毕设之人口增长模型讲解.docx
《毕设之人口增长模型讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《毕设之人口增长模型讲解.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
毕设之人口增长模型讲解
毕业设计一一
人口增长模型及其应用
孙建锋
第一章绪论
1.研究背景
2•国内外研究现状
3.人口概念介绍
第二章人口增长模型的概述
1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）
2.Logistic模型（人口阻滞增长模型）
3•年龄移算法模型
4.Leslie人口增长模型
5.灰色GM（1，1）预测模型
6.人口发展方程
7.各模型的优缺点对比
第三章基本人口预测
1.出生人数的预测
2.死亡人数的预测
3.分年龄分性别人口数预测
4.人口总数预测第四章人口实例预测
1.数据准备
2.模型应用与求解
3.结果分析
4.结论及相关建议
第一章绪论
1.1研究背景
人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定•人口问题事关国计民
生，是影响经济社会发展全局的重大问题。
以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。
人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。
发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。
众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。
中国在世纪之交的2000年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。
为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、协调发展的保证。
准确地预测未来人口发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。
1.2国内外研究现状
国内：
建国以来，不同时期人们所关心问题的重点自然也不同•对人口研究而言，
不同时期也表现出了不同的特征•建国初期，人口政策鼓励多生多育•在这样的环境下，人口呈现出高增长，低死亡现象，与此同时，有人口研究人员开始担心人口如此长时问发展下去的后果，原北京大学校长，经济学家马寅初先生提出了“新人口论”。
1957年7月15日，《人民日报》发表了马寅初的《新人口论》。
早在1957年2月最高国务会议第11次扩大会议上，马寅初对人口问题就提出了一些看法。
他认为：
人多固然是一个极大的资源，但也是一个极大的负担，如果不加控制任其盲目增长，势必严重影响国名经济的发展和人民生活的提高。
但是这
种预想在当时并未受到重视.70年代中期，人口的过快增长导致人口数量的急剧上升，阻碍了社会经济的发展，政府和国际社会开始关注人口问题，投入大量的人力和物力，积极推动了人口问题的研究.70年代末，我国学者、著名的控制论专家宋健等提出了一套新的人口预测模型一一人口发展方程。
这套预测模型，具有对预测变量的设置更加合理、预测参数因素的考虑更加周密以及易于推广应用的优点。
所以，这套模型是当今国内最为流行和被广泛应用的一套人口预测模型，其在国外也产生了很大的影响。
之后，灰色系统理论创始人邓聚龙将其灰色系统理论应用于人口预测提出了灰色GM（1,1）预测模型。
后期，根据当下的人口状况制定相关的人口政策，实施人口控制，实行计划生育，提倡少生优生，重视人口质量.在科学研究领域，人口问题也得到了高度重视，各个学科开始涉
足人口问题，产生了很多的研究报告和学术论文，在这个时期，人口研究刊物的在量上有了一个新的飞跃，人口研究达到了一个新的高峰•
90年代初期，人口增长速度逐渐恢复到正常水平，政府和国际骤减了在人口研究上的资金，导致人口研究因资金的缺乏而再次陷入低谷，但仍有部分的研究人
员坚守在这个领域，为人口研究带来了新的希望•随着经济的发展，人口方面所
呈现出的问题也随之不断的变化•在我国，人口老龄化和人口流动问题日趋严重，对我国的经济发展产生了重大的影响•目前，在一些地方已经开始实施“鼓励生二胎”的政策，此外，流动人口问题也引起了很多研究人员的深入探讨，渐渐地从定性分析深入到了定量求解•现阶段，人口研究面临着多种问题和挑战：
人口学理论建设依然落后，人力和资金的投入不足；人口学研究方法不能满足到下的发展需求；人口学在应用性发展方向上迷失，使得相关的人口学应用研究模糊了人口学；人口学学科机构与队伍多变不稳，且人口学学科教材建设依然缓慢.国外：
早在1798年，英国经济学家马尔萨斯在研究百余年的人口统计时发现：
单位时间内人口的增长量与当时人口总数是成正比的。
由此提出了著名的人口指数增长模型。
1838年，荷兰生物学家Verhaust针对于马尔萨斯模型中存在的缺陷提出了人口的Logistic增长模型，即人口阻滞增长模型。
第二次世界大战之后,人口问题在全球范围内表现出了共同的特征：
人口死亡率大大降低，人口翻番的时间急剧缩短，人口年增长量达到了一个空前值•全球性的人口急剧增长现
象日益凸显，人们不得不开始对人口问题进行历史性的探索•在之后的一段时间
•美
各国在人口研究方面兴起了很大的浪潮，大量的论文、著作也相继发表出版国著名人口统计学家、数理人口学家和社会学家内森凯菲茨首次提出并应用于人
口预测的Keyfitz矩阵方程预测方法。
由此，内森凯菲茨在国际上被誉为是把矩阵方程应用于人口预测的第一位学者。
1945年，另一位学者莱斯利在凯菲茨矩阵预测模型的基础上作出了一些改进而提出了Leslie人口增长模型。
1964年，
英国出现了研究人口史与社会结构的剑桥学派，他们的研究范围不仅仅包括恢复
人口数字的实况、出生、婚姻和死亡的趋向，而且还将家庭、乡村、城镇地区阶级中的人口分布情况也讨论在内，给人口研究带来了新的研究理念，成为了区域人口研究的先例.十九世纪80年代，外国人口史朝着广度和深度两个方面迅速发展.主要体现在研究范围扩大，提出并采用了新的方法，发展方向有了新的变化，农村人口的大规模迁移，城市人口、各地区之间的移民、工人阶级的就业、中产阶级的发展、上层人士的更新等社会新问题，都成为了人口研究的新课题.
1.3人口概念介绍
第二章人口增长模型的概述
2.1马尔萨斯模型
模型的基本假设如下：
人口的增长率是一常数，在单位时间内人口的增长与当时
的人口成正比。
设在t时刻，人口数量为x（t），人口的增长率为r（r>0）,在t=0时刻，人口数
了-dx
rx
为X。
。
由此得到微分方程dt
x0=Xo
其解为xt二Xoe"
马尔萨斯根据200年以前的数据得到的这个结论，在当时很长一段时间几乎是正确的，其主要原因是初始数据X。
较小，在当前的情况下，这个模型已经不再适应人口的增长规律。
可以利用该模型来估计单种群增长的情况，特别是在种群增长的初期，这个模型有一定的适用性。
2.2Logistic模型（阻滞增长模型）
考虑环境的制约作用，模型假设如下:
人口的增长率随着人口的数量的增加而下
降。
不妨设人口的增长率表示成与人口数量
x有关的线性函数，记作:
rx二r-sx当x=0时，r
（0）=r称为固有增长率。
令N为最大的
人口数量。
所以当x=N时，r（N）=0。
由此得到
，即r（xw丿
将r（x）代入方程
Idxdx
rx
dt得到Logistic模型：
dt
xOl=xox0=x0
源比例，剩余资源r体现了环境阻力的大小，所以该模型也称为阻滞增长模型。
方程的解为:
N
2.3年龄移算法模型
年龄移算法，是指以各个年龄组的实际人口数为基数，按照一定的存活率进行逐年递推来预测人口的方法。
年龄移算法模型的基本表达式为：
Px1t1二PxtSx当x=0,1,2，……，w-1时，上面模型可具体描述为：
b（t+1）=po（t）So
P2（t+1）=P1（t）S
“P3（t+1）=P2（t）S2
Pwlt•1APwNt-Sw^
式中：
Px1t1为预测年度t+1年x+1岁的人口数；Pxt为预测基年x岁的实际人口数；Pw」t•1为预测年度最高年龄组之预测人口数；Sx为x岁的存活率，
Sx=1-mx，mx为x岁的死亡率。
上式所描述的年龄移算法模型，又称年龄移算模型块。
模型块中每一行的预测关系都很明确，即：
预测年度一岁组人数，是由预测基年的0岁组人口数乘上0岁组人口存活率而来；预测年度2岁组人口数是由预测基年1岁组人口数乘上1岁组人口存活率而来；以此类推，就可以把预测年度的人口数从最低年龄到最高年龄组逐一推算出来。
但是，年龄移算法有一个特点，其移算结果中，预测年度总是要少一个初始年龄组的人口数。
具体表现为：
当按一岁一组预测时，即差0岁组的人口数。
由此特点，其移算结果中，预测年度的预测人口数尚不能得到完整的计算。
鉴于此，在使用年龄移算法时，其预测初始年度人口数，需要另作专门的计算处理。
关于预测年度初始年龄组人口数的计算：
（下面我们按单年龄分组，并以女性人口为例进行计算）预测年度0岁组人口数的计算公式为:
P0Ft1二S00、F、Wxfx
式中：
S0o为女婴出生当年存活率，S0o=年末0岁组女婴人口数/当年女婴出生人数；仃为女婴出生比，一般F=0.485;Wx为x岁之育龄妇女人数；fx为x岁年龄组的生育率；：
-i^-2为女性生育年龄的上下限，一般取：
1=15，:
2=49。
由此即可得到预测年度0岁组人口数。
2.4Leslie人口增长模型
在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋
势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。
在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h个年龄组，相
应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。
记时段k第i个年龄组的女性人口总数为Xj（k），k=0,1,2川
h
则有：
x1（k1^'bjXj（k），其中该年龄组的女性生育率（该年龄组的女
1i^ii
性在1个时段内的平均生育数量）为b，该年龄组的死亡率为dj，则相应的存活率为§=1-dj，在稳定的环境下存活率§=1-dj与生育率片基本上是不随时间的变化而改变的，，因此我们将存活率Si=1-dj与生育率bi看作是常数。
则人口的变化情况满足以下条件：
第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k各个年龄段生育的人
口数之和，即
h
x1（k1）='bjXj（k）
（1）
i=1
时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k时段第i个年龄组存活下来的女性人口数量，即
Xj^（k1）=SjX（k）,i1,（2,h
（2）
记时段k女性人口数量按年龄组的分布向量为
X（k）=（X（k），xk）,9,"k）（3）
综合上述
（1）
（2）（3）得：
X（k1）=LX（k）
其中由出生率和存活率构成的Leslie矩阵为
bjb2川b8bg
s10川00
L=0s2川00
+rq
:
:
…：
0
<00川S80
当矩阵L和按照年龄组的初始分布向量X（0）已知时，可以预测任意时段k的女性人口按年龄组的分布情况：
X（k）二LX（0）,k0,1,2,
2.5灰色GM（1,1）预测模型
GM（1，1）模型是GM（1，N）模型的特例，是一个单变量的模型，对数据样本无过份的要求，也不需要的典型的分布规律，可用于预测模型的计算。
灰色模型的预测过程如下：
考虑有原始数据列：
x0「X01x02........xF
在建立模型前对数据进行预处理，通常采用对序列x0作一次累加生成处理得到
新数据列:
i
x1）=L©*1）x0<2）xgn,其中xCx（°tm）
mz4
定义x1的灰导数为：
di=x0i=x1i—x1i—1
GM（1,1）模型是一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型：
x（°*）+azC$）=b（i=1,2,3……n）
其中z1i是x1i的紧邻均值生成序列，即
z1i=0.5x1i0.5x1i-1，（i=2,3……n）
建立以下的白化形式的微分方程
+ax1）=u
白化形式的微分方程的解为
xHt）=&G[1》%置+%
式中a称为发展系数，a的有效区间为（-2,2）；b称为内生控制灰数；得参数列*a=a。
利用最小二乘法，方程的参数a,u由下式求得：
式中B为累加生成矩阵，Yn为向量，二者的构造为
|%（xQh）+x（1Q））
-12（x（^）+xU3））
1x1n…
Yn=X02,x03,……x0n】
将时间响应函数离散化，求得方程的解
X1i1-X01-uae-akua
x0i1-x1i1-x1i
2.6人口发展方程模型
连续型人口发展方程模型：
匕r+心r）t+At
考虑年龄在内的人从时刻t到时刻，有的活着，有的死亡，活着
卜+At,r）卩（r,t）p（r,tJirAt
的人的年龄成为，死亡的人数为。
于是有：
pr,t：
r-pr：
t,t：
tr=Jr,tpr,tr：
t
P（r,t）=、（0兰r兰咕）F（r,t）
其中：
；r，称为年龄密度函数；称为连续可微的人口
■-；r,trm
分布函数；表示t年中年龄为r的人的死亡率；为人类所能活到的最高
年龄。
△r
上式两边约去即为：
p（r+M,t+加）—p（r,t+山Lp（r,tAp（r,t）_巴「t加t）
.：
t:
t''
LtLt't=r：
t=r=0
故当时间增长，年龄也增长时，即，令得
■pr,t:
pr,ti
r,tpr,t
.r:
t
为从上述方程求得人口密度函数p（r,t）,还必须有初始条件和边界条件，即：
；p（r,0）=po（r）-旳始密度函数
、p（O,t）=f（t）--婴儿的出生率
因此连续的人口发展方程为
鯉丄）+迥丄）j（r,tpr,t）
p（O,t）=f（t）tAO
PGm,t=0
这个方程的求解很复杂，但在理想情况下可以认为死亡率与时间无关，即可
视为'（r,t，此时求解该方程可得:
-找sds
p（r,*严-g纣
从而可知任意时刻各年龄的人口数为:
r
Fr,t二ps,tds
0
上面讨论的人口发展方程是连续性的，即年龄r和时间t都是连续变化的,
这种模型在理论分析中往往比较方便，但不适合作数值计算。
在定量分析中，为了利用计算机求解人口方程，必须把r和t离散化。
离散人口发展模型:
第t年i周岁的人活到第t+1年成为i+1周岁的人数为：
Xi1t1二SitXit
，i=0,1,2,...,m-1;k=0,1,2…
Xi（n一s（t）
其中；表示第t年满i周岁不到i+1周岁的人数；表示第t年i周岁人口
的存活率。
第t年出生的人数为:
i2
x°0（t）=送b（tAi（tk（t）
i韦
其中；川t）表示第t年i岁人口的女性比；bi（t表示第t年i岁女性的平均生育
Xoo（t）
率；表示第t年出生的人数。
第k年婴儿成活的人数为:
岁妇女的生育模式函数，且J.h（°=1，其数学表达式为:
i2
则有卩"卜三^"），即表示第t年所有育龄妇女平均生育数，即总和生育率
i2i2
xi（t+1）=So（tSoo（t瓦b（t轴（tXi（t）=卩（t更b；（tX（t）于是式
（1）为：
ym
廿亠bi'（t）=So（tSoo（thi（t%（t）
其中：
口发展方程的离散形式:
Xt1[=AtXt一：
tBtXt
其中：
oo...oo
s1to...oo
At=os2t...oo
oo...Sm4to
oob：
tb'2to
ooooo
Bt=ooo
2.7各模型的优缺点:
马尔萨斯模型：
该模型简单易懂，便于计算。
但由于自然环境和资源的制约，该模型在当前环境缺乏适用性。
且模型预测的只是总体数量，缺乏全面性。
年龄移算法：
是人口预测中一种最基本的预测方法，在理论和技术上又是一种最基础的预测方法，许多重要的人口预测模型都是根据年龄移算法的原理建立的。
具有原理严谨、方法简便易行的优点，在人口预测实践中被得到广泛借鉴和应用。
人口发展方程：
对预测变量的设置更加合理、预测参数因素的考虑更加周密以及易于推广应用。
其预测内容更加全面充实，对各个年龄段男女性人口数都作出了预测。
是当今国内最为流行和被广泛应用的一套人口预测模型。
Logitic阻滞增长模型：
能够很好地从宏观角度来预测人口的增长趋势，简单明了，避免了大量烦杂的计算。
而且由模型所得到的数据完全能够满足一般统计资料的要求。
但是正是由于它的简单性，没有充分考虑各个方面的影响，预测结果比较单一，不能进行全方位的预测，因此模型缺乏一定的说服性；
Leslie增长模型：
第三章基本人口预测
人口预测的内容应当遵循如下一些规则：
具有描述未来人口的基本特征和人
口变动特征；具有计算分析指标所要求具备的计算的因子条件；具有分析研究的可开发性。
根据上述基本要求，人口预测的内容应包括出生人数预测、死亡人数
预测、分年龄分性别人数预测和总人口数预测。
因为有了这几项基本预测，就可
以在此基础上，计算出许多人口统计的分析指标。
诸如：
未来人口出生率、死亡率、生育率、老龄人口系数、人口负担系数和人口性别比等。
由此，即可满足对未来人口的总体特征和对相关领域进行深层次开发性研究的需要。
3.1出生人数预测
意义：
出生人数是影响人口增长变动的基本因素。
一定时期内人口总量规模的大小与这个时期人口的出生量规模有着直接的关系。
因为人口与控制最终是通过对
人口的出生水平的控制来实现的，所以一定时期内人口的出生趋势也就成为研究整个人口发展趋势及其相应对策的基本出发点和依据。
一定时期内人口的出生状况，取决于两个基本要素：
第一，育龄妇女人数；第二,平均每个育龄妇女所能生育的小孩数。
后者是预测模型中的重要参数，是一个可调的变量。
因此，出生人数的预测就是对未来时期育龄妇女人数的预测。
育龄妇女人数预测：
育龄妇女是女性中一个特定年龄段的人口群体。
一般指15~49岁年龄段的女性
人口，故只要预测15~49岁年龄段的女性人数即可。
下面我们应用年龄移算法对其进行预测。
预测模型基本表达式：
Wx,t1=wxt-WxtmF=WXtsF当x=14,15，……，48时可描述为：
W5（t十1）=w4（t卜s；*6（t+1）=W5（t），S15*W7（t+1）=対60）S6
W49G+1）=W48（t）S8
其中：
W<1t1表示预测年度x+1岁时的育龄妇女人数；
Wxt表示预测基年x岁育龄妇女之实际人数；
mF表示x岁女性人口死亡率；
S：
表示x岁女性人口存活率。
出生人数预测：
有了预测期内各个年度的育龄妇女按龄人数分布，只需考虑并确定出育龄妇女的生育水平，即可对预测年度的出生人数进行预测。
一定时期内的出生人数同育龄妇女人数及其生育水平有如下关系：
49
B八Wxfx
x=15
式中：
B为出生人数；Wx为x岁的育龄妇女人数；fx为x岁育龄妇女之生育率。
其中，年龄别生育率fx是出生人数预测中的一个重要的参数，其性质上是一个可以调整的或者可以控制的参变量。
因此，当在育龄妇女人数一定规模的条件下，年龄别生育率fx的不同确定，将直接关系到预测年度人口出生水平的高与低。
所以，对年龄别生育率fx的不同选择，亦就形成有相应的出生人数预测方法。
一般有实际生育率法和修正生育率法两类。
（1）实际生育率
是指将当前的实际生育率fx直接纳入预测模型进行预测的方法。
该预测的目的在于回答某一人口如果按照某一实际生育率水平进行生育，这个人口在未来年度的出生人数将可能达到某一实际规模，以为权衡社会经济的发展提供可资参考的信息。
（2）修正生育率
是指依据人口控制目标要求而对实际生育率水平加以修正来进行预测的方法。
其前提是在当前生育率水平不能适应未来社会经济发展水平要求而提出的。
这就要求必须根据人口控制目标的不同方案，对实际生育率加以修正与调整，然后纳入人口预测模型进行测算。
其处理方法为：
某年龄目标生育率=（实际年龄别生育率*目标总和生育率）/实际总和生育率式中，目标总和生育率为控制目标条件要求下的生育率水平。
根据目标生育率的预测结果，即体现着某一目标生育率水平条件下的预测结果。
3.2死亡人数预测
基本思想：
人口死亡现象会直接引起人口总体的数量发生变动。
而人口总体又是由按年龄、分性别构成的一个复杂整体，因此，由人口死亡现象所引起的人口数量变动在各个不同年龄间和性别间也就有着差异。
然而，由于死亡因素而使各个年龄组人口数变动的特征是一致的，即当在封闭条件下，除0岁组外每一个年龄组人口数只有绝对减少的变动。
根据这一特点，对于同一年龄组的人口数，在不同的时间条件下，如今年x岁年龄组的人口数到下一年进入x+1岁年龄组的时间条件下所引起的人口数的变动之差，即可由此得到相应的死亡人数的预测和计量。
从而，得到下面一个重要结论：
x岁年龄组的死亡人数等于这个年龄组同其
相邻的x+1岁年龄组的人口数之差。
这就是死亡人数预测的基本理论依据。
基本模型：
根据上述理论即可得到死亡人数预测模型的如下描述：
Doo（t中1）=B（t）-Po（t十1）
Do（t+1APo（t）-Pl（t+1）
』U（t+1）=B（t）-P2（t+1）
D2（t+2）=P2（t）-P3（t+1）
DW二（t+1）=Pw」（tPwjm（t+1）
又根据年龄移算法已知：
P0t1=Btgo
Px1t1=PxtSx
于是上式可以整理为如下预测模型:
Do（t+1）=B（t）・（1-SU
Do（t+1）=Po（t）（1—S°）严戏+1）=讯卜（1—S）
D2（t+1）=P2（t）（1—S2）
.Dw4（t+1）=Pw4（t卜（1-Sw4）
式中：
Doot1为出生当年过程中死亡人数；Dxt1为预测年度x岁的死亡人数；Bt为预测年度之出生人数；Soo为出生当年的存活率；Sx为x岁人口之存活率；Pxt为t年
升级会员 