高一数学寒假作业.docx

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高一数学寒假作业

 1.y=log0.5（4-x2）0.5是底数求单调区间

求单调性,首先要注意函数的定义域,再利用复合函数单调性法则.

函数y=log0.5（4-x2）的定义域为：

（-2,2）,因为该函数为复合函数,外部为对数函数,而底数为0.5＜1,所以外层函数单调递减,设h=4－x^2,当h递增时原函数递减,当h递减时原函数递增,h=4－x^2的增区间为（－∞,0）,减区间为（0,+∞）,由定义域为：

（-2,2）,所以原函数的单调减区间为（－2,0）,单调增区间为（0,2）.

2.函数y=lg（mx^2-2x+1）的定义域是R，求实数m的取值范围

lg（mx^2-2x+1）的定义域为R

即mx^2-2x+1>0在x∈R上恒成立

（1）

当a=0-2x+1>0不恒成立

（2）

当m>0

mx^2-2x+1>0在x∈R上恒成立

只需Δ<0

4-4m<0

m>1

（3）

当m<0

由函数图像开口向下可知

不可能mx^2-2x+1>0在x∈R上恒成立

综上所述m>1

3.设0＜x＜1，a＞0，a≠1，比较|loga（1-x）|与|loga（1+x）|的大小

解一：

当a＞1时，

|loga（1-x）|=-loga（1-x），|loga（1+x）|=loga（1+x），

|loga（1-x）|-|loga（1+x）|=-[loga（1-x）+loga（1+x）]=-loga（1-x2）．

∵a＞1，0＜1-x2＜1，∴-loga（1-x2）＞0，

∴|loga（1-x）|＞|loga（1+x）|．

当0＜a＜1时，

|loga（1-x）|=loga（1-x），|loga（1+x）|=-loga（1+x），

|loga（1-x）|-|loga（1+x）|=loga（1-x2）．

∵0＜a＜1，0＜1-x2＜1，∴loga（1-x2）＞0，

∴|loga（1-x）|＞|loga（1+x）|．

因此当0＜x＜1，a＞0，a≠1时，总有|loga（1-x）|＞|loga（1+x）|．

4.证明二次函数y=ax^2+bx+c（a>0）在[-b/2a,+∞）上是增函数.

令x1=t1-b/2a,x2=t2-b/2a,t1>t2>0.

那么,y1-y2

=a（x1^2-x2^2）+b（x1-x2）

=a（（t1-b/2a）^2-（t2-b/2a^2））+b（t1-t2）

=a（t1-t2）（t1+t2-b/a）+b（t1-t2）

=（t1-t2）（at1+at2）

>0,

因此y=ax^2+bx+c（a>0）在[-b/2a,+∞）上是增函数.

5.已知定义域在R上的奇函数f（x）,当x>0时,f（x）=x^2+x-1,那么当x=0时,f（x）=______;当x＜0时,f（x）=_____

解析：

∵f（x）为定义域在R上的奇函数,

∴f（-x）=-f（x）,

且f（0）=0

又∵当x>0时,f（x）=x^2+x+1,

∴当x＜0时,-x＞0,则f（-x）=（-x）^2+（-x）+1=x^2-x+1

即-f（x）=x^2-x+1,

∴f（x）=-x^2+x-1,

综上有f（x）={x^2+x+1,x＞0

0,x=0

-x^2+x-1,x＜0

6.已知函数f（x）是偶函数,而且在（-无穷,0）上是减函数,判断f（x）在（0,正无穷）的单调性,并证明你的判断

解析：

∵函数f（x）是偶函数,而且在（-无穷,0）上是减函数

∴函数f（x）是偶函数,而且在（0,+无穷）上是增函数

证明：

∵函数f（x）是偶函数

∴f（-x）=f（x）

设0

f（-x1）=f（x1）,f（-x2）=f（x2）

∵f（x）在（-无穷,0）上是减函数

-x1>-x2==>f（-x1）f（x1）

∴函数f（x）是偶函数,而且在（0,+无穷）上是增函数

7.已知函数f（x）=2^x-2^-x/2^x+2^-x证明：

f（x）是单调函数；求函数的定义域和值域

f（x）=[2^x-2^（-x）]/[2^x+2^（-x）]=（2^x-1/2^x）/（2^x+1/2^x）=（4^x-1）/（4^x+1）=1-2/（4^x+1）。

（1）设x1

f（x1）-f（x2）=2（4^x1-4^x2）/[（4^x1+1）（4^x2+1）]<0，即f（x1）

（2）因为4^x+1>0在R上恒成立，所以f（x）的定义域是R。

4^x+1>1，0<1/（4^x+1）<1，-2<-2/（4^x+1）<0，-1<1-2/（4^x+1）<1。

所以f（x）的值域为（-1,1）。

8.设函数f（X）=丨lgx丨，若0f（b），证明：

ab<1

解：

第一种情况：

1>b>a>0在这个情况下f（a）=-lgaf（b）=-lgbf（a）+f（b）=-lgab

因为f（a）>0f（b）>0所以lgab<0所以ab<1

第二种情况：

b>1>a>0在这个情况下f（a）=-lgaf（b）=lgb因为f（a）>f（b）所以f（a）-f（b）=-lgab>0所以lgab<0所以ab<1

第三种情况：

b>a>1在这种情况下不存在f（a）>f（b）

综上ab<1

9.函数f（x）=x+1/x,函数定义域是﹛x I x≠0﹜

明显,这是一个奇函数.

首先研究最值.

①,当x>0时,由基本不等式得：

x+1/x≥2√x（1/x）=2,等号只当x1/x时,即x=1时取得,

②,当x<0时,-x>0的,由基本不等式得-（x+1/x）≥2√-x（-1/x）=2,两边除以-1,得x+1/x≤-2.

等号只当-x=-1/x,即x=-1时候取得.

单调性可以通过求导数得到（你自己求下导,研究下）.

以下研究函数f（x）=x+1/x的渐近线.

limx趋于∝（x+1/x-x）=limx趋于∝（1/x）=0,这说明了直线y=x是函数f（x）=x+1/x的斜渐进线.

图像为：

对于f（x）=ax+b/x,a,b皆大于零的研究也是一样的,你可以按照上面研究f（x）=x+1/x的步骤研究f（x）=ax+b/x,a,b皆大于零.

这里我求下这个函数的渐近线,

limx趋于∝（ax+b/x-ax）=limx趋于∝（b/x）=0,这说明了,函数f（x）=ax+b/x的渐近线是y=ax.

f（x）=x+1/xD=（-无穷大,0）并（0,+无穷大）

是奇函数在（-无穷大,-1）和（0,1）上单调递减,（-1,0）和（1,+无穷大）上单调递增值域是（-无穷大,-2]并[2,+无穷大）

f（x）=ax+b/x=a（x+b/ax）D=（-无穷大,0）并（0,+无穷大）是奇函数

拐点在x=b/ax处取到,即x=+-sqrt（b/a）

所以在（-无穷大,-sqrt（b/a））和（0,sqrt（b/a））上单调递减,（-sqrt（b/a）,0）和（sqrt（b/a）,+无穷大）上单调递增，将拐点代入,值域是（-无穷大,-2sqrt（ab）]并[2sqrt（ab）,+无穷大）

拐点求法仍然利用基本不等式f（x）=ax+b/x>=2sqrt（ax*b/x）=2sqrt（ab）

当且仅当ax=b/x即x=sqrt（b/a）时等号成立

图像形状相似

10. 当a,b满足什么条件时,集合A={xlax+b=0}是有限集、无限集、空集?

问题即是讨论方程ax+b=0解的情况

当a≠0时,方程ax+b=0为一元一次方程,方程有唯一解x=-b/a

当a=0,b=0时,0=0为恒等式,x可取任意值

当a=0,b≠0时,b=0不可能成立,x无解

所以,当a≠0时,集合A={xlax+b=0}是有限集,且为单元素集合{-b/a}

当a=0,b=0时,集合A={xlax+b=0}是无限集,即为实数集R

当a=0,b≠0时,集合A={xlax+b=0}是空集

11.已知f（x）=log3（2x-3x^2）1.求f（x）的值域2.求f（x）的单调递增区间

log3（a）为增函数 a>0 

设a=2x-3x^2 所以0

函数a在0

所以f（x）在0

f（x）在x=1/3时取得最大值-1

f（x）的值域为（负无穷,-1]

12. 求函数f（x）=x^2-2x-3,x∈[0,b]的值域

如题.

f（x）=（x-1）^2-4

对称轴x=1,开口向上

若0

则定义域在对称轴左边,是减函数

所以最大=f（0）=-3,最小=f（b）=b^2-2b-3

若1<=b<2

则x=1时,f（x）最小=-4,

且0比b离对称轴更远

所以最大=f（0）=-3

若b>=2

则x=1时,f（x）最小=-4,

且b比0离对称轴更远

所以最大=f（b）=b^2-2b-3

综上

0

1<=b<2,值域[-4,-3]

b>=2,值域[-4,b^2-2b-3]

13.某城市的一种出租车,当行驶路程小于3km是,车费都为10元；大于或等于3km但小于15km时；超过3km的那部分路程每千米收费1.6元；大于或等于15km时.超过15km的那部分每千米收费2.4元乘客.乘客为了估算应付的车费,需要一个较简单的公式

.假设路途上没有停车等侯.

1.算出车费y元与行驶路程x千米

之间的函数关系式吗?

2.画出这个函数的图像

1、当0≤X≤3时,y=10

   当3≤X≤15时,y=10+1.6（x-3）,即y=1.6x+5.2

   当X≥15时,y=29.2+2.4（x-15）,即y=2.4x-6.8

2、图像如下：

 14.设函数f（x）与g（x）的定义域是X∈R且X≠±1,f（x）是偶函数,g（x）是奇函数,且f（x）+g（x）=1/x-1,求f（x）和g（x）

f（x）是偶函数,g（x）是奇函数

f（-x）=f（x）,g（-x）=-g（x）

f（x）+g（x）=1/（x-1）.

（1）

f（-x）+g（-x）=1/（-x-1）=-1/（x+1）

即f（x）-g（x）=-1/（x+1）.

（2）

（1）+

（2）得2f（x）=1/（x-1）-1/（x+1）=2/（x^2-1）

（1）-

（2）得2g（x）=1/（x-1）+1/（x+1）=2x/（x^2-1）

15.若关于x的方程3tx²+（3-7t）x+4=0的两个实数根α，β满足0＜α＜1＜β＜2，求实数t的取值范围

16.有一批仪器原售价为每台1000元，在甲，乙两家商店均有销售。

甲商店用以下的方式促销；买一台的单价为980元以此类推，每多买一台则所各买台单价在减少20元，但每台最低不能低于640元；乙商店一律按原价的75%销售。

某学校需购买一批此类仪器，则取哪家商店购买花费较少？

设这所学校购买x台这种仪器，甲乙两商店的购货款的差价为y元。

则

∵去甲商店购买共花费（1000－20x）x，依题意：

1000－20x≥640

解得：

1≤x≤18（x∈N）去乙商店购买共花费750x（x∈N）（4分）

所以当1≤x≤18（x∈N）时，y＝（1000－20x）x－750x＝－20x2+250x（6分）

当x≥18（x∈N）时，y＝640x－750x＝－110x（8分）

则y>0时，1≤x≤12（x∈N）

y<0时，x≥13（x∈N）

所以要买少于13台，到乙商店购买花费较少，要买多于12台，到甲商店购买花费较少

17.球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6,经过这三个点的小圆的周长为4π,球该球的半径?

答案是球的半径为2*根号3.

由于任意两点的球面距离相等,所以这三点构成一个等边三角形（球面距离相等可以推出所在大圆的弧长相等,继而弦长相等,所以空间距离相等）.又经过三点的小圆是这个等边三角形的外接圆,且周长为4π,容易算出其半径为2,所以等边三角形的边长为2*根号3.同时,任意两点的球面距离为大圆周长的1/6,所以等边三角形的边恰好是大圆的内接正六边形的边,容易算出大圆的半径等于等边三角形的边长,故为R=2*根号3.

18.如图在长方体ABCD-A1B1C1D1中，P，Q，R分别为BC,CD,CC'的中点。

（1）判断直线B'D'与平面PQR的位置关系

（2）判断平面AB'D'与平面PQR的位置关系

（3）判断平面PQR与平面DD'B'B的位置关系

（4）如果P，R分别是BC，CC‘上的动点，当点P，R满足什么条件时，PR∥平面AB’D'？

（1）∵B'D'∥BD∥PQ，PQ∈平面PQR

∴B'D'∥平面PQR

（2）∵QR∥C'D∥AB'，PQ∥B'D'

QR∩PQ=平面PQR，AB'∩B'D'=平面AB'D'

∴平面AB'D'∥平面PQR

（3）相交

（4）必须满足PR∥AD'，才能有PR∥平面AB'D'

此时PR∥BC'

PC/RC=BC/C'C