人教版物理必修二第7章 8机械能守恒定律.docx
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人教版物理必修二第7章8机械能守恒定律
8．机械能守恒定律
学习目标
知识脉络（教师独具）
1．知道什么是机械能，知道动能和势能是可以相互转化的．
2．会推导机械能守恒定律．
3．掌握机械能守恒定律的内容，理解机械能守恒的条件．（重点、难点）
4．会灵活运用机械能守恒定律解决问题．（重点、难点）
[自主预习·探新知]
[知识梳理]
一、动能、势能的相互转化
1．动能与重力势能间的转化
只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能，若重力做负功，则动能转化为重力势能，转化过程中，动能与重力势能之和保持不变．
2．动能与弹性势能间的转化
被压缩的弹簧把物体弹出去，射箭时绷紧的弦把箭弹出去，这些过程都是弹力做正功，弹性势能转化为动能．
3．机械能
动能、重力势能和弹性势能统称为机械能，在重力或弹力做功时，不同形式的机械能可以发生相互转化．
二、机械能守恒定律
1．内容
在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变．
2．守恒定律表达式
（1）Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2，即ΔEk增＝ΔEp减．
（2）Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
（3）E2＝E1.
3．守恒条件
物体系统内只有重力或弹力做功．
[基础自测]
1．思考判断
（1）物体自由下落时，重力做正功，物体的动能和重力势能都增加．（×）
（2）射箭时将弹性势能转化为动能．（√）
（3）通过重力或弹力做功，机械能可以转化为非机械能．（×）
（4）物体的机械能一定是正值．（×）
（5）合力为零，物体的机械能一定守恒．（×）
（6）合力做功为零，物体的机械能一定守恒．（×）
（7）只有重力做功，物体的机械能一定守恒．（√）
2．关于机械能，以下说法正确的是（ ）
A．质量大的物体，重力势能一定大
B．速度大的物体，动能一定大
C．做平抛运动的物体机械能时刻在变化
D．质量和速率都相同的物体，动能一定相同
D [重力势能的大小与零势能面的选取有关，质量大但重力势能不一定大，A错误；动能的大小与质量以及速度有关，所以速度大，动能不一定大，B错误；平抛运动过程中只受重力作用，机械能守恒，C错误；根据Ek＝
mv2可知质量和速率都相同的物体，动能一定相同，D正确．]
3．（多选）下列选项中物体m机械能守恒的是（均不计空气阻力）（ ）
【导学号：
75612137】
CD [物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，机械能减少；物块在力F作用下沿固定光滑斜面上滑时，力F做正功，机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，小球机械能守恒；用细线拴住小球绕O点来回摆动，只有重力做功，小球机械能守恒，选项C、D正确．]
4．如图7 8 1所示，质量m＝0.5kg的小球，从距桌面h1＝1.2m高处的A点下落到地面上的B点，桌面高h2＝0.8m．以桌面为重力势能的参考平面，重力加速度g取10m/s2.下列说法正确的是（ ）
图7 8 1
A．小球在A点时的重力势能为10J
B．小球在B点时的重力势能为0J
C．小球在B点时的动能为10J
D．小球在B点时的机械能为10J
C [以桌面为参考平面，A点的重力势能为：
EpA＝mgh1＝0.5×10×1.2J＝6J，B点的重力势能为：
EpB＝mgh2＝0.5×10×（－0.8）J＝－4J，故A、B错误；
根据动能定理得：
EkB＝mg（h1＋h2），即物体下落到B点时的动能为mg（h1＋h2）＝6J＋4J＝10J，故C正确；
物体在B点的重力势能为－4J，动能为10J，所以B点的机械能E＝6J，故D错误．]
[合作探究·攻重难]
机械能守恒的条件及判断
1．对机械能守恒条件的理解
（1）从能量转化的角度看，系统内只有动能和势能相互转化，而没有其他形式能量（如内能）的转化，并且系统与外界没有任何能量转化，则系统的机械能守恒．
（2）从做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现如下：
①只受重力作用，例如所有做抛体运动的物体机械能守恒．
②系统内只有重力和弹力作用，如图7 8 2甲、乙、丙所示．
甲 乙 丙
图7 8 2
图甲中，小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力则只有重力做功，小球的机械能守恒．
图乙中，各接触面光滑，A自B上端自由下滑的过程中，只有重力和A、B间的弹力做功，A、B组成的系统机械能守恒．但对A来说，B对A的弹力做负功，这个力对A来说是外力，A的机械能不守恒．
图丙中，不计空气阻力，球在下落过程中，只有重力和弹力做功，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒，这一点需要特别注意．
2．判断机械能守恒的方法
（1）做功分析法（常用于单个物体）
（2）能量分析法（常用于多个物体组成的系统）
下列各种运动过程中，物体（弓、过山车、石头、圆珠笔）机械能守恒的是（忽略空气阻力）（ ）
A．将箭搭在弦上，拉弓的整个过程
B．过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程
C．在一根细线的中央悬挂着一石头，双手拉着细线缓慢分开的过程
D．手握内有弹簧的圆珠笔，笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程
D [将箭搭在弦上，拉弓的整个过程中，拉力对箭做功，故机械能不守恒，故A错误；过山车在动力作用下从轨道上缓慢上行的过程，动能不变，重力势能变大，故机械能不守恒，故B错误；在一根细线的中央悬挂着一物体，双手拉着细线慢慢分开的过程，动能不变，重力势能减小，故机械能不守恒，故C错误；笔帽抵在桌面放手后圆珠笔弹起的过程中，只有笔帽的重力和弹簧的弹力做功，故机械能守恒，故D正确．]
[针对训练]
1．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的．图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在四个图所示的运动过程中机械能守恒的是（ ）
【导学号：
75612138】
A B C D
C [根据力的做功情况来判断机械能守恒的条件是物体系统内只有重力（弹力）做功．在图A、B中木块受三个力作用，即重力、支持力和外力F，因外力F做功，故机械能不守恒．图D中因有摩擦力做功，机械能亦不可能守恒．只有图C中除重力做功外，其他力不做功，故机械能守恒．]
机械能守恒定律的应用
1．机械能守恒定律的不同表达式
表达式
物理意义
从不同
状态看
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
2．应用机械能守恒定律的解题步骤
（1）选取研究对象（物体或系统）．
（2）明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．
（3）选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能．
（4）选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．
3．机械能守恒定律和动能定理的比较
规律
内容
机械能守恒定律
动能定理
表达式
E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB
W＝ΔEk
应用范围
只有重力或弹力做功时
无条件限制
物理意义
重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程
合外力对物体做的功是动能变化的量度
关注角度
守恒的条件和始末状态机械能的形式及大小
动能的变化及合外力做功情况
如图7 8 3所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2m，s＝
m．取重力加速度大小g＝10m/s2.
图7 8 3
（1）一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
（2）若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．
思路点拨：
①小环运动过程中只有重力做功，机械能守恒．
②小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，说明小环的运动为平抛运动．
③要想求得环到达c点时速度的水平分量的大小，应先确定c点速度与水平方向的夹角．
[解析]
（1）小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，即小环在该段以某一初速度vb做平抛运动，运动轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt
h＝
gt2
从ab滑落过程中，小环机械能守恒，选b点为参考平面，则有0＋mgR＝
mv
＋0
联立三式可得R＝
＝0.25m.
（2）小环在下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，小环机械能守恒，再选c点为参考平面，则有0＋mgh＝
mv
＋0
因为小环滑到c点时与竖直方向的夹角等于
（1）问中做平抛运动过程中经过c点时速度与竖直方向的夹角，
设为θ，则根据平抛运动规律可知sinθ＝
根据运动的合成与分解可得sinθ＝
联立可得v水平＝
m/s.
[答案]
（1）0.25m
（2）
m/s
[针对训练]
2．（多选）在竖直平面内有一条光滑弯曲轨道，轨道上各个高点的高度如图7 8 4所示．一个小环套在轨道上，从1m的高处以8m/s的初速度下滑，则下列说法正确的是（ ）
图7 8 4
A．到达第
（1）高点的速度约为8.6m/s
B．到达第
（1）高点的速度约为74m/s
C．小环能越过第（3）高点
D．小环不能越过第（4）高点
AC [根据机械能守恒可以得到：
mgh＋
mv2＝mgh1＋
mv
，则小环到达第
（1）高点的速度为：
v1＝
＝
m/s≈8.6m/s，A对，B错；设小球能够上升的最大高度为H，则根据机械能守恒定律：
得到：
mgh＋
mv2＝mgH，则：
H＝4.2m，即小环能越过第（3）和（4）高点，C对，D错．]
物体系统的机械能守恒
如图7 8 5所示，质量分别为3kg和5kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A物体底面与地接触，B物体距地面0.8m，求：
图7 8 5
（1）放开B物体，当B物体着地时A物体的速度；
（2）B物体着地后A物体还能上升多高？
（g取10m/s2）
[解析]
（1）方法一：
由E1＝E2.
对A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面，则
mBgh＝mAgh＋
（mA＋mB）v2.
v＝
＝
m/s＝2m/s.
方法二：
由ΔEk增＝ΔEp减，得
mBgh－mAgh＝
（mA＋mB）v2
得v＝2m/s.
方法三：
由ΔEA增＝ΔEB减，得
mBgh－
mBv2＝mAgh＋
mAv2
得v＝2m/s.
（2）当B落地后，A以2m/s的速度竖直上抛，则A上升的高度由机械能守恒可得mAgh′＝
mAv
，h′＝
＝
m＝0.2m.
[答案]
（1）2m/s
（2）0.2m
机械能守恒定律表达式的灵活选取
（1）单个物体机械能守恒的问题，可应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp列式求解．
（2）两个物体组成的系统机械能守恒的问题，若一个物体的动能、势能都在增加，另一个物体的动能、势能都在减小，可优先考虑应用表达式ΔEA＝－ΔEB列式求解；若两个物体的动能都在增加（或减小），势能都在减小（或增加），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp列式求解．
[针对训练]
3．（多选）如图7 8 6所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是（ ）
【导学号：
75612139】
图7 8 6
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
BC [因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，B、C正确，A、D错误．]
[当堂达标·固双基]
1．关于物体机械能是否守恒的叙述，正确的是（ ）
A．做匀速直线运动的物体，机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体，机械能一定守恒
C．外力对物体所做的功等于零，机械能一定守恒
D．物体若只有重力做功，机械能一定守恒
D [做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒，比如：
降落伞匀速下降，机械能减小，故A错误；做变速直线运动的物体机械能可能守恒，故B错误；外力对物体做功为零时，动能不变，但是势能有可能变化，机械能不一定守恒，比如匀速上升的运动，故C错误；只有重力对物体做功，物体机械能一定守恒，故D正确．]
2．如图7 8 7所示，压缩的轻质弹簧将一物块沿光滑轨道由静止弹出，物块的质量为0.2kg，上升到0.1m的高度时速度为1m/s，g取10m/s2，弹簧的最大弹性势能是（ ）
图7 8 7
A．0.1J B．0.2J
C．0.3JD．0.4J
C [取物体初位置所在水平面为参考平面，对于物体和弹簧组成的系统，由于只有重力和弹簧的弹力做功，系统的机械能守恒，则根据系统的机械能守恒得：
Ep弹＝mgh＋
mv2＝0.2×10×0.1J＋
×0.2×1J＝0.3J，故选项C正确．]
3．（多选）如图7 8 9所示，小球用轻弹簧连接，由水平位置释放（不计空气阻力），在小球摆至最低点的过程中（ ）
图7 8 9
A．小球的机械能守恒
B．小球的重力势能减小
C．小球的机械能减小
D．小球、弹簧组成的系统机械能守恒
BCD [小球下摆的过程中，弹簧不断拉长，弹簧弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，根据功能关系可知，小球的机械能在减小，故A错误，C正确；小球的高度下降，重力对小球做正功，其重力势能减小，故B正确；对小球、弹簧组成的系统，小球下摆的过程中，小球的重力做正功，弹簧弹力做负功，故小球动能、重力势能、弹簧的弹性势能总量守恒，故D正确．]
4．如图7 8 10所示，质量为m的物体自由下落的过程中，经过高度为h1的A点时速度为v1，下落到高度为h2的B点时速度为v2，不计空气阻力，选择地面为参考平面，求：
【导学号：
75612140】
图7 8 10
（1）物体在A、B处的机械能各是多少？
（2）比较物体在A、B处的机械能的大小．
[解析]
（1）以地面为零势能点，故在A点重力势能为mgh1，动能为
mv
，故在A点的机械能为EA＝mgh1＋
mv
，在B点的重力势能为mgh2，动能为
mv
，故在B点的机械能为EB＝mgh2＋
mv
.
（2）下落过程中，不计空气阻力，只有重力做功，所以机械能守恒，A、B两点机械能相等．
[答案]
（1）EA＝mgh1＋
mv
；EB＝mgh2＋
mv
（2）相等
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