出自我国古代无名数学家之手。
激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。
例2已知:
在△ABC中,∠C=90°,∠A、∠B
、∠C的对边为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
ab+c2
右边S=(a+b)2
左边和右
边面积相等,即
4×
ab+c2=(a+b)2
化简可证。
六、课堂练习
1.勾股定理的具体内容是:
。
2.如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°,则∠B的对边和斜边:
;
⑷三边之间的关系:
。
3.△ABC的三边a、b、c,若满足b2=a2+c2,则=90°;若满足b2>c2+a2,则∠B是角;若满足b2<c2+a2,则∠B是
角。
4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°,a、b、c是△ABC的三边,则
⑴c=
。
(已知a、b,求c)
⑵a=。
(已知b、c,求a)
⑶b=。
(已知
a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表示出来。
3、4、5
32+42=52
5、12、13
52+122=132
7、24、25
72+242=252
9、40、41
92+402=412
……
……
19,b、c
192+b2=c2
3.在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=
cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问当P点移动多少秒时,PA与腰垂直。
4.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。
求证:
⑴AD2-AB2=BD·CD
⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。
八、参考答案
课堂练习
1.略;
2.⑴∠A+∠B=90°;⑵CD=
AB;⑶AC=
AB;⑷AC2+BC2=AB2。
3.∠B,钝角,锐角;
4.提示:
因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA,又因为S梯形ACDG=
(a+b)2,
S△BCE=S△EDA=
ab,S△ABE=
c2,
(a+b)2=2×
ab+
c2。
课后练习
1.⑴c=
;⑵a=
;⑶b=
2.
;则b=
,c=
;当a=19时,b=180,c=181。
3.5秒或10秒。
4.提示:
过A作AE⊥BC于E。
勾股定理
(二)
(王小学)
一、教学目标
1.会用勾股定理进行简单的计算。
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。
二、重点、难点
1.重点:
勾股定理的简单计算。
2.难点:
勾股定理的灵活运用。
3.难点的突破方法:
⑴数形结合,让学生每做一道题都画图形,并写出应用公式的过程或公式的推倒过程,在做题过程中熟记公式,灵活运用。
⑵分类讨论,让学生画好图后标图,从不同角度考虑条件和图形,考虑问题要全面,在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力
⑶作辅助线,勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角三角形的条件,要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法,在做辅助线的过程中,提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练,在不条件、不同环境中反复运用定理,使学生达到熟练使用,灵活运用的程度。
三、例题的意图分析
例1(补充)使学生熟悉定理的使用,刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。
例2(补充)让学生注意所给条件的不确定性,知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。
例3(补充)勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面学过的知识和新知识综合运用,提高综合能力。
四、课堂引入
复习勾股定
理的文字叙述;勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定理重在应用。
五、例习题分析
例1(补充)在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a:
b=1:
2,c=5,求a。
⑸已知b=15,∠A=30°,求a,c。
分析:
刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间的关系。
⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角边,求另一直角边,用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比,求未知边。
通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三边。
后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比设参的数学方法,体会由角转化为边的关系
的转化思想。
例2(补充)已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
分析:
已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。
例3(补充)已知:
如图,等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
分析:
勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要
创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。
欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,
但只有一边已
知,根据等腰三角形三线合一性质,可求AD=CD=
AB=3cm,则此题可解。
六、课堂练习
1.填空题
⑴在Rt△ABC,∠C=90°,a=8,b=15,则c=。
⑵在Rt△ABC,∠B=90°,a=3,b=4,则c=。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°,c=10,a:
b=3:
4,则a=,b=。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长为。
⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积为。
2.已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°,AB=
,AC=4,AD是BC边上的高,求BC的长。
3.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面积。
七、课后练习
1.填空题
在Rt△ABC,∠C=90°,
⑴如果a=7,c=25,则b=。
⑵如果∠A=30°,a=4,则b=。
⑶如果∠A=45°,a=3,则c=。
⑷如果c=10,a-b=2,则b=。
⑸如果a、b、c是连续整数,则a+b+c=。
⑹如果b=8,a:
c=3:
5,则c=。
2.已知:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,
AB⊥AC,∠B=60°,CD=1cm,求BC的长。
八、参考答案
课堂练习
1.17;
;6,8;6,8,10;4或
;
,
;
2.8;3.48。