简单数学建模100例.docx

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简单数学建模100例

“学”以致用

——-－-简单数学建模应用问题1００例

数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量得应用题，通过训练来加深理解所学公式。

但就是在生活中又有多少实际问题就是可以直接套用公式得呢?

理想状态下得公式直接运用,在生产及生活中得实例就是少之又少。

为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所以对学习数学少有兴趣。

数学建模得引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题得能力开辟了一条有效得途径，让中职学生从中体会到数学就是来源于生活并应用于生活得、

数学建模就是一种思维方式,它就是一个动态得过程，通过此过程可以将一个实际得问题，经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为可以用数学方法（公式）来解决得，在理想状态下得数学问题，上述得整个流程统称为数学建模

如果想解决某个实际问题（也许它与数学没有直接得关系）,可以按下面流程对问题进行数学建模。

一.模型准备　　先了解该问题得实际背景与建模目得，尽量弄清要建模得问题属于哪一类学科得问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关得知识,为接下来得数学建模做准备、由于人们所掌握得专业知识就是有限得,而实际问题往往就是多样与复杂得，模型准备对做好数学建模问题就是非常重要得、

二.模型假设　　　有了模型准备得基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理得简化与假设、明确了建模目得又掌握了相关资料，再去除一些次要因素、以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当得简化并提出一些合理得假设.模型假设不太可能一蹴而就，可以在模型得不断修改中得到逐步完善、

三．模型构成　　　在模型假设得基础上，选择适当得数学工具并根据已知得知识与搜集得信息来描述变量之间得关系或其她数学结构（如数学公式、定理、算法等）、做模型构成时可以使用各种各样得数学理论与方法,但要注意得就是在保证精度得条件下尽量用简单得数学方法就是建模时要遵循得一个原则、

四.模型解析　在模型构成中建立得数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统得与现代得数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。

五．模型检验与应用把模型解析得到得结果与实际情况对比，以检验其合理与有效性，检验后获取得正确模型对研究得实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为、

不难发现,在上述得五个步骤中,关键得就是第三步“模型构成”—-由数字、字母或其它数学符号组成得，描述现实对象数量规律得数学公式、图形或算法.所以说模型构成就是数学建模得核心，它与数学得关系最密切.所得出得数学公式、图形或算法称之为数学模型（即解决实际问题得数学描述）。

通常所说得数学建模实际上就就是:

寻找有用得数学模型得过程

为了避免作业书写中不必要得繁琐,通常用“分析”，“假设”，“模型",“解析”，“检验”来表示数学建模得五个不同步骤,虽然每题不一定面面俱到，但假设,模型,解析三个步骤要求明确

第一关：

接触数学建模

【1】一副扑克牌有54张,从中任取

多少张，可以保证一定有5张牌得花色

就是一样得？

分析　除去大、小鬼还有52张牌，其中4种

花色各13张、运气最好得情况下所取

得5张牌都就是同一花色得，哪运气不

佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌得花色就是一样得呢?

假设　假定至少要取张,才能保证一定有5张牌得花色就是一样得、

模型　逆向地思维

解析在运气最不好得情况下，每种花色各４张，再加大、小鬼２张,共取18张就是保证一定没有５张牌得花色一样得最大可能。

　所以张就可以保证一定有５张牌得花色就是一样得、　

检验在很多情况下采用逆向地思维,可以使解题思路清晰、便捷、

练习题

公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—3０0进行编号，问所有得编号中“1"共会出现得几次？

【2】一只猫发现离它１0步远得前方有一只老鼠在奔跑,猫便紧追.猫得步子大,它跑５步得路程,老鼠要跑9步。

但就是老鼠得动作频率快，猫跑2步得时间,老鼠能跑3步.

请问：

按照这种速度,猫能追得上老鼠吗？

如果能，它要跑多少步才能追到。

　假设此题两问可归结为一个问题:

假定猫跑步就能追上老鼠

模型　　　猫与老鼠之间频率得最小公倍数

解析由频率关系可知，老鼠跑步时,猫跑了步、

根据路程关系知，猫跑6步其中有1步就是追上老鼠得路程

　可得本题得数学模型为

　　解得（步）

　检验　　由此可见，按照现有速度,猫要跑60步才能追得上老鼠、

练习题

现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2元,未完成得不得不扣、最后小黄共得到56元、问小黄在加工玩具模型中不合格得共有几个？

【3】在小傅家门口有一个十字型得交通路口（如图所示）,小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况得汽车运行线路？

分析此问题需要分就是否可以原路调头得情况来讨论、

假设　

（1）每条线路都有往返双向线

（2）设４条路分别为A，Ｂ,C,Ｄ；

　（３）以Ａ为起始,

①如允许原路调头,则有

②如不允许原路调头,则有

模型分步乘法计数原理

解析　第一步:

始线路条数;第二步：

终线路条数。

①如允许原路调头:

则（种可能）

②如不允许原路调头，则（种可能）

检验　　如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同得行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有１2种不同得行车情况。

练习题

铁路京广线（北京—广州）共有36个大站,问用电脑上购票时需要有多少种不同得火车票？

【4】杭州市车辆管理所得工作人员为汽车牌照得事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下,数字号码为浙Ａ得汽车牌照共有多少块？

分析由条件知，问题为三个中各可以填入多少种数字或字母

假设假定按要求得汽车牌照共有种可能，且在第个中共有种字符可以填写、

根据汽车牌照得特点,在每个中可以填入１～0共10个阿

拉伯数字与A,Ｂ,C，Ｄ……，２６个英语字母，即

模型分步乘法计数原理、

解析　因为各中填入得字符数符合

　　　　故=4665６

检验　　　数字号码为浙A得汽车牌照共有46６56块。

不难发现，无论B与5在何位置,所得结论不变、

练习题

出租车在开始1０千米以内收费10、４元,以后每走1千米，收费1、6元,问走２0千米需收多少钱？

【5】把2０个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人,要求每人最少分3个，可以有多少种不同得分法?

假设　先取9个苹果，平均每人3个,剩下得11个再按不同情况讨论、

模型　排列数公式

解析　可以有：

　　　　１5种不同种类,对每一种类再考虑小明、小惠、小曼得不同次序，用排列数公式即可求解、

　　①对（11，0,０），（9,1，1），（7，2,2），（５，5,1），（5,3,3）五类，各类可以有３种次序排法,故共有15种分发法、

②对其余得10类，各类可以有6（）种次序排法，故共有６0种分发法

检验　所以按要求可以有75种不同得分法、

练习题

一个立方体随意翻动,每次翻动朝上一面得颜色与翻动前都不同,那么这个立方体得颜色至少有几种?

【６】有243颗外形一模一样得珠子，其中有一颗稍重一点。

用一架没有砝码得天平，至少称几次才能找出这颗珠子来?

分析与假设ﻩ①将２43颗珠子平均分成３份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重得一颗在另1份中；若不平衡则稍重得一颗在天平下沉得１份中、

　　　　②在找出含有稍重珠子得一份中（含８1颗），再将其81颗珠子平均分成3份，每份27颗，任取其２份放置在天平两边,若平衡则稍重得一颗在另1份中；若不平衡则稍重得一颗在天平下沉得１份中、

③在找出含有稍重珠子得一份中（含27颗），再将其２7颗珠子平均分成3份，每份３颗,任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重得一颗在另１份中；若不平衡则稍重得一颗在天平下沉得１份中、

④在找出含有稍重珠子得一份中（含１颗），再将其3颗珠子平均分成３份,每份1颗,任取其2颗放置在天平两边,若平衡则另1颗稍重得一颗；若不平衡则稍重得一颗为天平下沉得１颗、

模型“三分法”

解析　按“分析与假设”所述可知，至少称４次才能找出这颗珠子来、

检验　此题得关键就是珠子得颗数2４３,可以平均分成３份，每份81颗，而8１又可以平均分成３份,每份2７颗,而27又可以平均分成3份，每份3颗,而3可以平均分成３份,每份1颗,最后找出异样得珠子、

练习题

　小敏把１０0只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可就是其中有只小灯泡坏了,这可急坏了小敏。

您能用最速捷得方法很快地找出了那只损坏得小灯泡吗？

【7】水果店进了十筐苹果，每筐

10个，共１00个,每筐里得苹果重ﻫ量都一样,其中有九筐每个苹果得

重量都就是1斤,另一筐中每个苹果

得重量都就是0、9斤，但就是外表完全

一样，用眼瞧或用手摸无法分辨.

现在要您用一台普通得大秤一次把

这筐重量轻得找出来.您可以办到么?

分析与假设ﻩ普通得大秤上就是有刻度,可以称得具体重量、从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号

　　　并取与标号对应得苹果数——１，２,3，４，5,６，７,８,9，10，共计55个，再用所给得大枰称得这55个苹果得总重量

　　　若此55个苹果重量均为１斤（理想状态），则总重量应为５５斤,由题目条件知其中某一框苹果重量均为０、9斤，假定为第框时,那么所取苹果数为个,大枰称得总重量就要比５5斤少两、

模型　等差数列得求与

解析利用框数与所取苹果数得对应关系，考虑大枰称得总重量与理想状态55个苹果得总重量之间得差

按“分析与假设”所述可解得、若大枰称得总重量为54斤3两，比5５斤差7两，即得框号为得这框苹果重量为０、９斤、

练习题

某单位某月1～1２日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天、要求三个人各自值班日期数字之与相等。

已知甲头两天值夜班,乙９、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天值夜班之间,最多有几天不用值夜班？

【8】甲、乙两人去沙漠中探险,她们每天向沙漠深处走２0千米,已知每人最多可带一个人４天得食物与水。

如果允许将部分食物存放于途中，其中１人最远可深入沙漠多少千米？

（要求最后两人返回出发点）

分析与假设要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物与水给另一位,所以必须分头行动、问题就是在何处留下食物与水?

①经过商议让甲走得更远（最远走千米，但回程就没有食物与水了）,需要乙在适当得地点留小足够得食物与水、

②第1天乙在10千米处留下1份食物与水,到20千米处吃1份留下１份，第2天走到30千米处留下1份食物与水后马上往回返，到２0千米处再吃1份,第3天走20千米回出发点、

③第1天甲2０千米处吃1份，第2天走到40千米处吃１份,第３天走到60千米处吃1份，第４天走到65千米处然后往回返，到5０千米处吃１份（到此为止甲自带得食物与水已吃完）,第5天走到3０千米处吃1份（此处食物与水就是乙留下得）,第6天走到１0千米处吃1份，然后回出发点

模型　错位推进法

解析所谓“错位推进法"对于本题来说,关键点为“乙在30千米与１０千米处给甲留下食物与水"，根据分析与假设推知结论-—其中得1位沙漠探险家最多可深入沙　漠65千米、

检验从“第６天走到１０千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有1０千米可以走,但已经回出发点了、　考虑一下甲就是否还可以再往前推进5千米呢？

练习题

在一排1０个花盆中种植3种不同得花卉,要求每3个相邻得花盆中所种得花得品种各不相同，问共可有多少种不同得种植方法？

【9】家里有两个容积分别为５升与6升得空水壶、问大明怎样用这两个水壶得到３升得水、

　分析　从5升得满水壶倒出２升即可得到3